マスターオブ整数

**名無しなのに合格** · 2018/03/28(水) 12:50:34.79

第三部難しすぎて萎えるんだけど

**名無しなのに合格** · 2018/04/14(土) 23:15:31.76

和事象。積事象。和の法則。加法定理。
積の法則。乗法定理。排反。事象がどの２つも排反の時。
2^12/2^15=1/8。1/16 ×2=1/8。余事象の確率。
P(A∩B)=1-(5^4+5^4-4^4)/6^4=151/648。
試行は独立である。事象は独立である。
事象の独立には難しい面もある。
独立の時の積の法則。定義。
例題。(1)15/36=5/12。(2)12/30=2/5。
別解。3/6 ×4/5=2/5。
3/6 ×1/2=1/4。9/36=1/4。独立である。
AとBは独立ではない。

**名無しなのに合格** · 2018/04/16(月) 03:27:03.68

練習1
000, 012, 111, 222。9/27=1/3。
001, 022, 112. 9/27=1/3。
002, 011, 122、9/27=1/3。
一般にn個でも1/3。
練習2
(1)(6×25+30×16)/1296=105/216=35/72。
(2)(6×1+30×2)/1296=11/216。
練習3
6C2×4C2=90。同様に確からしい。
2×2×(4C2-1)=20。20×3/90=2/3。
練習4
チャンスくじ。外れる確率は7/10 ×6/9=7/15。
10C3=120。6C1+6C2+6C2+6C3
=7C2+7C3=8C3=56。56/120=7/15。
よってどちらも当たる確率は8/15。
練習5
3×3=9通り。13と31では1に来る。
その後、11,22,33,23,32では1は移動しない。
7通りは1以外にいる。その後1＊と＊1では1に来る。
24/81=8/27。
別解。p(ij)=2/9(i≠j)、5/9(i=j)。
5/9 ×2/9 +2/9 ×5/9 +2/9 ×2/9=24/81=8/27。

**名無しなのに合格** · 2018/04/16(月) 21:28:54.11

練習1
(1)少なくとも1枚偶数。1-5C3/10C3=11/12。
(2)5の倍数以外=8C3/10C3=7/15。
偶数以外かつ5の倍数以外=1,3,7,9=1/30。
1-1/12-7/15+1/30=29/60。
練習2
3/6 ×2/5=1/5。2/6 ×3/5=1/5。2/5。同じになる。
練習3
5×5/10C2=5/9。4×4/8C2=4/7。20/63。
別解。10/10 ×5/9 ×8/8 ×4/7=20/63。
練習4
1/2 ×(1-1/2 ×1/2)=3/8。3/8 ×2=3/4。
別解。4×3/16=3/4。
練習5
P=4Ck/2^4。Q=3Ck/2^3。4+24+28+8=64/128=1/2。
別解。取り敢えずAが3枚投げることにする。
p+(1-2p)/2=1/2。
まとめ。i>Jとi≦jの確率が等しいことが示せる。

**名無しなのに合格** · 2018/04/16(月) 21:41:06.91

ただただすごい

**名無しなのに合格** · 2018/04/16(月) 22:14:37.20

独立な試行。二項分布。0.267。0.383。
例題1
二項定理。a=3/4。
別解。どの硬貨も2回ずつ投げることにする。
少なくとも1回表が出る確率。1-1/2 ×1/2=3/4。
例題2
pk/p(k-1)。k<3.3。k=3の時に最大となる。
平均回数np付近の整数値が最大。
練習1
k回裏、n-k回表だから、nCkp^(n-k)(1-p)^k。
練習2
xy=1は1/4。残りはxy=0となる。
5×81+10×9+1×1=496→496/1024=31/64<1/2。
一般化。
練習3
(1)pn=(n-1)(n-2)5^(n-3)/2×6^n。
(2)商を作る定石。n=12または13。

**名無しなのに合格** · 2018/04/16(月) 23:25:03.14

例題1
(n-2)/3 +1=(n+1)/3。
一般化。(n-m)/(m+1) +1=(n+1)/(m+1)。
最大数の方が求めやすいのでそちらを求めてから対称性を使う。
例題2
回数の期待値は1/P。
戻す型。戻さない型。最小問題と実現回数問題。
練習1
(n-4/5 +1)×3=3(n+1)/5。
最小がk⇔(7-k)^2-(6-k)^2=13-2k。91/36=2.5。
練習3
最小がk⇔(n+1-k)^3-(n-k)^3。
3×1/4 -6×2/6 +3×1/2=1/4。
練習4
差分の形にする。7-6(5/6)^n→7。
1 +1/1/6=1+6=7。

**名無しなのに合格** · 2018/04/16(月) 23:49:06.06

例題1
6/8=3/4。
例題2
1/3は×。3/6=1/2。
独立。無関係。
例題3
定義に従って代入すると、n=3。
練習1的中する確率を計算する。
A赤p, A白q, B赤1-p, B白1-q。
pの係数は負、qの係数は正であるから最大にするためにはp=0、q=1とする。
要するに赤を報告されたら赤の多い方を推測し、白を報告されたら白の多い方を推測すれば良いということ。

**名無しなのに合格** · 2018/04/17(火) 01:39:40.32

Pn=1/2。
P(n+1)=Pn×1/2 +(1-Pn)×1/2=1/2。
例題1
P(n+1)=Pn×9C2/10C2 +(1-Pn)×1/10C2
=7/9 ×Pn+1/45。Pn=1/10 +7/10 (7/9)^(n-1)
=1/10 +9/10(7/9)^n→1/10。
例題2
赤0個をP、赤1個をQとすると赤2個は1-P-Q個。
連立の漸化式。
例題3
(1)n→n+1、n-1→n+1。
排反で全てを尽くした場合分け。
P(n+1)=P(n)×1/2 +P(n-1)×1/2。
(2)P1=1/2。P2=3/4。λ=1,-1/2。
P(n)=2/3 -1/6 (-1/2)^(n-1)=2/3+1/3 (-1/2)^n。
最後または最初で場合分け。
P(n+1)=1/2 P(n)+1/2 P(n-1)
二項間でやると、P(n+1)=1/2 P(n)+1×(1-P(n))
P(n+1)=-1/2 P(n)+1。P(n)=2/3-1/6 ×(-1/2)^(n-1)
=2/3 +1/3(-1/2)^n→2/3。
仮に交互に起こるとすると●●○●●○●●○となる。

**名無しなのに合格** · 2018/04/17(火) 01:58:52.44

練習1
P(n)=P(n-1)×p+(1-P(n-1))×(1-p)。
P(n)=1/2+1/2(2p-1)^n→1/2。
練習2
治療が成功する確率は難しい。
治療が適用される確率ならば難しくない。
a(n+1)=a(n)×p+(1-a(n))×(1-p)。
-1<p+q-1<1。a(n)→α。
よってr(n)=pa(n)+(1-a(n))q→pα+(1-α)q≧(p+q)/2
⇔2pα+2(1-α)q≧p+q。(p-q)(2α-1)≧0。
αを消去すると示せる。

**名無しなのに合格** · 2018/04/17(火) 02:30:29.63

書いてくれてる人は何者？受験生？

**名無しなのに合格** · 2018/04/17(火) 08:18:44.39

>>130
違いますよ。久しぶりにやり始めたら止まらなくなりました。いい本だと思います。

**名無しなのに合格** · 2018/04/17(火) 20:02:41.23

練習3
3状態の推移なので 2種類の確率を設定する。
p(n)=p(n-1)×1+q(n-1)×1/3。
q(n)=q(n-1)×1/3 +(1-p(n-1)-q(n-1))×1/2。p1=0。
∴ p(n)=1-(5/6)^(n-1)→1は当然。
練習4
4状態の推移なので3種類の確率を設定する。
p(n)=q(n-1)×1/3。
q(n)=p(n-1)×1+r(n-1)×2/3。
r(n)=q(n-1)×2/3。q0=0、q1=1。
求める確率はr(n-1)×1/3
n=2,4,6,8…の時、0。
n=0,1の時、0。
n=1,3,5,7,…の時、(2/9)(7/9)^(n-3)/2。
別解。1秒後に確率1でK2。その2秒後に確率2/9でK4。その余事象の7/9でK2に戻り、また2秒後に2/9でK4。
2/9を○、7/9を●とすると○, ●○, ●●○, ●●●○, …
従って、(2/9)(7/9)^(n-3)/2。
練習5
上に上がれない。p(n+1)=(p(n)+p(n-1))/6。
p0=1、p1=1/6。
p(n)=3/5(1/2)^n+2/5(-1/3)^n。
研究。q(n+1)=q(n)×1/6+q(n-1)×1/6+p(n+1)×4/6。
これを解くのは困難。なおq(n)=Σp(k)×4/6×p(n-k)
n+1回中1回だけ上に行く。何回目に行くかで場合分け。
練習6
p(n+1)=q(n)×1/2。
q(n+1)=r(n)×1/2。
r(n+1)=q(n)×1/2+r(n-1)×1/2。
p(n+1)=1/2 p(n)+1/4 p(n-1)。
別解。最初の動作で場合分け。
×の後は任意。○の後は×が続いた後に任意だから
p(n+1)=1/2 p(n)+1/4 p(n-1)。

**名無しなのに合格** · 2018/04/18(水) 02:10:58.20

確率変数。E(X)=ΣxiP(X=xi)
加重平均。-20/8=-2.5円。
単純平均。縦に数える。横に数える。
例題1
21。
和の期待値は期待値の和。期待値の線型性。
証明。別解。E(x')=21/6 ×6=21。
隣り合っているX1=1。
隣り合っていないX1=0、
X=ΣXi。対等性によりE(X)=4E(X1)。
=4(1×p+0×(1-p))=4p=4×7/8C2=1。
15/5=3。期待値の分割の公式。
例題3
P=Σ1/n ×1/m
E(X)=ΣP(A)×EA(X)=(n+3)/4。
本解の続き。分母が同じものをまとめると
=(n+3)/4。
解釈の仕方。 mの平均m'=(1+n)/2。
Xは1とm'の平均だからX=(1+m')/2=(n+3)/4。

**名無しなのに合格** · 2018/04/18(水) 03:02:50.38

練習1
E(a-2b)=E(a)-2E(b)=22/3-22/3=0。
11×10×3/45=22/3。
(9+16+21+24+25+24+21+16+9)/45
=165/45=33/9=11/3。
練習2
1/3 ×6=2。
別解。2×5!×6/6!=2。
１つの袋に関して見るだけで良い。他は当たっていてもいなくても良い。
8, 0, 96, 128, 216, 192。
(48+384+384+432+192)/6!=2。
練習3
全部でm-1試合で、m人だから(m-1)/m。
1/2 ×1=1/2。
帰納法。
1回目くじで選ばれる→勝つ→1試合多い。
または
1回目くじで選ばれる→負ける→期待値0。
または
1回目くじで選ばれない→試合数は増えない。
の3通りに場合分け。

**名無しなのに合格** · 2018/04/18(水) 03:04:54.83

数学板の数オリ事典スレの人？

**名無しなのに合格** · 2018/04/18(水) 03:47:38.16

条件付き確率。原因の確率。
同様に確からしい。
3×2/3×9=2/9。
別解。2/9。
3×2/3×9=2/9≠3/10。
P=0。
例題1
PA=1/5=25/125。
PB=4/5 ×1/5=4/25=20/125。
PC=4/5 ×4/5 ×1/5=16/125。
PX=61/125。∴ P(B/X)=20/61<1/3。
X=5^3-4^3=61。B=4×1×5=20。
例題3
(1)4/5。
(2)4/5。
(3)6/8=3/4。
X♂♂
X♂♀
X♀♂
X♀♀
♂X♂
♂X♀
♀X♂
♀X♀
♂♂X
♂♀X
♀♂X
♀♀X
の12通りある。
「末子でない」は第一子である確率を高めない。
「妹がいる」は第一子である確率を高める。
「弟がいる」は第一子である確率を高める。
例題3
(1)1/3。6/18。
1234,1243,3214,3241,4213,4231
1324,1342,2314,2341,4312,4321
1423,1432,2413,2431,3412,3421。
(2)6/12=1/2。
1234,1243,13241342,14231432
2314,2341,2413,2431
3412,3421。

