マスターオブ整数

**名無しなのに合格** · 2018/03/28(水) 12:50:34.79

第三部難しすぎて萎えるんだけど

**名無しなのに合格** · 2018/03/28(水) 14:15:35.86

東大、京大理系ならやったほうがいい。
ただ一橋整数の対策としてやるのはオーバーワークすぎ。過去問研究通して経験積めば
出来ない問題はなくなっていく。

**名無しなのに合格** · 2018/03/28(水) 15:29:40.25

京大文系やなあ

**名無しなのに合格** · 2018/03/28(水) 15:30:48.18

>>3
じゃあいらんなー

**名無しなのに合格** · 2018/03/28(水) 15:55:24.51

文系のどこ？

**名無しなのに合格** · 2018/03/28(水) 16:45:40.84

東工大に必要？

**名無しなのに合格** · 2018/03/28(水) 17:03:40.91

第3部
1
直線の式、格子点、互いに素
1・1
格子点の三角形の最小面積は1/2
1・ 2
設定して調べると±1のみ
1・3
表せない自然数の個数(非負整数の場合についても調べておくと良い)
ピックの定理、互いに素

**名無しなのに合格** · 2018/03/28(水) 17:08:15.98

>>5
総人

**名無しなのに合格** · 2018/03/28(水) 17:08:49.63

>>4
おっけ、でもちょっとやっちゃったから理系問題だけ飛ばしてやる

**名無しなのに合格** · 2018/03/28(水) 17:14:51.24

>>6
東工大の問題4問乗ってるけどどーなんやろ、京大理系の問題がクソ多い

**名無しなのに合格** · 2018/03/28(水) 17:17:21.11

第3部
1
大小を勝手に設定する。不等式で絞る。虱潰し。
大小関係の解消し忘れに注意。
2・1
(1)分母を払って両辺を見比べる。
(2)3の倍数を置く。虱潰し。
(3)3の倍数を置く。虱潰し。
※絞った後で全部調べる。
2・ 2
不定方程式の一般論。単位分数の和。
大小関係を設定してその場合に有限個であることを示す。N個の置換はN！で、これは有限だから。
そのあと帰納法。最大の整数。

**名無しなのに合格** · 2018/03/28(水) 17:24:46.42

巻末にいいこと書いてあってけどなんか腹立った

**名無しなのに合格** · 2018/03/28(水) 17:29:53.97

第3部
1
指数関数形の剰余は周期を持つ。
(1)MOD7でOK。
(2)いくつか調べると候補は7のみ。MOD7でOK。
3・1
まずは奇数に絞れる。調べるとMOD 10で9のみ。
3・ 2
対偶を示す、すなわち互いに素ではないと仮定する。
2^i≡1 (MOD p) を満たす最小の iをkと置き、k>1を示す。この手法は重要。
または二進法を使う。

**名無しなのに合格** · 2018/03/28(水) 17:41:17.58

第3部
4
具体的に調べて法則を探る。
nCpは pの倍数ではない。
nCqは qの倍数ではない。
nC1＝pq。
4・1
右段の２つの定理が重要。注もチェック。
4・ 2
素因数分解と因数分解。
片方が1より大なので他方が1に決まる。
二項展開。上記定理により奇素数pで割り切れる。
連続 2整数は偶奇を異にするからd－1は2で割り切れる。

**名無しなのに合格** · 2018/03/28(水) 18:06:32.87

第3部
5
冒頭の証明は重要。整数係数の整方程式の有理数解。
モニック多項式。(2)は対偶を示す。
※アイゼンシュタインの定理(既約判定法)の一部。
5・1
(1)冒頭の定理で「持つとしたら○○」を出しておく
実際に調べる。
(2)冒頭の定理ではなく素因数分解を使う。
5・ 2
q＝0の場合に注意する。MOD 4を使う。
5・3
MOD 2または偶奇性を使う。
5・ 4
解と係数の関係。少なくとも１つ→結局２つとも。
不定方程式を解く。
5・5
解の公式で実際に解く。
ちなみに最終行のように問題を変えると
答えは、そのようなbは存在しない、となる。

**名無しなのに合格** · 2018/03/28(水) 18:34:20.38

第3部
6
次数下げ。または適当な基底を取る。
必要条件で絞る。逆にそれで十分であることを示す。
6・ 1
次数下げ。帰納法。逆向きに帰納法を進めると自然数だけではなく整数において成り立つことが示せる。
6・2
n次多項式にn + 1個の値。
次数下げ。帰納法の仮定と命題の仮定の２つを仮定する。
適当な基底を考えても解ける。

**名無しなのに合格** · 2018/03/28(水) 18:50:12.94

第3部
7
剰余の漸化式。必ず周期を持つ。
(1) 10の倍数⇔ 2の倍数かつ5の倍数。
部屋割り論法。
(2) qがrを因数に持つか持たないかで場合分け。
漸化式を逆向きに使う。重要手法。
7・ 1
(1)初めの 10項を調べる。問題文がヒントになっている
(2)初めの8項について成り立つ→帰納法。
８つおきの帰納法。
7・ 2
2× 9に分解する。
偶奇性。MOD 3でMOD 9。
7・3
帰納法。平方数ではさむのは当然として最後の一個で場合を分ける。どちらも成り立つ。

**名無しなのに合格** · 2018/03/28(水) 19:01:49.31

第3部
8
重要な置換。cos∈Qからt^2∈Qからのt∈Q。
有理数条件からピタゴラス数。
8・ 1
互いに素。MOD 4で矛盾を導く。
xとzは奇数なので偶奇が一致するから和と差で表せる。
共通な素因数を持たないことを示す。互いに素なので偶数個ある素因数は分散しない。
8・ 2
(1)帰納法。
(2)帰納法。式変形。平方完成。
(3)無限降下法。連立方程式。
3：4：5に帰着する。

**名無しなのに合格** · 2018/03/28(水) 19:10:56.99

第3部
9
共役。
二項定理。偶奇で場合分け。ペル方程式。
9・ 1
共役を考える。辺々かける。
帰納法は不可(重要)。
9・ 2
片方は 1より小さい数のn乗になるのがポイント。
MOD 5で考える。a≡3^n＝3, 4, 2, 1, 3, ...
2a-1=0, 2, 3, 1, ...

**名無しなのに合格** · 2018/03/28(水) 19:38:01.19

10
ペル方程式
(x n, yn)は全てペル方程式の解となる。
逆にペル方程式の自然数解は(x n,yn)が全てである。
xを消去→不等式評価。
無限降下法。yは負になることはない。従っていつかはy＝0になる。この時x＝ 1。
x1>0を示しておくことが必要。
※全て(1,0)に帰着する。
10・ 1
(1)実際に計算する。
(2)絶対値が増加することを示す。
10・ 2
(1)積に分解する。場合分け。
(2)帰納法。

－ 1にすると nが奇数の場合のみ満たす。

10・3
(1)ブラーマグプタの恒等式。
(2)a＝ 2として漸化式を作る。うまい値を代入する必要があるトリッキーな問題。 2箇所のうち1箇所だけ文字を消去する。
恒等式の利用。自然数の増加列であるから全て異なる。
nに 1から代入していくと n＝ 4が当てはまる。

**名無しなのに合格** · 2018/03/28(水) 19:51:51.04

第3部
1 1
1と同じテーマ。
互いに素。格子点。端点。
面積の最小値。
1 1・ 1
(1)背理法でもできる。
(2)平行四辺形の面積二等分。
1 1・2
ピックの定理。面積＝内部 +周/ 2 － 1
1 1・3
格子点を結ぶ三角形の面積は有理数、
正三角形の面積は無理数になる。
1 1・ 4
正多角形の１つの内角をθとすると
sinθが無理数の時、存在しない。
五角形全体を考える必要が無く、三角形について考えるだけで良い。
別解。正五角形の中に平行四辺形ができるので格子点を内部に含むことになる。これが無限に続くので矛盾。