**名無しなのに合格** · 2018/04/18(水) 04:30:21.49

練習1
定義に従って、表が出て表が出たと真を言う／(表が出て表が出たと真を言う+裏が出て表が出たと偽を言う)
P=4^3/(4^3+1^3)=64/65。
練習3
行きで紛失をA、返事が来ないをBとする。
A∩B= Aであるから、 P(A∩B)=0.002。
Bの否定は「行きで紛失しない、かつ返事を書く、かつ帰りで紛失しない」であるから
P(B)=1-0.998×0.95×0.998
P(A/B)=2/(1000-998×0.95×0.998)
=3.718%
練習2
n(A∩W)=1×4=4。n(¬A∩W)=1×3=3。
∴ n(W)=7。P1=4/7。
P2=4C2/(4C2+3C2)=6/9=2/3。
P3=4C3/(4C3+3C3)=4/5。
注。同様に確からしくない場合は場合の数では出来ず、確率でやるしかない。
P(A∩W)=1/2 ×4/a。P(¬A∩W)=1/2 ×3/b。
P1=4b/(4b+3a)。

**名無しなのに合格** · 2018/04/18(水) 06:31:07.01

例題1
p (n)=1-(1- 1/n)^n=
1-[{1+ 1/(n-1)}^(n-1)]^(-n/(n-1))→1- 1/e。
p(n)≒2/3と思って良い。

例題2。破産の確率。
p(n+1)=q(n)×1/2 +1×1/2。
p=q/2 +1/2⇔2p=q+1=1-p+1、p=2/3。
定理：上に有界な増加数列は収束する。
下に有界な減少数列は収束する。
確率の数列は上にも下にも有界であって、
単調性が明らかな場合が多い。(0≦P(n)≦1)。
1-(p(n)+q(n))=(1/2)^n。∴ p+q=1。

例題3。k番目の袋を選び、かつ6回中3回赤玉を
取り出す確率は、
1/n ×6C3(k/n)^3(1- k/n)^3
→20∫x^3(1-x)^3dx (区分求積法)
20×3!3!×1^7/7!=1/7。(β関数)
3回をr回にしても確率は変わらない。
r=0～6の時、1/7。
6回を一般化しても等確率は変わらない。
組合せ論的確率。確率密度関数。
答え4/10=2/5。確率密度関数f(x)=1/10。
待ち時間に「来た時刻の有利不利」は無く、
10分間隔なので1/10(/分)となる。
もしT分間隔ならば、f(x)=1/T (=定数)となる、
6分以上待つ⇔0分～4分の間に来た。
∴ ∫1/10 dx=4/10=2/5。平均値。期待値。

例題4
(1) ∫f(x)dx=1を解いてaが求まる。
(2) E(X)= ∫xf(x)dxを計算する。部分積分法。
(答) 約3分。
(3) 10n円になる定義域で積分して確率Pを求め、
平均値(期待値)E=Σ10n×P (n=1～60)。
(答) 約16円。

**名無しなのに合格** · 2018/04/18(水) 19:44:10.21

例題5
針がどの位置に止まるか、その分布は一様であると考える。
X=0.0, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9, 1.0。
四捨五入なので
(1)X=0.kとなるのは0.k-0.05≦u<0.k+0.05 (k=1,2, …9)
(2)X=0.0となるのは0≦u<0.05
(3)X=1.0となるのは0.95≦u≦1
である。
円周=1なので、弧長が確率に対応する。
(1)弧長は(0.k+0.05)^2-(0.k-0.05)^2=k/50。
(2)弧長は1/400。
(3)弧長は39/400。
期待値はE=9×10×19/500×6 +1×39/400
0.57+0.0975=0.6675。
発展。P=b^2-a^2 (9≦a≦b≦1) (弧長)
aを固定してbの関数と見る。
両辺をbで微分すると、f(b)=2b。
これが任意のbに関して成り立つから
f(x)=2x。確率密度関数が求まった。
定義によりE(X)=∫xf(x)dx=∫x×2xdx=2/3(ほぼ同じ)。
別解。nが十分に大きい時、定義域の最小値でXを代表しても良いから(または挟み撃ち)、
区分求積法に結び付いて、E(X)=2/3。
練習1
第1戦にBが勝ち、かつAが優勝する確率をPとする。
BAA, BAC
P=pq/2 +p(1-q)/2 ×P。∴ P=pq/(pq-p+2)。
第1戦にCが勝ち、かつAが優勝する確率をQとする。
CAA, CAB。 ∴ Q=pq/(pq-q+2)。
よってP+Q=pq(2pq-p-q+4)/(pq-p+2)(pq-q+2)。
練習2
(1)外れがk本の箱を選ぶ。区分求積法。2/3。
(2)(1)と同様に考える。Σijの計算法に注意。
1- (1/2 ×1/4 -0)/(1/2)=1-1/4=3/4。
練習3
-1≦x≦0ではP=1/3。よって残りは7/24。
3(8-3c)×c=7、9c^2-24c+7=0、(12-9)/9=1/3。
練習4
連続分布。x+25<y+35 ⇔ x<y+10。
5分間をn等分したうちのどの1つの区間に入る確率も等しく1/nである。nを十分大きくすると区間は殆ど0になるので、変域の最小値で一定していると考えて良い。
ここが連続分布の考え方。よって、
Xの待ち時間がα分以下⇔確率はα/15より、
(k/n +2)/3。区分求積法により、
∫(x+2)/3 dx =(1/2 +2)/3=5/6。
別解。確率分布が座標平面に図示出来る。
台形/長方形 =1- 1/2 × 1/3=5/6。

**名無しなのに合格** · 2018/04/18(水) 20:39:31.53

確率変数。平均。期待値。分散。標準偏差。
二乗の平均－平均の二乗。
例題1
(1)E=6+14+32+27-90a+100a=10a+79。
360+980+2560+2430-8100a+10000a
=1900a+6330-100a^2-1580a-6241
σ=√(-100a^2+320a+89)。
(2)E=50。100/V ×V=100より、σ=10。
(3)X=100として、最大値はa=0の時。
Y=50+ 210/√89 =50+210√89/89≒72.26。
偏差値の平均は50、標準偏差は10。
確率密度関数。平均。分散。二項分布と正規分布。
離散量。連続量。実質的には同じもの。
独立。確率変数X。B(n, p)。
E(X)=np。V(X)=np(1-p)。
12/6 =2。
例題2
n回のうち表が出る回数を確率変数Ynとすると、
裏が出る回数はn-Ynであるから、
V(Xn)=V(Yn -(n-Yn))=V(2Yn-n)=4V(Yn)
Ynは二項分布B(n, 1/2)に従うので、
V(Yn)=n×1/2 ×1/2=n/4。よってV(Xn)=n。
正規分布。直線x=mに関して対称。
mは平均を表す。σは標準偏差を表す。
nが十分に大きい場合の二項分布の近似になっている。
ただしpが0か1に極端に近い場合を除く。
正規分布表。E=600/6=100。σ=5√30/3≒9.13。
P(91～109)=2×0.3413=0.6826。推定。検定。

**名無しなのに合格** · 2018/04/18(水) 21:27:11.54

練習1
X=kとなるのはn-k通り。Xの確率分布は
P(X=k)=(n-k)/nC2。E(X)=(n+1)/3。
E(X^2)=n(n+1)/6。V(X)=(n+1)(n-2)/18。
練習2
(1)P=2(k-1)/n(n-1)。
(2)E= 2(n+1)/3。V=(n+1)(n-2)/18。
練習3
E=λ。V=λ^2+λ-λ^2=λ。
テーラー展開。
P(X=k)=e^(-λ)×λ^k/k! ポアソン分布。
二項分布でnが大きくpが小さい場合の分布を近似したものがポアソン分布。
Xはλ=1のポアソン分布。P=1- 1/e。
練習4
(1)np(1-p)=8/9。
nC(n-1)p^(n-1)(1-p)=8×nCnp^n。
∴ n(1-p)=8p。 p=1/3。n=4。
B(4,1/3)。P(X=k)=4Ck(1/3)^k(2/3)^(4-k)。
(2)m=4/3。σ=2√2/3。1.33±0.94=0.39, 2.27。
X=0,3,4。16/81+8/81+1/81=25/81≒0.30864
(3)8/9 +(4/3)^2 -4 +2=2/3。
正規分布で近似すると、
1-0.3413×2=1-0.6826=0.3174。

**名無しなのに合格** · 2018/04/19(木) 01:30:42.58

発展編1
白石の個数≧黒石の個数。カタラン数。
c2=2, c3=5。
対角線を突き破らない。具体的で規模の小さい経路の問題では書き込み方式が最良。
対角線の1つ上側にある直線に接触するものを折り返す。
一般論はcn=2nCn-2nC(n-1)=2nCn/(n+1)。
カタラン数の作り方。 -Pの三角形。
問題。偶数の時は0。奇数の時はcn/2^(2n+1)
問題。c6=12C6/7 =132。

**名無しなのに合格** · 2018/04/19(木) 07:44:27.73

発展編2
問題1
左右を区別しない。
9C3=84。左右対称は4個。
84=4+80→4+40=44。
9C4=126。左右対称は6個。
126=6+120→6+60=66。
問題2
9C3=84=3+81→3+27=30。
問題3
(1)11!
(2)12C6=924。1×12=2×6=3=4。
男女は同数なので2,4,6,12。
2C1=2。4C2=6。6C3=20。
924=2+4+18+900→1+1+3+75=80。
問題4
(1)4!/(4×3)=2。
(2)6!/(6×4)=30。
(3)6C2 ×5×4!/(6×4)=75。

**名無しなのに合格** · 2018/04/19(木) 21:41:03.37

発展編3
pn=3C2 ×(2^n-2C1 ×1^n)/3^n。
p10=1022/19683=0.0519。
58秒。55分。
n=3mの時、比を取ると一項めは
(9m^2+9m+2)/(9m^2+18m+9)<1であり、
減少関数であることが分かる。二項めも減少関数であるから、これは減少関数である。
m=2として、31/243 =0.128。この場合もアイコになる確率は小さいと言える。
アイコがあるので永久に続く可能性がある。
3人勝負での一人勝ちは有り得ないので、
1/3 + 1/3 ×1/3 + …→(1/3)/(1- 1/3)=1/2で2人になる。
以降は普通のジャンケンなので1/2。よって1/4。
これは普通のジャンケンにおけるCの勝つ確率1/3よりも小さい。
A=1/3、B=1/4で不公平。
AもBも確率1/2で決勝戦に進める。
しかし最終的な勝者となる確率は
A>1/7>Bとなり、人数の少ない方のグループに属する人が有利になる。

**名無しなのに合格** · 2018/04/20(金) 21:32:25.30

発展編5
問題1
a+b=一定で、aを変数とする数列を考える。
(k, a+b-k)→(k+1, a+b-(k+1))または(k-1, a+b-(k-1))
P(k)=P(k+1)×1/2 +P(k-1)×1/2。(1≦k≦a+b-1)
P0=1、P(a+b)=0。等差数列。
P(k)=1- k/(a+b)。b:a。
実力が互角である時は相手を破産させる確率の比は資金の比である。
問題2
Aがk個、Bが(2n-k)個持っている状態から始めるとする。
P(k)=P(k-1)×p+P(k+1)×(1-p)。P(2n)=0。
Bが破産する確率はAのm^n倍である。
一次関数と指数関数の違い。
長い目で見れば実力が少しでも上の方が圧倒的に有利である。破産しにくい。
日本シリーズ。
勝つ確率を一次近似すると
g(p)=2.1875(p-0.5) +0.5。
1試合での実力が2倍化されて優勝が決まる。

**名無しなのに合格** · 2018/04/20(金) 22:04:46.08

問題1
ポリアの壺の問題。
P2=P1、P3=P1が確かめられる。
Pn(a,b)=P1(a,b)=a/(a+b)を帰納法で示す。
くじ引きと同じ確率。
別解。n回目に新たに加えた玉であるかどうかで場合分け。
P(n+1)=P(n)×c/(s+cn) +P(n)×(s+cn-c)/(s+cn)
=P(n) (証明終)。
問題2
漸化式を立てる。
反対色を加えると中和されて1:1に収束する。
問題3
p=1ならばポリアの？の問題。
p=0ならば問題2。
0<p<1とする。漸化式を立てる。
有名不等式logx<x-1 (x>0、x≠1)を使う。
1より小さな正の数を無数にかけても0に収束するとは限らない。重要。
少しでも反対色の可能性があると完全に中和される。