**名無しなのに合格** · 2018/03/28(水) 20:35:20.01

>>21
なんかありがとｗｗｗｗｗｗｗｗｗ

**名無しなのに合格** · 2018/03/28(水) 21:11:28.73

第3部
1 2
書きづらいが実際に図を書く。
反射は折り返して直進させる。
繰り返しの構造。
交点を間違えないように数える。
1 2・ 1
(1) iを i + 1に変えても変わらない不変量である。
(2) (1)が利用できる。オイラー関数、互いに素。
1 2・ 2
dが0かどうかで場合分け。回転角をθとしてパラメーターにする。内角を設定する。
問題を見れば自然に分かる。

**名無しなのに合格** · 2018/03/28(水) 21:27:51.46

第3部
1 3
前問と似ている。
互いに素。偶数と奇数。
MOD mで余りが全て異なる。奇数と偶数で場合分け。
証明すべきことを定式化できるかどうかが鍵。
1 3・ 1
折り返しの連続。
有理数と無理数。
1 3・ 2
減少数列ではないが二項ずつ取ると減少している。
実験が大事。無限降下法。背理法。
有理数の話を整数の話にする。分母を払う。繰り返しの構造。いつかは0になる。

**名無しなのに合格** · 2018/03/28(水) 21:37:58.72

第3部
1 4
背理法。
かなり特殊。行列式。
1 4・ 1
ユークリッドの互除法。
例題と同じ解法でも解ける。
オイラー関数。中央項。奇数。

**名無しなのに合格** · 2018/03/28(水) 21:44:46.87

第3部
1 5
MOD 3。
分母を払って矛盾を導く。
分母が揃うしかないことに注意する。
1 5・ 1
幾何学的な意味。xが有理数でyも有理数になる。
これが重要。
無限個存在する。

**名無しなのに合格** · 2018/03/28(水) 21:52:17.44

第3部
16
重要問題。桁の移動。漸化式。実験。
16・ 1
帰納法。最小のものは二進数。
16・ 2
二進数で鮮やかに解ける。振動する。

**名無しなのに合格** · 2018/03/28(水) 22:05:18.54

第3部
17
ガウス記号。
bを自分で用意するところがポイント。
レイリーの定理。
17・ 1
的確に設定する。数え間違いをしない。
17・ 2
的確に設定する。互いに素。[1/α]は整数、がポイント。
絞れるので虱潰し。

**名無しなのに合格** · 2018/03/28(水) 23:09:36.84

第3部
18
(1)偶奇で 4通りなので部屋割り論法・鳩の巣原理により成り立つ。
(2)偶奇で8通りなので最低9個でダブる。
18・ 1
S 0とS kを設定する。
S 0からS nまで n + 1個あるのでそれらのどれか２つは必ずMOD nで一致する。
18・ 2
(1)差を因数分解するとどちらもp未満になるのでpで割り切れない。
(2)余りの中に kがあるかないかで場合分けをする。
ある場合はうまい値を代入することで解決する。
ない場合。あまりは k + 1個で 0～p－ 1＝ 2 kの中にある。
k室用意して 0～ 2 kまで2人ずつ入れると、k + 1個のあまりは全てが一人で入ることはできない。
部屋割り論法・鳩の巣原理。
2 k + 1＝pでOK。

終わり。

**名無しなのに合格** · 2018/03/29(木) 00:02:19.03

>>29
とりあえず保存しとくわw

**名無しなのに合格** · 2018/03/29(木) 00:13:21.03

すげえ優しい人いて草

**名無しなのに合格** · 2018/03/29(木) 12:17:42.47

受サロも捨てたもんじゃないな

**名無しなのに合格** · 2018/03/29(木) 18:21:11.30

好意的なレスありがとうございます。
もう誰も見ていないと思うので勝手に続けます。

マスターオブ整数・第2部を読む。
基本事項のまとめではなくて発展事項の解説なので初めは読むのがつらいと思う。必ずしも読む必要はない。
一回で見開き2ページくらいずつ読むと案外読み終わるかも知れない。あと作業を実際やりながら読むのは極めて重要。整数問題は実験→規則性が大事。

素因数分解は整数で最も重要な論点。エラトステネスの篩。素因数分解の一意性。√ nまで調べれば十分。
素数には最大値はない+素数は無限個あることの証明が書いてある。

約数の個数の公式。約数の総和の公式。

**名無しなのに合格** · 2018/03/29(木) 18:30:38.04

マスターオブ整数・第2部を読む。p 57

n！に含まれる素因数の個数の公式(中学入試)
図にすると、縦に数えるか横に数えるか問題。

素因数分解してある数の最大公約数と最小公倍数の拾い出し方。小さい指数を拾っていけば最大公約数、大きい方を拾っていけば最小公倍数になる。
公式 A B＝G L、L＝G a b。

平方数の約数の個数は奇数個。重要。
非平方数の約数の個数は偶数個。
どちらも約数の総積(総乗)の公式は同じ。

**名無しなのに合格** · 2018/03/29(木) 18:47:45.97

マスターオブ整数・第2部を読む。p 58

素因数分解が終わって次のテーマに移る。
倍数の周期性。最小公倍数ごとに繰り返す。重要。
倍数の対称性。一列に並べると左右対称になる。重要。

※倍数というより、公差の異なる複数の等差数列と言った方がいい。

**名無しなのに合格** · 2018/03/29(木) 18:56:48.08

マスターオブ整数・第2部を読む。p 59

オイラー関数。 n以下の自然数でnと互いに素な数の個数。これは便利。
感覚的な理解。イメージ。
2で割り切らない中の、3で割り切れない中の、とやっていく。

中国剰余定理。
どの２つも互いに素という仮定。一周期の中にただ一つ存在する。
百五減算は覚えやすいし便利。

**名無しなのに合格** · 2018/03/29(木) 19:09:26.56

マスターオブ整数・第2部を読む。p 6 0、 6 1

合同式に入る。余りの計算は余りだけでやって良いということ。
※ここで言う計算とは足し算・引き算・掛け算のことで割り算は含まれない。

無限個ある整数を有限個に類別する。
円環的イメージ。
類。代表値。剰余類の法。
負の剰余も考えると便利。計算上、別に矛盾しない。
答えの時は普通の余りで答える。

合同式を使った計算の意味。別に合同式を使わなくても内容は同じ。
しかし簡潔に表現できるので楽だから使う。
便利だが間違って使わないように注意する。
自信がなかったら使わないで普通にやる方がいい。
しかし推論に役立つので食わず嫌いは勿体ない。

**名無しなのに合格** · 2018/03/29(木) 21:30:06.42

マスターオブ整数・第2部を読む。p 6 2

よく入試の元ネタになっている重要な性質。
互いに素。両方ともが素数である必要はない。
証明 1は普通。証明2は難しい。

**名無しなのに合格** · 2018/03/29(木) 21:44:59.58

マスターオブ整数・第2部を読む。p 6 3

pを素数、k<pとすると逆元が必ず存在する。
互いに素。
これが合同式における割り算に相当する。
1とp－ 1は自分だけで、他はペアでを組む。

ウィルソンの定理・・・p－ 1以外はペアを組むので積が1になる。逆元がポイント。

フェルマーの小定理・・・pと互いに素であるa、すなわちpの倍数以外のaについて成り立つ。

k^ iがMOD pで全て異なり、 0以外を覆う時、kをMOD pにおける原始根という。MOD 7で3は原始根である。

具体例があるので分かりやすい。

**名無しなのに合格** · 2018/03/29(木) 21:53:03.25

マスターオブ整数・第2部を読む。p 64

ユークリッドの互除法の解説。原理。
大きい長方形から小さい正方形を取れるだけ取り除いていくと最後に最大公約数の正方形が分かる。

**名無しなのに合格** · 2018/03/29(木) 22:01:15.40

マスターオブ整数・第2部を読む。p 65

このページは今までのまとめになっている。
非常に面白い。

a x + b y＝ 1 (aとbは互いに素) の図形的意味。
不定方程式と合同式とユークリッドの互除法と逆元とフェルマーの小定理が全て結びつく。最高。

**名無しなのに合格** · 2018/03/29(木) 22:12:30.43

マスターオブ整数・第2部を読む。p 6 6

格子点。ここでもax+b y＝ 1が活躍する。
基本定理を明確にしておく(２つある)。

内部に格子点がある場合は4個に分割される。
辺上に格子点がある場合は3個に分割される。

面積が2以上だと平行線で面積1にできる。
その時格子点は辺上に2個または内部に 1個。
最小平行四辺形の面積は 1、最小三角形の面積は 1/2。

**名無しなのに合格** · 2018/03/29(木) 22:30:01.27

マスターオブ整数・第2部を読む。p 6 7

ピックの定理。
面積＝(周上の格子点/2) + (内部の格子点)－1。

証明。
面積 n /2の多角形についてnに関する帰納法で証明する。
i≦kなる全てのiについて成り立つと仮定する。
適当な折れ線で２つに分ける。
折れ線の両端を除いた格子点の数がポイント。
※辺同士の交差があるとピックの定理は使えない事に注意。

**名無しなのに合格** · 2018/03/29(木) 22:32:52.67

>>43
スクリーンショットで一応保存しておいてるで！

**名無しなのに合格** · 2018/03/29(木) 22:45:07.79

マスターオブ整数・第2部を読む。p 68

ファレー数列。
(1,0)と(1,1)から始めて、隣り合うベクトルを足して
x成分が n以下のもののみ残す。
すると出来上がるものは全て既約分数であり、
全ての (任意の)既約分数を生成できる。

性質 2をまず示す。次に性質 1を示す。後半の証明がポイント。性質 3は格子点の整数論の基本定理を利用する。

第2部終わり。

**名無しなのに合格** · 2018/03/30(金) 18:57:38.51

今日も失礼します。
第4部は第 3部よりも難しいけど別に続きって訳でもない。
1部と2部はリンクしているが、1部と3部の関係は不明。決して1部が基礎問題、3部が入試対策、4部がそれより上って訳でもないと思う。

1
次数下げ。部分分数分解がポイント。
互いに素な分母を持つ分数同士の和は整数にならない。
それぞれが整数になる条件を求める。
分子 0の場合は無条件でOK。
2
f (i)＝2i－ 1 MOD 5 1
f^ n (i)＝iのなるよつな最小のi。
フェルマーの小定理。あとは虱潰し。8回。
漸化式風。5 1を 3と 1 7に分解する。よくある手法。
3
数列の漸化式。MOD nで２つの漸化式が１つになる。重要手法。
１つに決まるので確かめて終わり。

**名無しなのに合格** · 2018/03/30(金) 19:11:03.57

第4部
4
平方数が否かを初めに決定する。重要手法。
互いに素。素数の設定の仕方。
分母と分子が互いに素のパターンは多い。
5
オイラー関数。分数を作る。
Σφ (a i)＝a p＝k。
6
ガウス記号。xy＝k。
縦に数える
＝上+下+線分上 (線分上は[√k])
≡[√k] MOD 2。

**名無しなのに合格** · 2018/03/30(金) 21:01:53.12

第4部
7
(1)部屋割り論法。
(2) 1 0と nは互いに素。
8
フィボナッチ数列
(1)帰納法。
(2)合同式。MOD amで、
(3)帰納法。2変数。注1は重要。
注2は難しいが有用。これを使うと(2) (3)は自明になる。
9
素因数分解。素因数ごとにそれぞれ分けて考える。

**名無しなのに合格** · 2018/03/30(金) 21:32:33.17

第4部
1 0
一般解を求める。
必要条件で絞って十分条件を確認する。1 7組。
1 1
(1)互除法。
(2)背理法。平方数なので kは素数 1個ずつ。
連続5整数なので5以上は含むとしたら１つの項だけ。
Nが平方数である事に反するので矛盾。
(3)部屋割り論法。
自然数の平方数の差の最小値は 3。
1と4を含むためには n＝ 1。
120は平方数ではない。

1 2
(1) 2の冪のとき。例のパターンに帰着される。
不等式評価が難しい。
(2)奇素数の時。これも不等式評価が難しい。
逆元の時と同じ流れ。実験で規則性を掴む。

**名無しなのに合格** · 2018/03/30(金) 23:25:50.88

第4部
13
フェルマーの小定理。mod10。mod9。
不等式評価。
14
分母を払う。
m≧ 20として虱潰し。
15
(m, n)=1の時, (mn, m+n)=1。(mn, m^2+n^2)=1。重要。
(1)分母と分子が互いに素。
(2)最大公約数を設定する。
左辺も右辺も既約分数なので比べられる。パズル。

**名無しなのに合格** · 2018/03/30(金) 23:56:57.72

第4部
16
有理数αは整数。
m+knの形だと必ずnで割り切れる。重要。
連続n整数なのでmodnでmと一致するものが必ずある。
というかこの手のタイプは必ず含まれるようにできている。
17
素数生成多項式は存在しない。興味深い問題。
平行移動する。f(x+1)=g(x)と置く。
g(0)=定数項は素数となる。g(kp)も素数かつ pで割り切れるのでg(kp)= p。これはx = 0, p , 2 p , 3 p ,…に対して全て pになるということを意味する。無限の解を持つ事になって不合理。素数。合成数。
18
m , nからa ,bに主役を変える。重要。
a ,bは奇数なのでdは奇数。
m , nは偶数なので約数は2dの倍数になる。
平方数ならば奇数になるか4の倍数になる。重要。
2の倍数(かつ4の倍数にならない)なので矛盾。

第4部終わり。

**名無しなのに合格** · 2018/03/31(土) 08:16:40.46

age

**名無しなのに合格** · 2018/03/31(土) 12:04:15.33

おれもあげ

**名無しなのに合格** · 2018/03/31(土) 22:41:05.01

今日も失礼します。最後まで完走してしまうかもしれない。

昨日も書いたけどやっぱり第1部は独特の位置付けだ。それだけで完結している印象がある。それは研究問題の存在。

第1部研究問題
1
(1)連続する奇数の和で表す(すると中央項は90の約数になる)
90の奇数の約数は6個ある。
和の中には負の数を含むものがあるがそれは綺麗にキャンセルされる。
例:(-1+0+1)+2+3+…+13=2+3+…+13。
従って6通りになる。
(2)(1)と同様に考えると、
連続する奇数の和で表す場合の数は奇数の約数の個数を数えればよく (b+1)(c+1)通りとなる。
別解では偶奇性を使う。重要。大小が決まるので個数が求まる。

2 全てmod8で考えると解ける。
(1)mod8で考えると8で割ると2余る。
(2)mod8で考えると8で割ると4余る。
(3)因数分解する。mod8で考えると余りは
2, 2, 2, 4, 2となるので、指数は1+1+1+2+1=6。