**名無しなのに合格** · 2018/04/20(金) 22:51:46.41

発展編7
問題1
1708年、Montmortによって提出された問題。
n =13。攪乱順列。完全順列。
求める確率はf(n)/n!。f(n)=(n-1){f(n-1)+f(n-2)}。
どの玉も一箇所入れない箱がある。
この漸化式は解けて、P(n)=Σ(-1)^k/k!
(k=2～n、n≧2)。テーラー展開。
limP(n)=1/e ≒0.368。

問題2
最後の札がnか否かで場合分け。
(1)P(n,k)=P(n-1,k-1)×1/n +P(n-1,k)×(n-1)/n。
(2)期待値の定義。Σをバラすと分かりやすい。
E(n)=Σ1/k (k≧2)。
枚数の期待値は Σ1/k (k≧1)。
別解。n枚目の札がnか否かで場合分けすると直接漸化式が得られる。E(n)={E(n-1)+1}×1/n +E(n-1)×(n-1)/n
自分がチャンピオンになれるのは自分より大きい数字が前に来ない時であるから、kというカードは1/(n-(k-1))。

**名無しなのに合格** · 2018/04/20(金) 23:21:37.87

発展編8
1966年の夏サーベロニの別荘。理論生物学の会議。
問題1
解1は適切ではない(誤り)。仮に獄番が所長から「マークは処刑される」としか知らされていなかったならばこれで正しい。
「マシューが処刑される」という事象と「マシューが処刑されると答える」という事象の違い。
解2
どの1人が処刑されないかで場合分けをする。
P(A')=(0+1+ 1/2)/3=1/2。
A'∩Bは、マークが処刑されると獄番が答える、かつマシューが処刑されるという事象⇔ルークが処刑されず、かつマークが処刑されると獄番が答えるという事象。
∴ P(A'∩B)=1/3 ×1=1/3。P(B/A')=2/3。
マシューの幸福感は幻影である。
(1)と(2)は同様に確からしくはない。
2C1/3C2=2/3。
問題2
2つの事象は独立であると考えられるから、1/2。
MM
MF
FM
FF。
これらは同様に確からしい。2/4=1/2。
追加設問。2/3。

**名無しなのに合格** · 2018/04/21(土) 00:49:32.31

発展編11
二項分布B(n,p)。正規分布N(m,σ^2)。
95%⇔z=1.96。信頼度。
99%⇔z=2.58。
標本の比率→母集団の比率を推定する。
標本の平均→母集団の平均を推定する。
例題1
二項分布を正規分布で近似する。
※標本におけるAの支持率X/nをp'とし、右辺のpをp'で代用してしまう。
比率推定の手法。
信頼度95%で、[0.524, 0.588]。
95%の確率でAが勝つと言える。

※平均がm、標準偏差がσ/√n の正規分布。前提として母集団が十分に大きく、nもある程度大きい。
平均の推定。|X-m|≦1.96σ'=1.96×σ/√n。
※mは標本の平均であり、母集団の平均である。
※確率変数X'を固定する。
例題2
X'の分布は平均m 標準偏差5.8/√n の正規分布。
∴ |X'-m|≦1.96× 5.8/√n
区間の長さは1.96× 5.8/√n ×2≦2。
n≧(1.96× 5.8)^2=129.23。∴ 130人以上。
確率的背理法。危険率。有為水準。
危険率5%で検定する。棄却される。
仮定に矛盾しない。仮定を棄却できない。

B(900,1/6)より m=150 σ=5√5の正規分布で近似する。
|X-150|≦1.96×5√5≒21.91。[128, 172]。
正常なサイコロとは言えない。
練習1
比率型。Xの確率分布はB(192, 0.75)の二項分布。
m=144、σ=√36=6の正規分布で近似できる。
| X -144|≦1.96×6=11.76。[132.24, 155.76]。
133～155粒発芽すればよい。
練習2
(1)検定。標本の分布は正規分布N(25, 10^2)。
| X -25|≦1.96×σ'=1.96×10/√9=6.533。
[18.47, 31.53]。X=18は範囲に入っていない→言えない
(2)平均型 |a-18|≦1.96×σ'=1.96×10/3 [11.47, 24.53]
練習3
標本の標準偏差=標本一匹一匹についての標準偏差
≒母集団の標準偏差。標本平均の標準偏差ではない。
(1) |m-2.57|≦1.96×σ'=1.96×0.35/10=0.0686。
[2.50, 2.64]。
(2) |m-X'|≦1.96×σ'=1.96×0.35/√n≦0.05。
n≧(1.96×7)^2=188.2384。189匹以上。
練習4
(1)(15/16)^3(8/9)^2(24/25)=5/8。
(2)両側検定。 Xの分布は二項分布B(960, 5/8)。
これは正規分布N(600, 15^2)に近似できる。
|X-600|≦1.96×σ=1.96×15=29.4。
∴ [570.6, 629.4]。 X=640はこの範囲に入らないから仮説は棄却される。

**名無しなのに合格** · 2018/04/21(土) 13:30:08.34

発展編9
排反な事象A、Bに分けて、
E(X)=P(A)EA(X)+P(B)EB(X)。
最初の結果によって場合分け。
問題1
E(n+1)=1/6 ×1 +5/6(E(n)+1)
E(n)=6-5(5/6)^(n-1)→6。
収束することを前提とすれば極限の計算だけをやってもよい。
問題2
最初で場合分け。
E(n)=1/2 ×E(n-1)+1/2 ×(E(n)+n- 1/2)
E(n)=n^2/4。
平均的には(1, 1/2)の方向へ進むと考えられるから、
底辺n、高さn/2の三角形の面積を求めてn^2/4。
n枚目の札で場合分け。
問題3
(1)P(n+1,1)=P(n,0)×1/4 +P(n,1)×3/4 +P(n,2)×1/6。
P(n+1, 2)=P(n,1)×1/4 +P(n,2)×3/4 +P(n,3)×1/4。
P(n+1, 3)=P(n,2)×1/12 +P(n,3)×3/4。
E(n+1)=P(n+1,1)×1+P(n+1,2)×2+P(n+1,3)×3
=5/6 ×E(n)+1/4。E(1]=13/12またはE(0)=1。
E(n)=3/2 -1/2(5/6)^n。
(2)E(n)→3/2。
別解。赤玉E(n)個、白玉(3-E(n))個と考えて、
E(n+1)=(E(n)/3)(1/4 ×E(n-1)+3/4 ×E(n))
+(1- E(n)/3)(3/4 ×E(x)+1/4 ×(E(n+1))
=5/6 E(n)+1/4。
Σp(k)×k/N=1/N ×Σkp(k)=E/N。
Eは赤玉の個数の期待値。

**名無しなのに合格** · 2018/04/21(土) 15:10:10.22

発展編10
問題1。E(2n)=E(2n-1)。
k回が負、2n-k回が正とする。E(2n)=4n× (2n-1)C(n-1)/2^2n。ウォリスの公式。E(2n)≒0.8√2n。
問題2。X(n)=kとなる確率をpk、X(n+1)=kとなる確率をqkとすると、qk=pk×1/2+p(k-1)×1/4+p(k+1)×1/4。
4E(X(n+1)^2)=Σk^2×4qk (-n-1≦k≦n+1)
=4E(X(n)^2)+2。E(X0^2)=0。∴ E(X(n)^2)=n/2。よってE=n。E(D(n))≦√n。√30^2 ×50=1500cm=15m。
これは問題1でも成り立っていた(問題1では0.8、問題2では0.9)。
問題1追加。和の期待値は期待値の和。
E'=E(n+1) -1。出発点に戻る回数の期待値と出発点から離れていく期待値が殆ど等しい(約1違い)。
問題3。カタラン数の手法。
正の向きを右に、負の向きを上に対応させると数直線上の左右の動きが座標平面上の第一象限に実現する。
一歩目が右か上かで場合分けをすると、
1- 9C4 ×2/2^10=1-3×7×6/512=193/256。
(2n-1)C(n-1)/2^(2n-1)=(問題1)/2n→0。戻らない確率が0に収束するので、ほぼ確実に一回は出発点に戻る。

**名無しなのに合格** · 2018/04/21(土) 16:57:08.21

発展編4
引く順番によらず公平である。順列の対等性。
問題1
14C0=15C0に着目して加えていくと、
19C4/20C5=1/4。
×の直後に引いても当たる確率は変わらない。
××の直後でも変わらない。
Aの要素の最初の×の次の○を取り除くとBの要素が得られる。またBの要素の最初の×の次に○を加えるとAの要素が得られる。
従って集合Aの要素と集合Bの要素とは一対一に対応するから同数である。
問題2
3番目の人が引き直しをするかしないかで場合分け。
○○○、○×△○、×△○○、×△×△○
または○○×○、○×△×○、×△○×○、×△×△○
⇔○○○、○×○、×○○、××○
または○○×○、○××○、×○×○、××○。
(△は後から数えることにして除けることがポイント)
⇔△△○または△△×○。
⇔○または×○。
これは1番目の人の確率と等しい。
別解。帰納法。n,kによらず＊で与えられると仮定する。
問題3
条件付き確率。
２つの箱の中には平均して1個ずつ○が入っていると考えられ、○を引かれてしまった後には○が残っていないと思われるが、計算をすると「X君はどちらの箱から引こうと同じである」となる。
「Aから○を引いた」という情報は「Aの中に○が多い」ということまでも意味する。
別解。クジを一列に並べ、初めの３つはAの箱、後の３つはBの箱としてよい。
題意は「5本中2本の○が入っているクジを1番に引くのがよいか3番に引くのがよいか」に帰着され、これは明らかに等しくなる。

**名無しなのに合格** · 2018/04/23(月) 00:49:28.98

演習編1
1
6!/2!2!=180。5!-4!/2!=108。
2
(1)8!/3!2!=3360。5!/2! ×6C3=2160。
(2)7!/3!=840。4!×5C3=240。600。
3
3^n-3×2^n+3。4^n-4×3^n+6×2^n-4
類題。6^n-3×5^n+3×4^n-3^n。
4
7C4=35。
5
2000=2^4×5^3。20個。31×156=4836。

**名無しなのに合格** · 2018/04/24(火) 03:11:54.05

演習編
6
(1)285+181-25×2=416。
(2)285+181+153-2(25+21+13)+3×1=504。
7
(1)9×8×6×4=1728。
(2)1桁は9個。2桁は9×8=72。3桁は9×8×6=432。
2241個。9000台は192個。8900台は24個。
8700台は24個。8697, 8695。
8
6!=720。4連続は4!×3!=144。3連続は4!×2×3!=288。
288。
9
(1)2^6=64。
(2)3^6=729。
10
(1)99C2=4851=49×3+784×6。
(2)3個等しいのは無い。2個等しいのは49通り
784個。833。
類題。3個等しいのは1つ。2個等しいのは(n/2 -1)個。
(n-1)C2 =1+(n/2 - 2)×3 +6×P。
6P=(n-1)(n-2)/2 -1 -3(n/2 - 2)=n^2/2 -3n+6。
P=n^2/12 -1/2 n+1。

**名無しなのに合格** · 2018/04/25(水) 19:06:17.26

演習編1
11
(1)このパターンだけ使える。3H3 ×3H1=30。
(2)3H6 ×3H4 -2H6 ×2H4 ×3 +1H6 ×1H4 ×3
=28×15-7×5×3+3=318。

12
(1)12C4 ×8C4/3!=495×70/6=5775。
(2)6C2 ×4C2 ×6C2 ×4C2/3!=15×15×6×6/6=1350。
(3)1350/3=450。

13
最短経路は9C5=126。
はみ出さない事と始点・終点には途中で到達しない事。
一回だけ戻れる。11C7 ×5=330×5=1650。
1650-126×2=1398。
同様に11C6 ×4-126×2=1848-252=1596。3120。

14
(複雑な)ルールにより削除できる経路(違反ルート)を削除してから、書き込み方式が良い。重要。61。
15
210-72-72+36=102。

**名無しなのに合格** · 2018/04/25(水) 21:39:57.97

演習編2
16(1)n≦k≦3n。(2)n≦i< j≦3n、j-i≧n を解けば良い。
重要。n≦i< j-n+1≦2n+1。(n+2)C2 ×4n/3=
2n(n+1)(n+2)/3。鋭角三角形はダブりが出る。直角や鈍角の方が数えやすい。
類題(1)(3n-2)×6n+2n=18n^2-10n。
(2)1≦i< j≦6n-1。j-i>3n を解けばよい。1≦i< j-3n≦3n-1。(3n-1)(3n-2)/2 ×6n=3n(3n-1)(3n-2)
鈍角三角形にはダブりがない。
17。8C4 ×4=280。
18(1)8+8-1=15。(2)場合分け。包除原理。
4×2^(2n-1) -4×2^n-2×2^2 +4×2-1=
2^(2n+1)-2^(n+2)-1。
19
(1)スターリング数。(n+1)Sk=nS(k-1) +k× nSk。
特定のものが単独でグループを作るか単独では作らないかで場合分け。nSn=nS1=1。
(2)5S3=4S2+3× 4S3=3S1+2× 3S2 +3× 3S2+3×3× 3S3=
1+5(2S1+ 2× 2S2)+9=1+5×3+9=25。
20
(1)樹形図で。24。72。120。
(2)一般化。最後のnにAを塗っても良いとすると、a(n+1)通りになる。
よってa(n+1)=a(n)+(2^(n-1) -a(n))×2
=-a(n)+2^n。
∴ 2^(n+2) +8(-1)^n。
最初と最後が同じものは、nが１つ小さい場合の数と見なせる。
21
上下を区別すると7!通り。
点対称な配置を数える。1×6×4×2=48。数えやすい。
(5040-48)/2=2496。2544。

**名無しなのに合格** · 2018/04/26(木) 19:45:23.61

演習編2
1
×→× 25。
○→○ 45。
○→× 05。
×→○ 25。
△→× の確率は0.3。言い伝えの確率は0.5なので、
ある程度は正しい。

2○○、××、○×、○×。
1/4 ×2/3 ×1/2 ×1/2 +1/2× 1/2 1/3 ×1/2
=1/24 +1/24=1/12。
別解。1C1× 2C1/4C2 ×1/2 ×1/2=1/12。

3
(1)5/9 ×4/8=5/18。(2)1/9C2 ×4=1/9。

4
(1)7C3/343=5/49。(2)7C2/343=3/49。∴ 13/49。
(3)1- 64/343=279/343。
(4)グググ+キキグ=27/343 +48×3/343=171/343。
(5)1- 9C3/343=1- 12/49=37/49。

5
(1)1/N。1/N +1/N^2=(N+1)/N^2。
1/N +2/N^2 +1/N^3=(N+1)^2/N^3。
(2)P(N, k)=(N+1)^(k-1)/N^k。帰納法。
1枚目が何かで場合分け。
別解。漸化式を作ることも出来る。

**名無しなのに合格** · 2018/04/26(木) 23:25:28.44

演習編2
6
(1)000 012 111 222、72/216=1/3。
(2)任意の2aに対して
条件を満たす3bがただ１つ存在し、それらに対して条件を満たすcは存在しない→不適。
条件を満たさない3bが5個存在し、それらに対してただ１つ条件を満たすcが存在する→適する。
30/216=5/36。
7
(1)場合分け。(n+ n(n-1) )/6^n=n^2/6^n。
(2)場合分け。n(n-1)(n+2)/2×6^n。
(3)1-(1/2)^n-(2/3)^n +(1/3)^ n。
8
(1)12/36=1/3。別解 1/2 -1/6=1/3。
(2)1/2 -(1/6)^2=17/36。
(3)1/2 -(1/6)^n。
9
(1)(5/6)^n-(4/6)^n。
(2)(4/6)^n-2(3/6)^n+(2/6)^n。
10
(1)一度でも南北の動きがあれば、以降の動きでそれを戻すことはできないから。等比数列の和の公式。
(2)(1- 2(4/6)^n +(2/6)^n)/4。
どの軸上を動くかの対等性。
どの象限に入るかの対等性。

**名無しなのに合格** · 2018/04/27(金) 01:07:42.10

演習編2
11。f(n+1)=2f(n)+g(n)、g(n+1)=f(n)+2g(n)+h(n)。
対等性より、h=g。(f,g)=1,2。4,6。14,20。48,68。
96/4^5=6/64=3/32。
12(1)7/9C3=1/12。(2)3×3×3/9C3=9/28。
(3)6/27 ×15×6/729=20/729。
13(1)(k-1)(N-k+1)/N^3。(2)3(k-1)(N-k+1)/N^3
(3)P(X+Y≦Z)=Σ(2) =1/2 -1/2N^2。
∴ 1/2 +1/2N^2。約1/2になる。
14(1)pq(1+q)、pq(1+p)。P>Q。
(2)pq(p+q^2+p^2)、pq(q+q^2+p^2)。P<Q。
(3)(pq)^2(1+p+q+q)、(pq)^2(1+p+q+p)。P>Q。

発展編3続き。
問題1。一般に人数の少ないグループの方が有利。
問題2。0では勝てず、1と2では引き分けになる。
4人の場合は対等性が保たれて公平になる。A君はどの手を出すのも同じである。これは3n+1人に一般化される。
5人の場合と3人の場合を考えてみると、0だけ特殊(0だけ不利)になるので公平ではなくなる。しかし不公平さは極小さいものに抑えられてはいる。

**名無しなのに合格** · 2018/04/28(土) 15:24:38.77

演習編2
15。女子のうち1人だけを固定する。他の人々は区別する必要がない。
(1)3/91。
(2)0<<b<<c≦13⇔1<b<c-1≦12⇔1≦b-1<c-2≦11。
11C2=55。1-55/7×13=36/91。
(3)x+y+z=12、x≦5、y≦5、z≦5
⇔a+b+c=3、0≦a,b,a≦5。∴ 3H3=10。10/91。

16二人→三人A→三人Bの順に考えて、
6/7 ×8/20=12/35。

17。経路全てが同様に確からしいのではない。
二ヶ所選べる限りにおいて同様に確からしい。
その観点から場合分け。58/256=29/128。

18
(1)場合分けをして、14/36=7/18。
(2)余事象。
n回の移動でEFD⇔EFEF…またはEFEF…D
(1/3)^(n-1)+(1/3)^(n-1)=2×(1/3)^(n-1)。
1/2 -(1/3)^(n-1)。

19
回転によって同一視出来る箇所を調べる。
4通りに場合分け出来る。
4×6×66+6×4×4×28=24×178。
(24×178)/(64×225)=89/(4×75)=89/300。

**名無しなのに合格** · 2018/04/28(土) 18:12:15.13

演習編。
20
(1)二項分布の公式と同値変形で示せる。
(2)(1)の拡張。同値変形で示せる。
(3)(2)を利用すれば示せる。
21
無限等比級数に持ち込まず、収束すると仮定しての極限値計算で済ませる。
(1)二回戦で勝つか負けるかで場合分け。
繰り返しの構造を把握する→漸化式を立てる時と同じ思考法。
(2)一回戦でAが負けた場合を考える。
繰り返しの構造を把握する。
22確率漸化式の原則通り。
(1)どれかのコインは奇数回ひっくり返したことになるから裏になってしまう。
(2)○○○(n+1)=○○○(n)+○××(n)という漸化式。
(3)試行回数を増やすと初期条件の影響が減り、対等性が重要になってくる。
23確率漸化式。原則通り。
(1)●○○と●●○に場合を分けて下準備をしておく。重要。●●●と○○○は以降の推移が決定してしまう。
(2)辺々加える。
(3)辺々引く。
そのあと足して2で割る、引いて2で割る定石。
階差数列。極限値。ポリアの壺の問題。
24期待値。
最大値の原理を使う。期待値の定義に従って計算。

**名無しなのに合格** · 2018/04/28(土) 19:56:48.39

演習編2
25
交点が存在する条件。c≦aかつd≧b。S=bc。
条件を満たす場合を立式して Σすると100/81。

26
X=2となる確率を求める。
場合分け。2/36 ×26/36 +34/36 ×2/36
=120/1296=5/54。X=3,4,5,6も同じ確率。
X=1となる確率は29/54。期待値は129/54=43/18

27
文字数が多くなる。処理能力の問題。
文字消去せずに必要条件で絞れる。
(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)を当てはめてみる。
不等式から等式の条件が導ける。
10z≦5x≦6y≦10z すなわち等号が成り立つことになる。
グー3/7、チョキ5/14、パー3/14。
実はどういう組合せでも確定する。
常に自分が勝てる戦略は存在しない。
有利な歩数の確率を最も下げておくという意外性。
自分にとって有利な戦術を相手に見破られると不利になる。研究の確認は有益。

28。色だけに着目して場合分け。
(1)一色○○○3通り。
二色○○△6×9=54通り。
三色○△◽27通り。
一点6×3+2×3×3=36。
二点0。三点6。零点42。
(2)54/84=9/14。
別解。(2)三個の球を順に取り出すと考えて良い。
確率変数を、色数字とも他と異なる場合は1、同じものを含む場合は0に設定する。
3個×1点× 4C2/8C2=18/28=9/14。

**名無しなのに合格** · 2018/04/28(土) 22:29:24.70

演習3
1
P(B/A)=P(B)かどうかを調べる。
Y=aとなる事象をA、X+Z=7となる事象をBとする。
P(B)=1/2 ×6/36=1/12。
Yが偶数の時、X+Z=2X≠7よりP(B/A)=0。
P(B/A)=0≠P(B)より、独立ではない。
Yが奇数の時、P(B/A)=6/36=1/6≠P(B)よりこの場合も独立ではない。
従ってaがどのような値の時でも独立ではない。
2独立試行。
(1)(6,0),(0,6),(3,3)のどれかであるから、22/64=11/32。
(2)A,Eのみを移動する。樹形図。
Cを通らない(3/4)^3=27/64。
Cを通らないでAに戻る(8+2+2+2)/64=14/64。
14/27。
別解。書き込み方式も良い。
3
(1)2(n-k)/n(n-1)。
(2)P(B/A)=1/k。
4
(1)5/9。
(2)P(B)=(1+15+75)/216=91/216。P(B/A)=60/216
∴ 60/91。
5
P(B/A)=P(A∩B)/P(A)=
0.001×0.98/(0.001×0.98+0.999×0.08)
=98/(98+7992)=49/4045。1.2%。
6。最大値の確率。最小値の確率。E1+E2=7。
足して7になるペアが作れる。

**名無しなのに合格** · 2018/04/28(土) 23:16:00.59

演習3
7
(1)必要条件で絞り込む。独立である条件。
m=1,2,3,4を調べると、m= 3。
11,10,01,00を全て調べてm= 3。
(2)2m(9-m)/9。

8
(1)全体で何枚一致するか考え、対等性から求める。
a(k)=k/n。
(2)E(x)=np=n× 1/n=1。

9
(1)EX=20/6=10/3。V=70/6 -100/9=5/9。
(2)EY=10/6=5/3。捌くのがなかなか大変。
(1,-1),(2,1)。

10。二項分布B(n,1/3)。
(1)E=-n/3。8n/9。
(2)分散の公式。8n/9 +n^2/9。
(3)yについても同様の計算をして、π(5n^2+13n)/9。
k^2 ×nCkを使うのは、二項係数の若干高度なテクニックが必要になる。

11
(1)幾何学的な意味を考える。中点と端点までの距離。
(2)(1)の利用。全てLまたはlとすると全て異なることができないので矛盾する。鳩の巣原理。
(3)(2)より、V=E'-E^2≦E'<(L- I)^2/4。

**名無しなのに合格** · 2018/04/30(月) 01:46:58.96

運用編1
1
仮定も結論も変形する。
証明問題の時は逆も言えないか関心を持つ。
２
2倍ならば一文字でOK。平方ならば二文字が良い。
同値性の威力。
解答は言い換えの連続。特に最初の言い換えが重要。
全ての→最小。存在する→最大。
3
最小値を求める。候補が少数ならば全て調べた方が早い。
複数の候補のままで考える手法。
4
任意と存在を式で表してから候補の比較をする。

**名無しなのに合格** · 2018/04/30(月) 01:58:04.31

運用編2
1
式の視覚化。適切なものを採用する選択眼。
固定放物線と傾きが変わる直線に分離する。
ポイント：一方は一次式にする。文字定数は分離する。
2
一次式を分離する。グラフの利用。
有益な情報がその形状に反映されている。情報力。
可能な限り正確に描く。
解と係数の関係。
同値性が保たれている場合は吟味は必要ない。
3
同値性は難しい。例をなるべく多く知っておく。