**名無しなのに合格** · 2018/03/31(土) 23:02:21.32

第1部・研究問題
3
公式L=Ｇabを使ってLを消去する。
すると文字式が因数分解される。1300を素因数分解する。
(文字は因数分解・整数は素因数分解、
といういつものパターン)
(1)場合分けして虱潰し、の基本技法。簡単。
(2)見つけるだけ。

4
継子立てという問題。1個置きにどんどん取り除いていく。2^n個だけ残った後は余り2^0, 余り2^1, …という具合に綺麗に消えていく。なぜならば常に偶数個あるから。その場合、最後に残るのは2^n。

この問題では1996からスタートするので、
972個取り除いて1024個から再スタートと考える。
972番目は1943なので、1945から始めて1944で終わる。
一つおきではなくて二つおきとか三つおきとかでも同様に出来る。

**名無しなのに合格** · 2018/04/01(日) 08:50:04.76

第1部・研究問題
5
(1)オイラー関数φ(60)=60×1/2×2/3×4/5=16。
(2)17i, 17jを考える。(i,j は60の約数でi< j)。
0<1≦j-i≦59<60であるから、17(j-i)≡0 mod60ではない。
よって{17i}≡{i} mod60。
17^(φ(60))×Πi≡Πi mod60。∴ 17^(φ(60))≡ 1 mod60。
オイラーの定理。(a, n)=1の時, a^(φ(n))≡ 1 mod nの証明。

6
n!+k (k=2,3,4…,15)。nは13以上の整数ならば良い。

**名無しなのに合格** · 2018/04/01(日) 12:26:33.83

第1部・研究問題
7
(1)ユークリッドの互除法により、
(4x+9y, 3x+7y)=(x+2y, 3x+7y)=(x+2y, y)=(x, y)=1。
よって既約分数である。
(2)最も手数が多くなる数列はフィボナッチ数列になる。
r(k)=p(k)×r(k+1)+r(k+2) (k=1～n)。
rとpは全て正の整数(1以上)だがr(n+2)=0, p(n)≧2である。
重要。aを最小にすると回数は最大になる。
r(n+1)≧1, r(n)≧2, となるので、
r(n+1)=1、r(n)=2、r(n-1)=3
a(2)=1、a(3)=2、…と対応して
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597より、r(1)=987, r(2)=610とすると、r(n)=2よりn=14。

8
mod４とmod8を併用すると良い。難しい。
(mod４だけでは荒すぎて無理)

n≡i mod４とn^2≡i mod8で A(0,0)かB(1,1)か
C(2,4)かD(3,1)。
xとyの差が2であると仮定して矛盾を導く。

(1)AとCの時。zはBかDになる。
どちらの場合でも0+4+1= 5になり矛盾。
(2)BとDの時。
zはAかBかCかDになることに注意する。
1+1+0=2 または 1+1+1=3 または 1+1+4=6
または 1+1+1=3となり、矛盾。

**名無しなのに合格** · 2018/04/01(日) 19:44:19.61

あげ

**名無しなのに合格** · 2018/04/01(日) 21:17:37.46

第1部・研究問題
10
(1)公式ab=17×23=391
(2)公式ab-a-b=391-17-23=351

11
素因数分解=因数分解を使うパターン。
(p-q)(p+q)=2^6×7^3
偶奇が一致するから2^4×7^3を分配する。
平方数ではないので約数の個数は偶数個。
平方数ではないので大小は決定する(上と同じ内容)。
5×4/2=10。

12
gについて解くとg=2,3が分かる。なかなか気づかない。ここは難しい。
その後は場合分けして簡単。

13
分数式が整数になる条件は
分子=0または|分子|≧|分母|が必要。最重要。
(1)グラフを描いて必要条件を出す。個別に確かめて十分条件
(2)(1)のkが必要条件になっている。個別に確かめて十分条件

**名無しなのに合格** · 2018/04/01(日) 21:50:09.02

第1部・研究問題
14
(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2 ∈F。

15
繰り返しの構造を見抜く(知っておく)のがポイント。
(1)フェルマーの小定理より、n=6の倍数で十分。
下から調べるとnは3の倍数。
(2)フェルマーの小定理より、n=12の倍数で十分。
下から調べるとnは3の倍数。

16
(1)「分銅を使う・使わない」二進法の問題。
2^0から2^6までの7個あれば1～127まで測れる。
2^0～2^(n-1)までで1～(2^n- 1)。
(2)「分銅を右に使う・左に使う・使わない」三進法の問題。
3^0から3^４までの5個を使うと1～121まで測れる。
実験すると分かる。
3^0～3^(n-1)までで1～(3^n- 1)/2。(右と左があるので対称性より2で割る)
(1)(2)は同じ天秤の問題だが原理が異なる。(2)に注意。

**名無しなのに合格** · 2018/04/01(日) 22:12:48.35

第1部・研究問題
9
覆面算。ア～オの和をp、カ～ケの和をqとする。
実験をすると「p-q=15-9×繰り下がりの回数」が導ける。
p+q=45。繰り下がりがあることが分かるので、
p =21、q=24に決まる。
これで繰り下がりが二回あることが分かる。重要。
繰り下がりが二回あるパターンは全部で6通りある。虱潰しをして答えはそのうちの1通り。並び替えがあるので答えは2通りある。

研究問題終わり。

**名無しなのに合格** · 2018/04/02(月) 19:36:53.59

今日も失礼します。
第1部はいわゆる 1行問題。1日1セクションずつ16日で終わればいいという感じ。

§1
1(1)約数の総和の公式。(2)オイラー関数。
(3)(約数の個数/2)乗。

2(1)約数が偶数個⇔非平方数。(2)1×6と2×3で比べる。
3偶数回ひっくり返す⇔約数の個数が偶数⇔非平方数。
4約数の逆数の和をn倍すると約数の和になる。重要。

§2
1既約分数の分母を素因数分解した時に
素因数が2と5だけなら割り切れる。有限小数になる。
それ以外があると割り切れない。循環小数になる。重要。
分母が2^m×5^nになった時大きい方が3になれば良い。7通り。それに3を掛けたものもOKなので14通り。

2(1)なるべく√の外に出してから平方数条件で文字を置く。(2)も同様。
3素因数分解。「最低何個各素因数を持つことが必要か」とやっていけばできる。
4前問と同様。
5(1)(2)ともに第2部の解説通り。1とも関係がある。

**名無しなのに合格** · 2018/04/02(月) 20:05:10.99

第1部
§3
1(1)L(24,33)を掛けると整数になる。G(175,140)で割ると最小に出来る。
2縦:横が2:1になれば良い。縦20個、横7個でOK。
3(1)AB=GLとL=Gabで解ける。(2)は公式は無い。虱潰しだが間違いやすいので20個全部書いてから消していくのが良いかも。G=1かつL=18。
4(1)(2)2個なので公式でOK。第2部との関連。

§4
1(1)(2)規則性。最小公倍数。切れ目にも注意。
2(1)(2)規則性。最小公倍数。ブロックごとに足さずに、最初と最後をダイナミックに足すのが上手い解法。
3(1)(2)mod10での規則性。余りの数列は繰り返す。
4この数列は60項で 1周期になる。規則性。
別解。mod10で15項ずつ同じ数が連続する。規則性。7倍されるので1,7,9,1を繰り返す。
5余りの数列は繰り返す。規則性。

**名無しなのに合格** · 2018/04/02(月) 20:56:03.21

第1部
§5
1(1)オイラー関数φ(504)(2)規則性。第2部。
2オイラー関数φ(140)。
3オイラー関数φ(k)に対して2Σφ(k) (2≦k≦10) +φ(1)。
4オイラー関数φ(600)/2。

§6
1(1)(2)中国剰余定理。
2中国剰余定理。
3modで。
4mod8、mod3、mod5。中国剰余定理。
5百五減算。第2部。中国剰余定理。

**名無しなのに合格** · 2018/04/02(月) 21:37:06.20

第1部
§7
1西暦≡昭和 mod昭和。
2ユークリッドの互除法。
3文字式でもユークリッドの互除法。
「5の倍数であって10の倍数ではない数」という点に注意。※20の約数の中の5の倍数は5,10,20がある。
4 ax+by=1の解法。ユークリッドの互除法。2と同じ。
5点と直線の距離。第3部に類題がある。格子点の整数論。
6(1)(2)文字式でもユークリッドの互除法。3と同じ。

§8
1mod6。小さい順に並べた時に前の数の2倍以上になっているので 2数の差は全て異なる。
2mod11。
3 (1)6m±1と置ける。重要。(2)因数分解。場合分け。
4mod100。xと(x-1)は連続する2数なので互いに素である。従ってどちらかが25の倍数になる。重要。虱潰し。
(2)は(1)を調べる。
5mod3とmod4で調べる。それぞれ2通り。
中国剰余定理により、mod12で4通り。

**名無しなのに合格** · 2018/04/03(火) 00:34:27.05

第1部
§9
11の倍数の判定法の証明。
1 aとdはすぐに決まる。bも絞られる。
2 11の倍数の判定法。
3 9の倍数の判定法。小数でも関係なし。
4 4の倍数なので下二桁は76に決まる。あとは9の倍数にすれば良い。加える個数で場合分けをする。
5 A≡0 mod 9より、B≡0 mod 9 同様にC≡0 mod 9。
あとは不等式評価で絞る。
A<10^150(=151桁)より、A≦9×150=1350
B≦9×3=27。C=9。
6 9の倍数かつ11の倍数。分けると簡単。
7 1998=2×9×111。偶数なので2,4,6,8が必要条件。
2,4,8は9と互いに素なので9個未満では9の倍数にならない。確かめると不適。666,666,666÷111÷2=
6,006,006÷2=3,003,003≡0 mod 9でOK。
666÷111÷2=3と666,666÷111÷2=3,003を確かめると不適。

§10
1 互いに素なので全てOK。
2 (1)(2)特殊解を見つけて係数を逆にする。
3 解法は同様。パラメーターの変域を調べる。
4 点と直線の距離。ユークリッドの互除法。
5 中国剰余定理。立式後は今までと同様。
6 Aが11の倍数と仮定するとBが11の倍数であることが示せる。逆にBが11の倍数と仮定するとAが11の倍数であることが示せる。係数行列式≡0 mod11ならばこうなる。

**名無しなのに合格** · 2018/04/03(火) 01:18:50.02

第1部
§11
1 因数分解。全て書き出すのが安全。
2 因数分解。自然数条件で絞る。
3 因数分解。自然数条件で絞る。
4 完全数の問題。因数分解。
5 オイラー関数。因数分解。
6 zを消去して因数分解。8:15:17のピタゴラス数。

§12
1 足すとxが5の倍数と分かる。xが5と決まる。ら
2 zを分離するとzが7の倍数と分かる。zが7に決まる。
yを分離するとyが5の倍数と分かる。yが5か10に決まる。
三文字の場合、一個だけ分離すると手早い。
3 最も小さいxの範囲が決まる。x=2,3。あとは虱潰し。
4 左辺は4次式なので因数分解ではなくて不等式評価。
5 y+z≦2xより、y+z=x+1に決まる。重要。
z+xをyで割ると商は1または2。zは6の約数と分かる。
6 非負整数をパラメーターに取ると殆どの項が0になる。
普通にはxyz≦4から絞る。
7 左の不等式からc>1になること、右の不等式からc≧3にはならないことが分かる。それらからc= 2に決まる。難しい。最小のcに当たりを付ける。

**名無しなのに合格** · 2018/04/03(火) 01:47:00.50

第1部
§13
1 因数分解。片方が±1。
2 mod5とmod8でOK。
3 計算するだけ。結果は覚えておく。
4 (1)連続する2つの偶数の片方は4の倍数になる。
(2)文字で置いて計算すると連続3整数の積になるので6で割り切れる。
5 帰納法、または与式=Σ計算^4、または通分して2,3,5で割り切れることを示す。
6 nCrはr!の倍数より、連続n整数の積はn!で割り切れる。

§14
1 4abを平方数にすれば良い。
2 (1)yとzの連立方程式にする。(1)を利用すると(2)が解ける。
3 平方数の前まで足せばピタゴラス数になる。
4 Σk^3=55^2。
5
6 (1)背理法mod 3。(2)背理法mod8。(3)背理法mod5。

**名無しなのに合格** · 2018/04/03(火) 02:55:42.77

第1部
§15
1 (1)mod13。(2)mod14。
2 mod 2とmod 3で1111≡1になることを利用。
3 フェルマーの小定理より、a^6≡1 mod7、
a^2≡1 mod3、a≡1 mod2。aが2,3,7と互いに素な場合。
どの場合でもa^7≡a mod42。これは互いに素でなくても成り立つ。
4 (1)適当にxに当てはめて右辺に1を作る。(2)因数分解。(3)3と13に分ける。中国剰余定理。
5 mod 4。
6 p≡0,1,2 mod 3。場合分けをして調べると矛盾が見つかる。

§16
1 142857のどこかから始めて繰り返す。
2 フェルマーの小定理より、10^16≡1 mod17。
10^8+1。同様に、10^6≡1 mod7。10^3+1。
3 前問を使う。
1/17=588235294117647/9999999999999999
1111111111111111は17の倍数。
4 2^5～2^6-1まで32から63まで、32個。
5 1211212→10100101→165→2～165で164個。
先頭に1をつけておく。そうしないと繰り上がりが出来ない。
6 100=64+32+4→1100100→729+243+9=981。

**名無しなのに合格** · 2018/04/03(火) 03:25:03.57

第1部
§3 AB=GL。大小関係を設定すれば機械的に証明出来る。
§11(1)p^2q=28。(2)2^(p-1)(2^p-1)偶数の完全数。
奇数の完全数は発見されていない。
§12 カーティスの定理。
§15帰納法。

**名無しなのに合格** · 2018/04/03(火) 04:01:27.41

第1部
§14
5 合同な三角形を作る補助点Pを取るのがポイント。
あとは相似な三角形を見つける。直角三角形が多く見つかる。△CGHに三平方の定理。連比。

正方形を菱形に変えるとピタゴラス数がアイゼンシュタイン数に変わる。合同な三角形。
余弦定理。相似な三角形。連比。

**名無しなのに合格** · 2018/04/03(火) 20:06:32.51

読ませてもらってます

**名無しなのに合格** · 2018/04/04(水) 22:09:07.37

続けて書きます。質問とかあったらどうぞ。

マスターオブ場合の数
第4部
1
a>b+cとa<b+cは同数。最大数で場合分け。
a=b+cを調べる。20個あるので、答えは50個。
注も重要。

2
一つの切れ目に着目すると、 ABとBAの 2通りに対して
8C4 個あるから9×2×8C4。
(9×2×8C4 + 10C5)/10C5=5+1=6。
別解。5/9 ×9+1=6。