**名無しなのに合格** · 2018/04/30(月) 02:05:29.33

運用編3
Aの否定はA以外ということ。メルセンヌ数。
1
541。1は素数でも合成数でもない。
無理数。互いに素。
2
pならば(qまたはr)⇔pかつ￢qならばr
または、を解消すること。
3
実験をする。これは常識にしておく。対偶の効用。

**名無しなのに合格** · 2018/04/30(月) 02:22:56.42

運用編4
対偶の必要性のためにナンセンスなものが真に成り得る。
1
同じではない。
2
座標平面上に視覚化される。
3
一文字固定して座標平面。
4
カンマの位置で意味が変わる。

運用編5
実数であることを前提にすると同値な命題になる。
1
解の配置。対称式。加減法の原理。
2
一般原理。

運用編6
代入法の原理。一言では指摘しにくい→難しさがこの辺にある？
存在条件に結び付けないととんでもないことになる。
論理的に間違った議論をする悪い癖がつく。
存在条件すなわち文字の消去。

**名無しなのに合格** · 2018/05/01(火) 04:51:22.61

運用編7
1
xの存在条件。場合分け。
2
和と差。
3
存在条件。
4
成分を設定する。存在条件。
別解。まとめて扱う。

運用編8
自然流。逆手流。存在条件。
値域・軌跡・領域。範囲。
写像や変換。
自然流に拘ると非常に難しくなる。
自然流は網羅式、逆手流は候補者のみ。

**名無しなのに合格** · 2018/05/01(火) 05:03:17.44

運用編9
1
存在条件に帰着する逆手流。
2
共役。
3
対称式。解と係数の関係。

運用編10
1
一部を使う場合、どれを使うか。
必要条件で絞り十分性を確認する。
2
必要性だけで十分な問題。
うまい一部を使う。
対偶。

**名無しなのに合格** · 2018/05/01(火) 05:13:56.46

運用編11
1
ベクトル。
2
うまい二本を選ぶ。極限。
3
計算自体はかなり大変。

運用編12
適当→任意、適当は固定。
任意→適当、適当は変化させても良い。
1
必要性。
2
任意と適当の複合形。
どんなnについてもx,y,zをうまく選べば。
3
次数下げ。
4
積分自体はテーマではない。
係数比較。

**名無しなのに合格** · 2018/05/02(水) 07:45:36.85

運用編13
1
将棋倒し。
2
ある値以上ならば成り立つ、という場合。

運用編14
1
ピョンピョン飛んでから戻る。
2
二変数の場合、平面的に動く。

運用編15
1
取り得る値の範囲。文字の存在条件。
2
同次式。
3
予選決勝法。
4
一文字消去。消す文字によって作業量は変わる。
5
予選決勝法の原理の確認。

**名無しなのに合格** · 2018/05/02(水) 08:26:57.92

運用編15
1。文字の存在条件。
2。同次式を作る。
3。予選決勝法。
4。一文字消去。どれを消すか。
5。予選決勝法の原理の確認。

運用編16
基本となる定理。
1。定石と秘策。論理構造。
2。秘策の応用。

運用編17
別解。
重大な論理的欠陥。定理が必要。
凸性と重心。

運用編18
1。最大値の最小値。
2。平均値の場合を考える。
3。チェビシェフの多項式。
4。置き換えをする。

運用編19
1。排反でない場合分けでもOKな場合。
2。有り得ない場合も考える場合分け。
3。場合分けが不要になる場合。
4。次数に関する場合分けを回避。三次以下と置く。
5。場合分けをしたが、後から条件が一つにまとめられる場合。

運用編20
1。一方通行で。
2。不等号を消すための写像。
3。適切な写像を定める。
4。互除法。背理法。

**名無しなのに合格** · 2018/05/02(水) 08:36:18.90

はじめに
1
縛り首と答える。
当たりならば火炙りになる。→外れということ。
外れならば縛り首になる。→当たりということ。
矛盾が生じる。

2
ウソつきに聞く yesならば逆を選ぶ noならばそちらを選ぶ
ホントつきに聞く yesならば逆を選ぶ noならばそちらを選ぶ
どちらでも同じ質問で正しい情報が得られる。

3
対偶を考えると自明である。

4
長方形を一辺1mの正方形50個に分割すると、少なくとも2枚のコインはその分割された正方形のうちの一つの中にあることになる。一つの正方形の内部の二点間の最大距離は対角線の√2であるから題意は示された。
ディリクレの引き出し論法。部屋割り論法。鳩の巣原理。

**名無しなのに合格** · 2018/05/02(水) 12:18:17.49

§1
全ての。反例。
～は真である。～が成り立つ。
仮定が偽の場合、その命題は真になる。
p→q ⇔ ￢p∩q
対偶法。
任意と適当が同時に現れる命題。
1。同値変形。
2。対偶。
3。代入してみる。
4。有限集合。否定。
5。必要条件。十分条件。図を描いてみる。
6。集合を考える。

1。命題の真偽。
2。集合の包含で考える。
3。任意と適当の複合形。
4。適当と任意。
5。集合の包含。

**名無しなのに合格** · 2018/05/02(水) 12:29:00.53

§2
背理法。否定を否定して肯定にする。
対偶法。大前提として、命題の外側に位置させる。
数学的帰納法。
同値変形。
欠陥論法。存在条件に帰着させて議論する手法を逆手流
1。背理法。2。背理法。3。背理法。
4。対偶法。5。対偶法。6。背理法。7。対偶法。
8。対偶法。
9。帰納法。
10。欠陥論法。帰納法で証明することはおそらく不可能。

**名無しなのに合格** · 2018/05/02(水) 12:48:53.51

手筋1
1。手順を遡る。2。最小のものを定めておく。
手筋2
3。一個に絞って取り出す。条件を弱める。4。強める。
手筋3
5。極端な場合を考える。6。等号が成立するとき。
手筋4
7。視覚化する。8。グラフを使う。
手筋5
9。部屋を適切に用意する。10。4部屋作る。
11。可能性のある値を列挙しておく。
手筋6
12。中間値の定理。13。不等式の意味を考える。
手筋7
14。不変量を探し出す。15。タイルの基本形。
手筋8
16。全て書いてみる。17。先手必勝。厳密には帰納法。

1。一つ少ない部屋を作っておく。2。N部屋用意する。
3。級数を構成する。4。背景。

**名無しなのに合格** · 2018/05/02(水) 13:50:09.81

§2
1。行った船で帰らなくとも良い。
2。鳩の巣原理。
3。とりあえず必要条件で。
4。中間値の定理。定石。
5。部屋割り論法。境界にナーバスにならなくとも良い。
6。特定できないという発言がキーになる。
7。グラフ。
8。少なくとも、なので否定を取ってみる。
9。場合を分けてコツコツと。
10。総当たり戦。極端な場合を考えよ。
11。部屋割り論法。
12。グラフ。背理法。最大値の設定。
13。偶奇性。指標の設定。背理法。
14。特別な場合に帰着させる。
15。状態量を2通りに表す。複素数。

**名無しなのに合格** · 2018/05/02(水) 13:58:41.35

§2
16。凸多角形。エズテ・クラインの定理。
17。偶奇性。背理法。
18。部屋割り論法。
19。背理法。平均値。実数にすると難しい。
20。偶奇性。背理法。
21。グラフで表せる。図示できる。
22。極端な場合を考える。最小値を設定する。背理法。
23。整列する。小さい順に並べる。部屋割り論法。
24。部屋割り論法の心。一般化される。
25。部屋割り論法。部屋の作り方に工夫が要る。帰納法。

**名無しなのに合格** · 2018/05/03(木) 03:07:34.63

§1
1。数直線上の距離と見做す。横方向の距離。
2。縦方向の距離。
3。点と直線の距離。単位ベクトルの内積。
コーシー・シュワルツの不等式。
4。座標平面上の二点間の距離。折れ線は真っ直ぐに伸ばす。
5。距離の平方。
6。根軸。方冪の定理。

§2
1。分数式は傾きと見る。
2。傾きの逆数。
3。傾きから増加量へ。
類題。分母を払う。
4。単位円。三角形の重心。
5。加重平均。天秤の原理。食塩水の問題。

**名無しなのに合格** · 2018/05/03(木) 03:19:53.94

§3
1。内積と見做す。点と直線の距離の公式。
2。極と極線。
3。前問と同様。
4。ベクトルの和と見る。
5。外心と重心が一致する三角形。正三角形。
6。4個の場合は菱形。
逆手流。存在条件の追求。

§4
1。自然に追求する。順手流。
2。ベクトルの和と見て図示。
3。座標系と見なせば自然に見えてくる。
4。条件から円のパラメーター表示と分かる。
回転・拡大の基本。
5。パラメーター表示。
二変数関数。一文字固定。

**名無しなのに合格** · 2018/05/04(金) 02:05:17.16

§5
1。不等式で領域を定める。平行四辺形。線形計画法。
2。等式で一文字消去。不等式で領域を定める。線形計画法。
3。距離に結びつける。
4。y, z が存在するためのxの条件を求める。
5。(1)他の文字の存在条件。(2)xの2次方程式を作り、xの存在条件。(3)解と係数の関係。(4)対称式の利用。
6。2解をを設定し、座標平面上の存在領域。

陰関数。陽関数。5。は陰関数の博覧会のような問題。

§6
1。一次式以下のものを分離する。
2。前問と同様。
3。前問と同様。
4。円の一部と直線の交点の問題に帰着する。
5。直線群と円との交点の問題。
6。直交2直線の交点の軌跡。円の一部。
7。定数分離。グラフで考える。
8。危険だが一次式を分離。数3で定数分離も安心。

**名無しなのに合格** · 2018/05/05(土) 00:06:21.42

§7
1。最も高い所を保持したグラフになる。対称性。
2。最も高い所を繋ぎ合せて行く。通過領域。
交点ははっきりさせておかなければならない。
3。定義域の幅。値域の幅。
4。頂点のy座標。
5。適当な→任意の。任意の→適当な。
参考問題。zを固定する。傾きと見做せる。

§8
1。グラフで考える。関数値の和。
2。三次関数のグラフは点対称。定数分離。
変曲点を通す。
3。解と係数の関係。
4。f^2(x)=x。図形的な意味。線対称。不動点に着目する。
5。f^2(x)=f(x)。図形的な意味。グラフのイメージを持つ。
図で理解できる問題。

**名無しなのに合格** · 2018/05/05(土) 00:28:07.38

§9
1。複素数の回転を使う逆手流。自然流。
2。相似拡大の一般論。
3。逆手流。
4。鏡映。複素数平面。逆手流。
5。対称式。回転してみると放物線と分かる。
物理的に考えると速度ベクトル、加速度ベクトルと見做せる。落下運動。
6。拡大→平行移動か平行移動→拡大か。

§10
1。続き。拡大と平行移動の順番。
2。拡大縮小と平行移動と点対称移動と線対称移動。
3。変換で説明する。同じ直線上の線分比を変えない。
交点→交点に移す。接点→接点に移す。
面積はk倍になる。
横a倍、縦1/a 倍の変換で、各点は動くが全体的には不動曲線になる。
接点は必ず線分の中点。面積は接点の位置によらず一定値になる。
4。√b:√a。

**名無しなのに合格** · 2018/05/05(土) 00:59:50.29

§11
1。直線束。
2。交点を持つことを確かめておく必要がある。根軸。
3。係数の和が1になるように変形する。分点の公式。
共通接線。縦線をそのままの比に分ける。
4。曲線束。x^2とy^2の係数を等しくする。
5。 2直線の式を掛け合わせる。y^2を消去する。
パラメーターについて整理すると定点を通る事が分かる。
6。２つの極値点を通る直線の方程式。
３つの極値点を通る直線の方程式。
参考問題。全ての変曲点を通る直線の方程式。

§12
1。放物線の相似。
2。放物線の相似。内分点になることに注意。
3。カバリエリの原理。グラフの引き算。
4。類題。√3:√2。グラフの引き算。カバリエリの原理。
5。グラフの引き算。
β関数と面積。

**名無しなのに合格** · 2018/05/05(土) 21:46:49.57

§13
1。放冪の定理。yの差の公式。
2。放冪の定理。
3。yの差の公式。
4。放物線上の三点の三角形の面積。
5。放冪の定理。方冪の定理。
別解。曲線束。
6。yの差の公式。内分比。

§14
1。ア:イ=1:2。三次関数のyの差の公式。
2。yの差の公式。β関数。
3。yの差の公式。単純な関係。
4。yの差の公式。
5。差の関数。変曲点は変曲点に移る。面積は等しい。
6。接線の傾きの絶対値。極限。

**名無しなのに合格** · 2018/05/05(土) 23:38:38.77

§15
全て方法は同じ。類題。
1。包絡線。平方完成。2。包絡線。平方完成。
3。包絡線。平方完成。接線群。
4。包絡線。平方完成。
5。判別式。包絡線。6。包絡線。判別式。

§16
全て方法は同じ。類題。
元の曲線+変曲点における接線+漸近線+複接線
1。分割の基本。
2。凸性。答えではなく方法と確認の仕方を覚える。
3。区切って数えるだけ。慣れるまで訓練する。
4。変曲点における接線。
5。偽である。

§17
1。平方完成。式の意味を考える。
2。同値変形すると意味がはっきりする。重要。解の配置。
3。少なくともの意味。分類する。
4。言い換え。平方完成。包絡線。細かい所に注意する。
言ってみれば「定義に従って考えずに解く」
ことができるように。
5。包絡線。他の解法も試すべき。解法の幅を広げることも大事。
6。包絡線。円と直線の共有点の問題に帰着される。

**名無しなのに合格** · 2018/05/05(土) 23:49:07.66

準公式のまとめ
1。数直線上の距離と見做せる。
2。縦方向の距離と見做せる。
3。距離の公式。
4。方冪の値。
5。点と曲線の距離。接線までの距離。
6。曲線と曲線の距離。共通法線を考える。重要。
7。中点。分点。
8。加重重心。普通の重心。
9。傾きを表式。
10。内積と見做せる式。
11。内積と直線。反転。
12。極線。内積。接線。
13。正領域と負領域。
14。単位ベクトルと見做せる。
15。線型独立なベクトル。
16。直線や円のパラメーター表示。

**名無しなのに合格** · 2018/05/06(日) 00:07:58.67

1。微分して増減を調べるのが基本。
2。一方を固定する。重要。一文字固定法。
3。関係式が一文字について解ける場合、解いて他の式に代入する。
4。逆手流。文字の存在条件。
5。実数xの存在条件。不等式による存在条件。
6。共有点を持つ条件。
7。線型計画法。線分上・凸多角形上では端点だけ調べればよい。
8。 2文字の存在条件は座標平面上で。
9。2解の存在条件。座標平面で。
10。実数条件のバリエーションを覚えておく。
和と差で表すか、対称式で表す。
11。文字定数の分離。
12。値域の幅。
13。最大値を辿って、最大値のグラフを描く。
14。平行移動する。帯状になる。
15。簡略化される。対称な解を持つ。
16。y=xとy=f(y)との交点。

**名無しなのに合格** · 2018/05/06(日) 00:45:09.08

1。平行移動の式。2。線対称な図形の式。
3。点対称な図形の式。4。回転移動。鏡映変換。
5。引き伸ばし変換の公式。
6。比は変わらない。接点→接点。
交点→交点。面積はab倍。
7。曲線束。8。yの差の公式。二次関数。
9。yの差の公式。三次関数。10。放冪の定理。

1。放物線の割線の傾きと切片の公式。
2。放物線の相似。
3。三次関数のグラフの特徴。
4。包絡点。5。包絡線。6。包絡線に慣れる。
7。接線の本数。重要。
8。解の配置の図示。重要。

**名無しなのに合格** · 2018/05/07(月) 01:18:51.28

発展問題演習

1
a+bを固定する。
=kと置く。
kを動かす。

2
束に似た考え方で解ける。
円の方程式になるようにx^2とy^2の係数を合わせる。

3
極線。
計算要らず。

4
極線。
包絡線。

5
二文字固定。
cの一次関数と見る。
bの一次関数と見る。
aの二次関数になる。

6
格子点。
正方形の中の正方形の中の正方形。

7
(1)場合分けをしてから図示をする。
(2)パラメーターを設定する。
同値変形。

8
同値変形による言い換え。
論理構造。

9
一文字消去。
逆手流。

10
線型計画法。
原題。代入してu, vの不等式を図示して面積を求める。

**名無しなのに合格** · 2018/05/07(月) 01:36:35.99

11
定数aを分離する。
整数に拘らずに実数として考えると整数の条件が出てきた。出題者を信頼する。
12
(1)(2)(3)定数aを分離する。場合分け。
13
途中まではパラメーターを設定して同値変形していけばよい。包絡線の問題。相似変換。
14
値域の幅。
15
多項式の割り算。場合分け。中間値の定理。
16
線対称な図形を表す方程式の解について考える。
k>2。
別解。図形的に読み取れることを踏まえた上で、
9次方程式を解いてもよい。
17
§11の6の類題。背理法。三次関数の性質。
18
yの差の公式。場合分け。
19
yの差の公式。ゴールから戻ってくるように式を変形する。
20
引ける接線の本数と引ける領域。
変曲点で分ける。対称性の確認。

**名無しなのに合格** · 2018/05/08(火) 01:01:19.84

第2部手筋・常識・落とし穴
1。limは和差積商に関して分配出来る←収束するならば。収束する項を作る。
2。収束しないあるいは収束する保証が無い場合は分配出来ない。収束する項を作る。
3。全て同時に極限を取る。自然対数の底の定義はしっかり覚える。
4。合成関数の極限の移動。f(g(x))で fが連続関数ならばOK。
logを取る場面はしばしばあるのでlogの連続性は重要。
5。自然対数の底の場合、fは連続関数ではないので移動出来ない。
6。分母分子が共に0に収束する場合、商の極限は様々である。重要。
7。発散の強さ比べ。オーダー。
8。log<ベキ<指数<階乗。埃は無視しよう。
9。n^(1/n)について。logx/xという関数に帰着する。重要。

**名無しなのに合格** · 2018/05/08(火) 01:16:46.01

10。9の応用。2^4=4^2。e^π>π^e。99^100>100^99。
11。二項定理と挟み撃ち。> 1と< 1で場合分け。
12。二項定理と挟み撃ち。
13。実数になっても変わらない。重要。挟み撃ち。
14。二項定理と挟み撃ち。ワンパターン。
15。二項定理と挟み撃ち。途中で切るのがポイント。
実数になっても変わらない。
16。14は12と同様の手法でも解決する。二項定理と挟み撃ち。
17。自然対数の底の定義に出てくる数列は増加数列である。微分法の利用。
18。17は二項定理だけで解ける。不等式を作る。比べる。
19。17は相加相乗平均の不等式で一発で出来る。
20。17の数列は増加列だが上に有界である。二項定理と不等式。<3であることが簡単に分かる。重要。
21。17はeに収束する。上に有界な増加数列は収束するという高校教科書には無い定理を用いる。重要。ネイピア数。
22。指数関数とベキ関数の強さ比べでも二項定理を用いる。
23。うまい関数を設定して微分法。
24。テイラー展開を念頭に置いて不等式を作り、挟み撃ち。
25。指数関数と対数関数の極限では二項定理の利用が基本である。重要。

**名無しなのに合格** · 2018/05/08(火) 01:36:57.11

25。23と同様にも出来る。
26。同じベキ関数同士での強さ比べ。高位の無限大。高位の無限小。
27。収束する項を作る。埃を無視する変形をする。一番強い項で括る。
28。一番強い項で括れば出来る。厳密には不等式を作って挟み撃ち。
29。三角関数は、テイラー展開で身近な関数に近似する。
30。sin<x<tanをグラフで視覚的に押さえる。
31。log≦x-1<x<x+1≦e をグラフで視覚的に押さえる。
32。31の証明。微分法で。この不等式は様々な不等式の源泉。
33。31以外のlogの有名不等式。
34。cosを放物線で近似。二次近似。曲率円は入試問題として適度な難しさ。
35。分数関数を傾きと見てグラフの概略を押さえる。
36。分数関数を傾きと見て、sin/xが 0<x≦πで減少関数であることを掴む。
37。36の類題。分数関数を傾きと見る。
38。この無限級数は収束しない。振動する。
39。この級数は無限大に発散する。
40。39の級数はlognより大きいので発散する。
41。オイラーの定数。0.5772。無理数か有理数か不明の数。
42。無限級数が収束すればa(n)は収束するが、a(n)が収束しても無限級数が収束するとは限らない。重要。

**名無しなのに合格** · 2018/05/08(火) 01:52:25.54

43。ζ関数。π^2/6に収束する。
44。正項級数は項の順序移動が自由。交項級数は項の順序移動をしてはならない。
45。収束発散を無視して非合法な変形しても正しい解が得られる場合がある。log2に収束する級数。
46。45と同様に非合法な変形。π/4に収束する級数。
47。連続性。左側極限。右側極限。不連続に定義する場合。
48。連続であるが微分不可能な関数。尖っている場合。グラフが滑らかな場合は大抵OKだが、滑らかであっても微分可能でない場合がある。重要。
49。連続でなければ微分不可能。微分可能であれば連続である。
50。連続関数であるが微分不可能な関数の例。折れ線以外の例。無限に振動する関数。全実数で微分可能な関数であるがその導関数は連続ではない例。
この辺は知識事項に属する。

**名無しなのに合格** · 2018/05/08(火) 19:19:50.66

51。ロルの定理。図形的には当たり前のこと。出発点。
52。平均値の定理。ラグランジュ。接線の傾き。
53。平均値の定理。コーシー。パラメーター表示された曲線の接線の傾き。
54。平均値の定理とは(b-a)を取り出す定理。因数分解する定理。
55。54の具体例。取り出す時は平均値の定理を使う。
56。不定形の極限に対してコーシーの平均値の定理を用いる。
57。ロピタルの定理。コーシーの平均値の定理の応用。
58。階差数列。
59。微分と階差数列。増減。凹凸。
60。微分係数の定義の応用として極限値を求める。
61。極値を取るが f'= 0とは限らない。尖っている場合。
62。f'=0であるが極値とは限らない。停留する場合。
63。凸性と傾きと分数関数。
64。凸関数の不等式。重要。図形的把握。
65。相加相乗平均の不等式の図解。logの凸性を利用する。
66。p乗平均。まずは定義を押さえる。凸関数の利用。
67。微分は比の極限。まずは比の世界。身近に思える。
68。合成関数の微分。分数のように約分が出来る。その逆も可。
69。68の基になる公式。一般論。どんどん微分を掛けていくイメージ。

**名無しなのに合格** · 2018/05/08(火) 19:38:24.62

70。積の微分法。二次の無限小を無視する。重要。
71。3個以上の積に対しても同様の公式が成り立つ。3次以上の無限小を無視する。
72。導関数の記法について。場合に応じて使い分ける。
73。陰関数の微分は合成関数の微分と同じ。
74。逆関数の微分。
75。逆関数の二階微分。重要。
76。パラメーター表示の微分。二階微分のやり方に要注意。
77。サイクロイド。有名曲線。
78。逆関数のグラフはy=xに関して線対称。
79。y=xに関して線対称かつ単調増加または単調減少の時、逆関数。対称なだけでは駄目。
80。arctanのグラフと微分。重要。
81。arcsinのグラフと微分。重要。
82。多価関数。一価関数。
83。陰関数。
84。陰関数かつ多価関数の微分は積の微分法、合成関数の微分法。
85。84の応用。楕円の接線。
86。関数関係が無い等式は微分できない。重要。
87。対数微分法。
88。87の応用。分数関数は商の微分法ではなく対数微分法の方が良い場合がある。重要。

**名無しなのに合格** · 2018/05/08(火) 20:03:59.16

89。微分の前に概形を把握する。重要。関数の和。
90。関数の積。周期的。巻き込む感じ。
91。関数の積。傾きと見る。重要。
92。逆数にする時は点を幾つかプロットする。重要。
93。axは1/a 倍の拡大変換(x軸方向に1/a 倍する)。
x+aは平行移動(x軸方向に-aだけ移動する)。
94。x> 0の時、x座標は互いに他の逆数。y座標は等しい。x< 0の時も同様。
95。分母= 0の点とx→±∞の点を調べる。関数の和も利用する。
96。分数関数の極値を求める公式。
97。接する⇔関数値が等しい且つ導関数値が等しい。多項式の時にはf-gが(x-α)^2で割り切れる(重解条件)。二次曲線同士の場合(一方が直線でない場合)に要注意。重要。
98。接線の本数について直感的に把握する。元の曲線・変曲点における接線・漸近線・複接線の４つがポイント。
99。不等式の証明の基本。「どんどん微分」で殆ど解決する。
100。積の形にはlogが有効。重要。
101。文字定数の分離。重要。
102。完全分離「定数のみを分離)も良いが、一次式を分離しても簡単な場合もある。
103。不等式に対しても文字定数の分離は有効。