3
母関数。指数を素因数の個数に対応させる。
1,2,3,4,5,6→0+1+1+2+1+2→1+3x+2x^2。重要。
(2x^2+3x+1)^5=(x+1)^5(2x+1)^5
10×32+5×80+1×80=800。

**名無しなのに合格** · 2018/04/06(金) 01:11:47.12

場合の数
第4部

だいたい3問ずつでワンテーマって感じですか
4
同じものを含む順列の母関数。
実際に多項式を展開して800。
5
重複組合せの母関数。
nH4=n+3C4=(n+3)(n+2)(n+1)n/24。
6
これも展開すると49。

**名無しなのに合格** · 2018/04/06(金) 01:24:25.10

場合の数
第4部
7
三列に並べる。
8
偶数を２つに分けていくといつかは奇数だけになる。
同じ数があれば足していくといつかは全て異なる数になる。
9
全部並べて書いてから考える。
枠を作って中に入っているものを数えていく。

**名無しなのに合格** · 2018/04/06(金) 02:10:00.26

場合の数
第4部
10
(1)帰納法→部分積分法。(2)∫とΣの入れ替え。
11
階差数列を表す関数になっている。第4階差。
12
畳み込みの公式。二項定理。19C7と等しい。
50388。

**名無しなのに合格** · 2018/04/06(金) 02:36:15.86

場合の数
第4部
13
対応を考える。カタラン数cn。
14
カタラン数c(n-2)
15
カタラン数cn
16
22C5
17
(1)全射818520。包除原理。
(2)スターリング数10S4=34105。
18
最初に交わった所から入れ替えるという手法。
(10C5)^2-(10C4)^2=252^2-210^2=462×42=19404。
カタラン数の公式を導く時に用いる手法。

**名無しなのに合格** · 2018/04/07(土) 01:58:00.09

第1部
§1
1 6×6の表を作る。
2
(1)3回とも偶数。
(2)2回だけ偶数、1回は奇数。偶数のうち少なくとも1回は4。
別解。表を利用できる。
別解。母関数を利用できる。x^2+2x+3。
3樹形図の利用。
別解。経路の問題の考え方の利用。書き込み方式。
カタラン数でないこともわかる。c4+c3になる。
4(1)樹形図の利用。対等性の利用。
(2) 0とそれ以外に分ける。
5
(1)樹形図の利用。(2)(1)の部分的利用。
(3)偶数かつ3の倍数を調べる。
研究問題
1。10a+5b+c=100。
2。 2本目の当たりの位置で場合分け。
3。個数で場合分け。32, 311, 221に分かれる。
(2)それぞれに対して調べる。最後が多い。
母関数の利用。
(2)「前と違う色」を入れていけば良い。これは可能である。

**名無しなのに合格** · 2018/04/07(土) 02:18:25.65

第1部
§2
1(1)小さい順に並べる。
別解。スターリング数と同じ考え方。
(2)3の個数で場合分け。
2正方形の一辺の長さで場合分け。斜めの場合は内接する正方形を考える。別解。全部書いても十分。
3(1)直径。別解。直角の頂点から先に選んでも良い。
(2)正三角形のダブりに注意する。
4。3の倍数の条件に合わせてまず選んでおく。
漏れなくダブりなく。
研究問題
表を書く。公式がある。

**名無しなのに合格** · 2018/04/07(土) 11:23:44.75

第1部
§3
1(1)隣り合う→一纏めにして後でn!を掛ける。
(2)全体から隣合わないものを引く。余事象。
2。10C3。
3。(1)それぞれの組合せを掛ける。
(2)全体から男子だけを引く。余事象。
4。包除原理。簡単。
5。最短経路。平面。9C3。書き込み方式。
6。最短経路。立体。8C4×4C2。8!/4!2!2!。
7。重複組合せ。3H7。
自然数の個数に帰着させても良い。やや遅い。
最短経路としても解ける。9C2。重要。
研究問題。9H5=13C5。等しい場合もあることに注意。
まずは重複組合せで全部求める。次に同じ数字が何個あるかで場合分け。1+4×3+7×6より、1+4+7=12。

**名無しなのに合格** · 2018/04/07(土) 11:49:15.83

第1部
§4
1。約数の個数の公式。
2。6C2×5C2。
3。右下がりに点を取れば背反な場合分けになる。
場合分けに気付ければ計算は容易。
苦しいが書き込み方式の別解もある。
4。7×2^5。偶数だとOに、奇数だとGにいるがどちらでも選択肢は一通りしかない。
放射線の本数で場合分け。本数は戻ってくるので偶数である。7C2×2+7C4×4+7C6×6=
別解。環状線のうち、5本を通るか通らないかの2択。
5。6×6×6×2×2=864。難。
研究問題。適当な数字を一つ決めて内側から消去していくのを逆回しにすると常に外側から消去していることになる。一対一に対応するので、2^9=512。
別解。Σ9C(i-1)=Σ9Ci=2^9=512。
漸化式を作る。a(n+1)=2anより、2^9=512。

**名無しなのに合格** · 2018/04/08(日) 02:31:41.84

場合の数
第2部
1
整理して数える。樹形図。
基準を決めて整理すること。
6×6の表を作る。
1。5通り。2。12通り。小さい順に書く。
8通り。漏れなくダブりなく。

**名無しなのに合格** · 2018/04/08(日) 02:52:48.90

2
漏れを防ぐ。ダブりを防ぐ。
排反。全ての場合を排反に場合分けする。
6通り。11通り。ダブりがある。

3
6通り。
4
交わりと結び。または。かつ。
全体集合。補集合。余事象の利用。
ド・モルガンの法則。分配法則。
全体を1、補集合を1- sなどとすると説明がつく。
和の法則。積の法則。余事象。補集合。
56通り。55通り。包含と排除の原理。
撹乱順列。
5
順列は順序を付けて並べる。
組合せは順序を気にしない。
5P3=60。7C3=35。4C3=4。

**名無しなのに合格** · 2018/04/08(日) 03:08:15.57

6
数列の母関数。
7
35通り。書き込み方式。パスカルの三角形。
漸化公式。平行等式。吸収等式。
公式の作り方。
8
重複順列。6^r。64通り。

**名無しなのに合格** · 2018/04/09(月) 00:36:49.00

第2部
同じ物を含む順列。7!/2!2!3!=210。
重複組合せ。3H5=7C5=21。
9c2=36。3H10=12C10=66。
分割数。公式は無い。115, 124, 133, 223の4通り。
3!=6。公式または重複度。

**名無しなのに合格** · 2018/04/09(月) 00:49:18.69

第2部
一対一の写像。単射。
上への写像。全射。
上への一対一写像。全単射。置換。
3241576。60。単射。243-96+3=150。全射。
ベン図で考える場合は否定命題にしておく。
増加写像の個数。4H6=84。
撹乱順列。0,1, 2, 9, 44, 265, 1854。

**名無しなのに合格** · 2018/04/09(月) 01:08:05.96

第2部
順列。重複順列。n^m。順列nPm。全射の個数。
組合せ。重複組合せnHm。組合せnCm。
上への写像は不定方程式の解の個数(n-1)C(m-1)
スターリング数。全射。6S3=90。
別解。(729-192+3)/6=90。
全射の個数をn!で割るとスターリング数になる。
写像の個数はΣS。全射はスターリング数。
単射は1か0。
全射は分割数。全射は分割数p。単射は1か0。
写像の個数はΣp。