**名無しなのに合格** · 2018/05/09(水) 00:41:03.54

104。不定積分は微分の逆。慣れてしまいたい形。
105。一次式による変換。普通に定数倍するだけ。
106。特殊基本関数。
107。積の積分の公式。
108。107の一般化。
109。積の積分の公式。
110。難しい不定積分。図形的な意味付け。
111。置換積分の置き換え方。
112。カテナリー。２つの公式。
113。双曲線関数。逆関数に慣れておく。
114。微分は可能だが不定積分は不可能な関数を知っておく。楕円関数。
115。四分円の面積と見做せる積分。
116。半円の面積と見做せる積分。
117。対称性による等式。
118。117の具体例。重要。頻出。
119。積分値が0になる場合。慣れておく。重要でもない。
120。[-π,π] とすると全て0になる。重要。m=nならばπになる。

**名無しなのに合格** · 2018/05/09(水) 01:08:06.96

121。偶関数と奇関数。
122。偶±偶=偶。奇±奇=奇。偶×偶=偶。奇×奇=偶。偶×奇=奇。偶±奇はどちらでもない。重要。
123。偶関数の関数は偶関数。y軸に関して折り返した関数と元の関数の和は偶関数、差は奇関数。
124。ハイパボリックコサインは偶関数。ハイパボリックサインは奇関数。cosの関数は偶関数。x^2の関数は偶関数。
125。どんな関数でも [足して2で割る]+ [引いて2で割る]と表せるので偶関数と奇関数の和の形に表せることになる。
126。偶関数の微分は奇関数。奇関数の微分は偶関数。
偶関数の積分は奇関数+定数。奇関数の積分は偶関数。
127。-a≦x≦aの積分は、偶関数ならば半区間の値の 2倍、奇関数ならば0になる。重要。
128。偶関数と奇関数を平行移動させた時の積分。
129。128の発展形。グラフに関連付けて理解する。
130。定積分の難問の背景。対称性。
131。逆関数の積分と元の関数の積分のどちらが求めやすいか考える。
132。ヤングの不等式。増加する連続関数。
133。定積分の漸化式は部分積分法。但しtanは例外。
134。β関数。整関数の面積計算で出てくる。
135。β関数の応用。
136。134の応用。x= sintと置く。重要。
137。134の応用。x^2= Xと置く。sin^2=Xと置く。

**名無しなのに合格** · 2018/05/09(水) 18:34:22.78

138。定積分の漸化式の応用。結果を覚えておく。重要
139。limΣf(x)Δx→∫f(x)dx、定積分のココロ。重要。
定積分は足し算。または定積分は掛け算。
140。積分は微分の逆演算であるという真に驚くべき発見
141。区分求積法。無数の長方形の和に近似する。重要。
142。与えられた形から区分求積法を連想できるまでには一定量の練習が必要。
143。「似た形を見たら第一感は区分求積法」としておく。
144。部分和を求めるテクニック。→そのあと区分求積法。
145。一個や二個のズレは気にしない。p個飛ばし。無限積はlogで和にする。
146。近くの値は殆ど等しいのでp個飛ばしでは正確に1/p 倍になる。重要。
147。不均一な分割。リーマン積分。Δx→0ならばOK。自由な感じ。パラメーター積分の時に使う考え方。
148。sinカーブの山一個分で積分することを考える。すると平均として2/π 倍になる。重要。厳密には挟み撃ち。
149。極方程式。扇形で近似する。重要。
150。パラメーター積分。置換積分。重要。
151。パラメーター積分。１つにまとまる。重要。
152。パラメーター積分。強力な公式。重要。
パラメーター積分は普通の積分と同様、面積に正負があることに注意。

**名無しなのに合格** · 2018/05/09(水) 19:02:40.21

152。回転体の求積法。
153。回転軸を跨ぐ場合は折り返してから。
154。刳り抜く場合は、外側の回転体-内側の回転体。
155。バウムクーヘン。文字には全て符号がある。
157。普通に積分してもバウムクーヘンと変わらない場合。
158。パラメーターの回転体。置換積分。
159。パラメーターの回転体におけるパラメーターの意味。１つにまとまる。重要。
160。斜回転体。重要。
161。結局「斜回転体は、x軸回転の回転体のcosθ倍」という簡単な公式が得られた。重要。
162。パップス・ギュルダンの定理。
回転体の体積=面積×重心の移動距離。
163。軸と平面が平行の時。回転軸lを平面に正射影した軸l'の回りの回転体になる。
164。軸と平面が平行でない時。回転軸を平面に正射影した軸の回りの回転体の体積のcosθ倍。θは軸と平面のなす角。
165。球の体積と表面積の関係。無限に小さい錐体で近似して良いということ。
166。球帽と球の簡単で綺麗な関係。体積と表面積。
167。円錐を転がす場合の回転体は球面の一部になる。重要。
168。167は半球から球帽を除いた立体になる。
重要。体積は166から簡単に求まる。
169。円錐の側面のみを底面の中心を通る底面上の軸の回りに回す。円周の回転体は球の一部と考える。

**名無しなのに合格** · 2018/05/10(木) 20:47:14.28

170。y軸に垂直に切ってその断面積にΔyをかけて積分する。
171。厚みの方向。断面と軸の方向が垂直でない場合、ΔhはΔyのcos倍になる。重要。短くなる。
172。回転放物面。体積は円柱の1/2倍。
173。円柱は弓形にならないように長方形に切る。
174。カバリエリの原理。重要。
175。正射影によって面積はcos倍になる。
176。円錐の側面積のcos倍は底面積。
177。正四面体の正射影。二面角のcos=1/3。
178。円柱の側面積の一部の求め方。ΣrΔθ×f(θ)。
179。上端が変数の積分の微分。
180。上端下端とも変数の関数の時の積分の微分。
181。被積分関数の中のパラメーターに注意。置き換えで消すか、∫の外に出してから積分する。
182。定積分=定数と置く。
183。面積の微分。
184。はみ出し削り論法。
185。183は図形的にではなく数式でも表せる。

**名無しなのに合格** · 2018/05/10(木) 21:00:40.54

186。面積の微分。平行移動タイプと回転タイプ。前者は1:1の時、後者は1:√2の時。前者は合同、後者は相似。答えの当たりをつけるのに有効。
187。不等式の証明を微分ではなく積分でやる。
188。三角不等式の応用。重要。変位≦距離。
189。増加関数との積の不等式。
190。189の応用。
191。コーシー・シュワルツの不等式。
192。191の積分版。証明も重要。
193。積分の平均値の定理。
194。解けない漸化式。極限はグラフで目に見える。
195。解けない漸化式の極限の求め方。平均値の定理と不等式を使う。
196。反復法。無理数は有理数で近似出来る。
197。補間法。有理数で無理数を近似出来る。
198。ニュートン法。収束の速度がとても速い。
199。級数を定積分で評価する。不等式を作って挟み撃ちというパターン。

**名無しなのに合格** · 2018/05/10(木) 21:13:29.41

展開の話。

整関数の性質。局所と大域。
マクローリン展開。
指数関数、対数関数、三角関数のマクローリン展開。
logはlog(x+1)としておく。x=0の回りで展開するため。
マクローリン展開を途中で切ると近似になる。
一次近似。誤差。誤差も任意の厳密さで評価できる。
ロルの定理。
マクローリン展開におけるn次式の誤差。
展開の次数を上げていけばいくほど元のグラフに(局所的に)近づく。
極限値計算への応用。
不等式の背景。
オーダーの理解。
eやπ、log2などへの理解。
不思議な定積分。

**名無しなのに合格** · 2018/05/10(木) 21:33:14.48

グラフの概形。

覚えておくべきもの。
第1象限における円、放物線、正方形。アステロイド。
和と差で増やす。差はマイナスを足すこと。
カテナリー。
積と商で増やす。sinとの積のグラフの描き方。
商では逆数をイメージする。
傾きをイメージして増やす。
グラフの移動。逆手流。平行移動。引き伸ばし変換。
逆関数。
x軸対称であることを確認する。
x軸方向の「逆数をイメージ」で増やす。
偶関数や奇関数にピンと来るようにして増やす。
線対称や点対称を利用して増やす。
sinの関数はx=π/2 に関して対称になる。
分数関数は分母=0の点とx→±∞の振る舞いを調べる。
無理関数は根号を消去すると二次曲線になる場合がある。
根号の中身のグラフを勝手に描いてそれを見ながらプロットする。微分はその後で。
三次関数のグラフの常識。二重解の場合。三重解の場合。高位の無限小を無視した近似を活用する。
パラメーター曲線のグラフ。増減表を描くのがなかなか大変。対称性がある場合が多いのであらかじめ確認する。
進行方向右曲がりや進行方向左曲がりなどがdetで分かる。
サイクロイドやカージオイドは知っておく。
グラフのカルタ取り。慣れることの重要性。

**名無しなのに合格** · 2018/05/10(木) 22:31:19.60

ティータイム。

三角級数展開。フーリエの発想。
フーリエ展開。最良近似。直交関数系。
これを使ってζ(2)=π^2/6が分かる。重要。

**名無しなのに合格** · 2018/05/11(金) 00:54:24.76

実戦編1
不等式の両辺は、微分は出来ないが積分は出来る。
1。積と1との大小を考える。eの定義式。
2。補助の不等式を自分で用意するのが難。挟み撃ち。
大多数は1に近いので平均は1になる。
3。平均値の定理。文字の扱い。直感的には傾き。凸不等式。
4。凸性から相加相乗平均の不等式。帰納法。
5。p乗平均の不等式。重要。logを取る。
6。面積を想起する。
7。接線と割線で近似する。
8。偶関数。引き伸ばし変換。
9。平均値の定理。e^(-x)を掛ける。重要。
10。円周の下半分についての話。
11。マクローリン展開。 x=1/nを代入。挟み撃ち。

**名無しなのに合格** · 2018/05/11(金) 01:22:58.75

12。被積分関数を比べるだけで良い。
13。差を取ってどれか1つの文字の関数と見る。
回転体の体積と円錐の体積の比較。
14。有名問題。ε-δ論法。
15。フーリエ。(1)実際に積分する。(2)は帰納法。(3)は(1)(2)を利用して証明する。
16。ヤングの不等式の有名問題。
17。コーシー・シュワルツの不等式。
18。偶関数。部分積分法。図示すると理解し易い。
19。標準正規分布。(2)うまく代入するものを選ぶ。(3)は若干解析のセンスが必要。
20。(2)では(1)を利用するが単純にはいかない。基礎がこなれている(使いこなせる)必要がある。
21。(1)絶対値は簡単に外れる。定符号なので。(2)不等式のセンス。挟み撃ち。区分求積法。

別解。
1。logを取っても良い。
14。積分の平均値の定理。自然な感じで行ける。
20。p乗平均の不等式の積分版。場合分け。挟み撃ちで示せる。

**名無しなのに合格** · 2018/05/11(金) 18:28:26.53

実戦編2
絶対値付きの関数を積分する。パラメーターが付いていてそれに関する関数と見做す。その関数の最大値・最小値を考える問題。
面積と見做してその最小値が簡単に求められるように考察する。
1。場合分けをして絶対値を外して積分する。平凡な解法。
2。前問と同様の考察をして場合分けを減らす。交点のx座標で表すと良い。
3。絶対値を外した後、具体化し過ぎないように気をつける解法。パラメーターに関する不定積分を放っておく。重要。
4。今までのまとめ。一般論。重要。これも前問の具体化し過ぎない解法を使う。後半は前半を公式として使ってみる問題。
5。具体的に計算する。あとは接点の条件で連立して求める。
6。(1)フーリエ。(2)多項の二乗の計算。最良近似の問題。
7。継ぎ接ぎ関数。(1)境界条件。(2)実際に積分してから微分する平凡な解法。
8。周期性を利用。平行移動して定積分の値を求める。重要。
別解。図形的に解釈出来る。
9。(1)微分法。(2)積分してから微分して増減などを調べる。
10。平均値の定理。挟み撃ち。
11。(1)平均値の定理。微分係数の定義。挟み撃ち。(2)点対称を見抜く。
12。積分区間の最小値と最大値を固定して挟む。重要。挟み撃ち。
別解。平凡に積分しても良い。
13。極限値を予想してそれを生かす変形を試みる。重要。不等式で挟み撃ち。
別解。平均値の定理。
14。(1)実際に計算する。(2)最大値と最小値を持ち出して議論する。重要。挟み撃ち。
15。(1)普通に微分する。(2)(1)の不等式を利用して挟み撃ち。
16。定積分の漸化式。(3)により、重要な関数の極限値が得られる。超重要。
17。(1)前問と同じ。(2)階差数列と同じような考え方。
18。β関数。定積分。(2)場合分け。(3)普通の解法でも難しい。
別解。華麗な解法。対称性の利用。

**名無しなのに合格** · 2018/05/11(金) 20:01:59.20

実戦編3
原則的に「まずは視覚・感覚で、その後に数式で」。
はみ出し削り論法。
1。引ける接線の本数。頻出。(1)に帰着させる。
2。接点の定義。
3。接線と法線。一般論も成り立つ。
4。カテナリー。公式を覚えておくと良い。場合分け。
5。カテナリー。有名性質。公式を覚えておくと良い。
6。カテナリーに関連した巧妙な置換積分の方法。原理は既に見てある。
7。繰り返しの構造を生かす。場合分けをすれば簡単。
別解。場合分けが要らない。構造がよくわかる。
8。入り組んだ関数。(1)最小値を取る時のパラメーターについての関数を考える。(2)(1)と同様に考える。
9。図形的考察が重要。場合分け。曲線よりも直線が下側になる条件。
10。直角双曲線の性質。平行移動して考えても良い。
11。式を組み合わせる。近似でイメージする。
nが大きい時 nπ≦x≦(n+1)πのxをx≒nπで近似して良い。重要。
12。幾何図形。接線と法線。この程度の図形的考察は常識にしておく。
13。楕円は円を定方向に伸ばしたもの。コーシー・シュワルツの不等式。
14。面積一定の時、周は円に近いほど短くなる。極限値。
15。答えがアステロイドになる。計算が大変。
16。直角双曲線に関する面積一定問題。
17。余弦定理。円に内接する時に面積は最大となる。重要。
18。パラメーター表示してパラメーター積分する。xの増加関数であることを明示する必要がある。
別解。極座標表示された面積の公式を利用する。

**名無しなのに合格** · 2018/05/11(金) 22:40:38.38

実戦編4
構想力。計算は余り無い。重要事項の点検になる。
1。近似だけでは間違う問題。通分。極限関係は知識も重要。
2。偶関数・奇関数。導関数の定義に従うだけ。
3。内分点と解釈できる。必要条件で絞る。ε-δ。
4。平均値の定理。
5。図形的に解釈できる。はみ出し削り論法。不等式を想起できないと難しい。
6。図形的に解釈して立式する。
7。図形的に解釈して立式するが難しい。
研究。一般化する。この形で覚えておく。
8。定積分関数。普通に不等式の問題。
9。普通に不等式の問題。微分する。回転体の体積と解釈出来る。積分の平均値の定理。
10。うまい値を代入する思い切りとセンス。
11。部分積分法。微分係数の定義。最大値を文字でおく。
全体的に「図を描いて面積で考える」といったタイプ。

実戦編5。
文字が多くなる。全てtの関数であるという事実。目標を明確にする。
例題。微分方程式。
1。加速度の定義。
2。文字が多いので並べて一覧する。目標を明確に文字消去。
3。条件式を揃えてから、目標を明確にして文字消去。
4。パラメーターで座標を表してから、弧長の公式。
5。最終的には程良い距離を保っての等速運動。微分方程式。
6。対数螺旋。有名曲線。計算は面倒。
7。船の速度と水の流れの速度。
8。万有引力。エネルギー保存の法則。第2宇宙速度。
9。ニュートンの法則。微分方程式。
10。光の屈折。ベクトルの内積と見る。フェルマーの原理。
計算が多くなって何をやっているのか分からなくならないようにする。

**名無しなのに合格** · 2018/05/12(土) 13:00:15.19

11
1。(1)点と直線の距離。三平方の定理。
(2)分数関数の微分法。
別解。hの関数と見た方が簡単。
別解。S= sinθ/2より、θ=90°の時。
2。(1)定数数列になる。
(2)小数部分の逆数で範囲を絞る。重要。答えは2個。
(3)互いに素で設定する。重要。割り算を実行する。分母が正の整数の減少関数になるのでいずれは1になるかその前に分子が0になる。無限降下法。重要。
3。(1)普通に。(2)かなり激しい不定積分。重要。
(3)極限値の計算。
4。文字を置いて文字消去。直角双曲線になる。軌跡の限界の議論が重要。
5。(1)具体的に考えて簡単。
(2)通過範囲の時に使うパラメーターの変域を調べる図(a-b図)を使う。超重要。場合分け。
(3)(2)をそのまま使う。素直に使えるのは珍しい。
別解。cを固定した方が簡単。
6。(1)丁寧に間違えないようにやるだけ。
(2)集合の包含。
(3)x=kの切断面を求めて積分。場合分け無し。
7。条件を式に乗せるのは易しい。後は計算するだけ。

**名無しなのに合格** · 2018/05/12(土) 13:18:12.17

10
1。(1)図を描いて体積公式。
(2)bを固定する。aとcを消去できた後、bを動かす。
2。(1)中身を比べる。
(2)Σ計算できない所が出てくるので上手く評価する。重要。部分分数分解出来るような評価以外は駄目。気づけば後は簡単という問題。
3。(1)図を描いて考える。場合分け。玉のやり取りの問題だから難しい筈がないと思って解く。漸化式が得られる。
(2)漸化式を解く。(3)漸化式を解く。
4。(1)普通に。(2)等積変形。
5。どれか1つを固定する。答えは全部で8個。
6。(1)ベクトルでやる。それなりの計算だが難しくはない。
(2)場合分け。断面積を求める。(3)微分法。
7。(1)普通に。(2)積の和を内積と見る手法。
8。計算するだけ。

**名無しなのに合格** · 2018/05/12(土) 17:11:12.35

12
1。座標幾何。θの関数として立式し微分する。極値のx座標は求められないがαと置き、後で消去すれば良いパターン。
2。補助の数列を置き過ぎないように。対等性に気をつけて式を減らす。漸化式を作る。偶数秒と奇数秒で場合分け。極限値は全て1/3になる。これは当然。
3。丁寧に計算するだけ。バウムクーヘン。
4。(1)連続する2整数は互いに素。背理法。
(2)帰納法。互いに素。
5。(1)成分計算をする。detを計算する。
(2)掛け算の意味。成分が増えたり減ったりする事を掴む。
(3)同値命題。背理法。
6。(1)計算するだけだがハード。
(2)最後は|cost|の一次関数となる。そこまで頑張れればOK。
7。逆手流。yの存在条件を考える。実数条件。
8。分数関数の微分法。または相加相乗平均の不等式。
9。(1)普通に。
(2)接点のx座標を主役にする。aの値によっては存在しない。

**名無しなのに合格** · 2018/05/12(土) 18:06:37.24

13
1。回転と拡大の合成変換。丁寧に論証すること。
2。定数は分離せよ。絶対値が単調に減少する事に言及する。正確なクラブを描いてそれを用いて説明する。
3。(1)実験→場合分けを頑張る。
(2)面倒な級数計算の後、極限値。
4。(1)移項して二乗というベクトルの常套手段。
(2)計算を続けるだけ。
別解。tanの加法定理を利用。
別解。余弦定理から(a-b)を掛けてa^3-b^3を導く。巧妙。
5。(1)答えは汚くなるが難しくはない。
(2)一並び問題。037×3=111に着目出来るか。
y=037を33回並べる。x=10^nとする(n≧99)。構成する。
別解。最上位の桁から連続して1が並ぶ事を示す。背理法。存在しないと仮定しているのでf(n)<…< f(n+1)を満たすnが存在する。これがポイント。
6。(1)円錐は内積で捉える。x=tの切断面。場合分け。
(2)図形的考察。対称性を存分に使う。
7。次数下げ。折れた部分も極値になる。計算は面倒。
8。双曲線の焦点。(1)√は外れる。
(2)これも焦点と双曲線上の点との距離なので√が外れる。
9。場合分けが多い。5個に分ける。個々の作業は簡単。

**名無しなのに合格** · 2018/05/12(土) 21:11:41.11

9
1。(1)互いに素。
(2)帰納法。(3)k=dm-1として、2≡0となる。
別解。(3)(1-1)^m=0より、dmは2の約数と分かる。
2。上三角行列。一次変換。帰納法。三角化。
3。(1)ある一色が二回、他の三色が一回ずつ。
(2)(1)と同様。
(3)2,2,2,4または2,2,3,3のいずれかである。
4。(1)切り口の断面積。
(2)挟み撃ちの原理。
5。(1)logを取る。微分する。
(2)0.01を代入して0.99倍する。後者が難しい。
-0.01を代入して0.99倍する。
6。(1)垂線を下ろす。直角三角形。
(2)二等辺三角形。(1)を利用。
(3)相対速度の考え方。三角形の内対角。(2)を利用する。3つの式からθ1以外を消去する。sinカーブと直線の上下関係。
別解。k>1の時、sinkx≦ksinxを利用する。たまに現れるが必須ではなく思い出しにくい。覚えておくと良い。
7。(1)中心と半径。(2)平方完成。
9。(1)2点を通る条件。aの値で場合分け。ちょっと面倒。
(2)相加相乗平均の不等式。

**名無しなのに合格** · 2018/05/13(日) 04:15:10.76

14
1。(1)座標を設定する。外積。
(2)tanの加法定理。鋭角。2次方程式の2解。
2。(1)普通に。
(2)漸化式。(3)極限。
3。(1)実数条件。(2)普通に。(3)置換積分。偶関数・奇関数。
4。(1)一個一個丁寧に論証する。
(2)帰納法。上手い値を代入する。等比数列。挟み撃ちの原理。(3)置き換え。ε-δ。連続関数。
5。(1)漸化式。代入。(2)実際に計算する。
(3)modpで考える。(4)剰余。繰り返しの構造。
6。条件を式にする。qを消去する。最大値・最小値の候補。線分を、直線のうち他の直線との交点を利用して捉える。
7。(1)平方完成。
(2)三次関数の極値問題。
9。条件を式にする。点が領域に含まれる条件は代入して成り立つ事。最大値・最小値の候補でよい。

**名無しなのに合格** · 2018/05/13(日) 05:29:25.38

15
1。aの存在条件から通過範囲を求める。除外点や境界に注意
2。(1)２つのAを区別する。漸化式が得られる。
(2)(1)と同様に解ける。
別解。初手で場合分けする。三項間漸化式が得られる。
3。(1)微分法。(2)回転体の体積公式を用いて積分するだけ。(3)付け足しのような問題。
別解。(1)文字定数を分離しても良い。
4。(1)n+1の時もnの時と同じになる。(2)普通に。
(3)帰納法が安全。
5。割り切れる最大数。文字で置く定石。場合分け。
6。(1)不等式で評価する。
(2)(1)と途中まで同じ流れ。単調増加関数より、導関数についての不等式が得られる。挟み撃ちの原理。
7。A。微分法。反例が作れるので偽。
B。等号成立条件が矛盾するので等号は成立しない。従って命題Bは真である。
A Bとも勘で当たりにくい。
8。2点を通る放物線の問題。xを固定してaを動かす。
9。tanの加法定理。頻出。相加相乗平均の不等式。
直線の傾きではなく、円の中心と半径が大事。
10。２つのAを区別すると上手く解ける。2の類題。

**名無しなのに合格** · 2018/05/13(日) 14:33:03.57

16
1。対数微分法。平均値の定理。
2。巴戦。場合分け。条件付き確率。
3。Sを求めて微分法。
4。鋭角三角形。余弦定理。三平方の定理の不等式。
5。九並び。互いに素。
6。断面積を求めて積分する。
7。ベクトルの内積。鋭角三角形。
8。遷移図を描けば状況は一通りに決まる。
9。連立する。1/6公式。
10。(1)周期性。(2)周期性。(3)(1)(2)を利用。mod。