**名無しなのに合格** · 2018/04/09(月) 01:34:02.59

第2部
n-1試合。
5→4+3。最後で場合分け。
5→4+3。最初で場合分け。式はこの場合同じになった。
フィボナッチ数列になる。1,2,3,5,8。
視覚化する、抽象化する。
地図の塗り分けは不可能。
カタラン数。n×nのマス目で、対角線よりも一個上の線を引いてそれに接触しないような場合の数を数える。
2nCn-2nC(n-1)。2nCnをn+1で割る。
c5=42。252/6=42。
グラフ。置換。
正四面体は下が正三角形、上は一点。
立方体は下が大正方形、上は小正方形。
正八面体は下が大正三角形、上が小正三角形。逆向き。暗記。
国は点、国境は辺。グラフ。
置換3154276は、1352, 67, 4と考える。ループ。

母関数。
(1+x)^nは組合せnCk。
(Σx^k)^nは重複組合せnHk。3H4=15。

**名無しなのに合格** · 2018/04/09(月) 01:59:18.02

第0部
原始的な数え方しか出来ない。
12日。6C3/2=10。
4。3。
D=1の場合を考えれば十分。
5×4×3×3×3×3=1620。
漏れなくダブりなく。排反。
どこで初めてその状態になるか。
6+5×6=36。それぞれ1箇所だけ赤玉が入れない所があることを見抜く。
対等性を用いる。30+120=150。
底辺に着目する。(4+3)×5=35。
頂点に着目する。(5+2)×5=35。

**名無しなのに合格** · 2018/04/09(月) 02:17:51.14

第0部
基準を明確にしなかったことが原因。
27+3=30。
3個連続を直接数える。42-6=36でも良い。
6×13C3-7=6×286-7=1709。
赤3個は1通り。赤1個は27通り。赤2個は9通り
37通り。
自分の手を動かして具体化していく。
実験をすること。
一般化につながる規則性を見出すことができる。
手作りということ。ダブルカウントの見本市。
排反がどれほど重要か。対等性。単に学ぶまたは単に鑑賞するという姿勢でも良い。

**名無しなのに合格** · 2018/04/09(月) 20:37:24.49

第1部
§5
1。000～999まで。3000/10=300。
別解。100+100+100=300。対等性。
2。3回目までは任意で4回目は一通りだから216。
3。二位か三位なので、7!×2/3=3360。余事象でも。
4。グラフを使う。意外と少ない。2×6=12。
5。36+12=48。2で割って24。
研究問題。7より大きいカードが後から出て来なければ良い。7以上の数字の中で最後に出ることになり1/7。

**名無しなのに合格** · 2018/04/09(月) 20:53:14.82

第1部
§6
1。7!/2!2!3!=210。
2。210。
3。210/2!=105。
別解。7C3×4C2×3/3!=35×6×3/6=105。
4。115, 124, 133, 223。21+105+70+105=301。
スターリング数7S3。
5。重複順列を考えて3^5=243。243-3=240。
240/6=40。40+1=41。
研究問題。13の次は1と考える。13C3/13=22。

**名無しなのに合格** · 2018/04/09(月) 21:37:26.36

第1部
§7
1。47。
2。10000/103=9708。調整して9709。
有り得ないのは291個。全て異なるから。
別解。実際に調べると34,35が無い。97あまり9
291個。
3。6×10=60。
4。上向きは普通に21+15+10+6+3+1=56。
下向きは対応を考えて15+6+1=22。78個。
別解。下向きも地道に数えられる。
上向きをいっぺんに。8C3=56。
発展問題。線が引いてない場合。
21+15×2+10×3+6×4+3×5+1×6=126。
別解。あと2本増やして対応を考える。9C4=126。
5。縦横2本ずつの線と対応する。それに２つの道順が対応するから2×8C2×8C2=2×28×28=784×2=1568。
研究問題。8×8に増やして対角線上の格子点から選ぶと長方形と対応するから、9C4=126。
別解。8C4+8C3=70+56=126。重要公式が確認された。

**名無しなのに合格** · 2018/04/09(月) 22:01:06.94

第1部
§8
1。7C2=21。3H5=21。
別解。xを固定して場合分け。
2。1≦x<<y<<z≦10⇔1≦x<y-1<z-2≦8。8C3=56。
xを固定して場合分け。
3。黒→その間に白。8C4=70。
4。a=15-xなどとおく。a+b+c=15。a≧0。
よって3H15=136。
別解。xの値で場合分け。
研究問題。跳ばす個数は8になるから、
7C3=35。それぞれを先頭に見ていき、ダブりを考えると、35×12/4=105。
別解。7C3×12/4=105。
1を選ぶ場合は35。1を選ばない場合は
2≦x<<y<<z<<w≦12⇔2≦x<y-1<z-2<w-3≦9。
8C4=70。よって105。

**名無しなのに合格** · 2018/04/10(火) 22:59:34.59

第1部
§9
1。1+Σk=(n^2+n+2)/2。
別解。1+交点の個数+直線の本数。
1+nC2+n。
別解。漸化式。a(n+1)=a(n)+n+1。
2。35+27-1=61。442個。
10×5=50個。

3。円周上の4点→内部に交点が1個、
外部に交点が2個。
(1)10C4×2=420。(2)210。
(3) 1+交点の個数+直線の本数=211+10C2=256。

4。四角形一個と黒点が一個対応する。
8C4=70個。ベクトル。頂点からは7個のベクトル、
黒点からは4個のベクトルが出ている。
総数は336個。よって168個。

研究問題。k枚目の平面との各平面の交線はk-1本あり、問1と同じ状況になる。計算すると(k^2-k+2)/2。
1+Σf=1+n+n(n+1)(n-1)/6=(n^3+5n+6)/6。
関連問題。2A+B=4×nC2。B=2nと決まる。
A=n(n-1)-n=n^2-2n。A+B=n^2本。

**名無しなのに合格** · 2018/04/10(火) 23:39:13.62

第1部
§10
1。acb+adb-acdb=3×120+210×3-3×3×21=
360+630-189=801。

2。6^6-2×5^6+4^6=46656-31250+4096=19502。

3。6^6-3×5^6+3×4^6-3^6=
46656-46875+12288-729=11340。

4。(1)5^5-4^5=3125-1024=2101。
(2)4^5-2×3^5+2^5=1024-486+32=570。

5。ループは120通り。
(1)120-4!×2!=72。
(2)120-2×4!×2!+3!×2!×2!=48。
別解。(1)3!×4×3=72。(2)2!×2!×3×2=24。72-24=48。
研究問題。撹乱順列。0,1,2,9,44,265。
包除原理。
1×6!-6×5!+15×4!-20×3!+15×2!-6×1!+1×0!
=720-720+360-120+30-6+1=265。
360-120+30-6+1=265。

**名無しなのに合格** · 2018/04/11(水) 18:53:34.09

第1部
§11
1。全てに通じる考え方。9C3=84。
4の約数は1,2,4。約数倍数関係に注意。
90°タイプは無い。
180°タイプ。2倍。360°タイプ。4倍。
84=4+80→2+20=22。

2。9C3=84。9の約数は1,3,9。
120°タイプ3倍。360°タイプ9倍。40°タイプは無い。
84=3+81→1+9=10。
別解。黒三連続は1。黒二連続は5。
一個空きは3。二個空きは1。よって10。
別解。3H6=28→1+27→1+9=10。
3。8C4=70。8の約数は1,2,4,8。
2と4の約数倍数関係に注意。
360°タイプ。8倍。180°タイプ。4倍。
90°タイプ。2倍。45°タイプは無い。
2+4+64→1+1+8=10。

4。8!/2!2!4!=420。
1,2,4,8。約数倍数関係に注意。
360°タイプ。8倍。
180°タイプ。4倍。
90°タイプは無い。45°タイプは無い。
420=12+408→3+51=54。

研究問題。6×4=24通り。8!/24=1680。

**名無しなのに合格** · 2018/04/11(水) 19:42:48.23

第1部
§12
1。アイ。書き込み方式。18。55。
別解。フィボナッチ数列。
1,2,3,5,8,13,21,34,55。
2。グラフ。124。
3。グラフ。183。
4。グラフ。60/3^5=20/81。
別解。漸化式。a(n+1)=3b(n)。
b(n+1)=a(n)+2b(n)。
10362160
01272061
60/243=20/81。
3と4が同じになる理由。cnをbn、gnをanとみなせば同じになる。
5。グラフ。1^2×6+2^2×3+5^2×3=93。
研究問題。グラフ。場合分け→実際に調べる。
6+6+4+6+6+4+4+4+4=44。

**名無しなのに合格** · 2018/04/11(水) 20:43:35.34

第1部
§13
1。a(n)=a(n-1)+a(n-2)。1,2,3,5,8,13,21,34,55,89。
別解。2段をk回、1段を(10-2k)回とする。
合計(10-k)回上る。(10-k)Ck=1+9+28+35+15+1=89。
2。○a(n-1)、×○a(n-2)。144。
別解。×がk個の時、○は(10-k)個。(11-k)Ck
=1+10+36+56+35+6=144。
解釈の仕方。11段の階段の上り方と同じフィボナッチ数列。
3。全部でanとし、ABの時をbnとする。
AA+AB+BA→a(n)=a(n-1)+2b(n)。
b(n)=a(n-2)+b(n-1)。漸化式を２つ作る。
a(n)-a(n-1)=2a(n-2)+a(n-1)-a(n-2)
a(n)=2a(n-1)+a(n-2)。3,7, 17, 41, 99, 239。
別解。p(n)=p(n-1)+2q(n-1)、q(n)=p(n-1)+q(n-1)
p1=1、q1=1より、239。
137174199
125122970
4。a(n)+a(n-1)=3×2^(n-1)。
a8=384-a7=384-192+a6=192+96-a5
=288-48+a4=240+24-a3=264-12+a2=252+6=258。
別解。a(n)=a(n-1)+2a(n-2)。a2=6、a3=6より、
6,6,18,30,66,126,258。
5。スターリング数の漸化式。
4S2=7。(n+1)Sr=nS(r-1)+r×nSr。
1,1,1,1,1,1,1
0,1,3,7,15,31,63
0,0,1,6,25,90,301
0,0,0,1,10,65,350。

研究問題。ハノイの塔。
AからCにn個。→AからBに最大を渡す。
→CからBにn個。
a(n+1)=2(n)+1。1,3,7,15,31,63。

**名無しなのに合格** · 2018/04/11(水) 21:35:59.85

第1部
§14
1。(1)8!/2!2!2!2!4!=105。105^2=11025。
別解。8C2×6C2×4C2×2C2/4!=28×15×6/24=105。
(2)ループ。上下が逆になるが結局8本が8人の円順列に対応して、7!=5040。
別解。7×6×5×4×3×2×1=5040。

2。
7人のループ。6!/2=360。裏返したら同じになるものがある。
3人のループと4人のループ。7C3×2!/2×3!/2
=105。足して465。
0-7, 1-6, 2-5, 3-4。

3。
一個ループと三個ループ。
3と1で6を作る。
3+3。6C3/2×2×2=40。
3+1+1+1。6C3×2=40。
1+1+1+1+1+1。1。合わせて81。
4攪乱順列。モンモールの問題。ラベルの張り替え。
求める場合は一個ループが無い場合の順列である。ら
・n+2が二個ループに所属している時。
誰と二個ループを作るかでn+1通り、そのそれぞれに対してa(n)通りあるから、(n+1)a(n)通り。
・n+2が三個以上のループに所属している時。
自分以外のn+1個でa(n+1)通り。そのそれぞれに対して自分が入る場所はn+1通りあるから(n+1)a(n+1)。
0,1,2,9,44,265,1854,14833。
研究問題。シャッフル。
01020304050607080910111213141516
01030507091113150204060810121416
01050913020610140307111504081216
01090210031104120513061407150816
01020304050607080910111213141516

1
2359
471310
611
8151412
16
1個、4個、4個、2個、4個、1個。
4回のシャッフル。

**名無しなのに合格** · 2018/04/12(木) 02:03:27.92

第３部
1・1
(1)7C2=21。(2)Σ7Ci=2^7-2=126。2^(n-1)-2。
1・2
2^(n-1)通り。
1・3
2^9=512。
1・4チャンピオンの問題。
※※5△△4×3=12。
※※※5△4×3=12。
132, 213, 231,
※※※※5。3×2+3×1+2=11。よって35。5f3。
(n+1)fk=nf(k-1)+n×nfk。
1・5モンモールの問題。攪乱順列。
0,1,2,9,44。

**名無しなのに合格** · 2018/04/12(木) 08:45:21.41

攪乱順列fは１個だけ置けない場所がある
gは一個だけ好きにおいてもよく、他は置けない場所が一個だけある。
2・1
7!/2 ×2+4×7!/2!2!=5040+5040=10080。
注。8!/2!2!=10080。
2・2
7!-6!/2!×2=5040-720=4320。
2・3
(1)10C6=210。別解10C6=210。別解10C4=210。
(2)0または1にして7C4=35。
2・4
3×2^6=192。2^3=8。192-8=184。
2・5
(1)3^5=243。(2)cの前はcというルール。
2^5+2^4+2^3+2^2+2^1+2^0=63。
どこで初めて出るかで場合分け。
27+27+27-3+27-6=99。
6×3=18。99+99-18=180。243-180=63。
2・6
aaaaaa・aaaabb・aaabbb・aabbcc
n+n(n-1)×15+n(n-1)/2 ×20+n(n-1)(n-2)/6 ×15×6
n+15n^2-15n+10n^2-10n+15n^3-45n^2+30n
n(15n^2-20n+6)。

**名無しなのに合格** · 2018/04/12(木) 23:13:57.25

第３部
3・1
1000+900+810+729=3439。
別解。10^4-9^4=10000-6561=3439。
3・2
(1)まずは区別する。5!=120。3×4×4!=288。
408/2!=204。
(2)まずは区別する。2：3×4!=72。
それ以外は3×5!=360。
432/2!=216。

3・3
k=2の時。24/72=1/3。
k=7の時。k=2の時と一対一に対応する。
12×7!/9! ×2=24/72=1/3。
k=4の時。42×4!/9×8×7×6=24/72=1/3。
別解。どの場合も余りが0,1,2であるものが同数ある。
以前やった手法。１つずつ大きくしていく。
kと3が互いに素ならば同数になる。
この仮定を満たせば常に1/3になる。

3・4
8進法で764。戻すと、875。
01234567→01235678と読み替える。

**名無しなのに合格** · 2018/04/13(金) 01:37:08.29

第3部
4・1
(1)(2n+3)C3×2nCn/(2n+3)=(n+1)×(2n+1)!/3(n!)^2
(2)(2k+1)×2kCk/(2k+1)
+{(6k+3)C3×6kC3k -(2k+1)×2kCk}/(6k+3)
={(6k+3)C3×6kC3k -2(2k+1)×2kCk}/(6k+3)

4・2ネックレス
(1)9C1×8C2=252。252/9=28。別解。8C2=28。
(2)左右対称なものは4つ。28=4+24→4+12=16。

4・3立方体の色塗り
(1)5×3!=30。別解。6!/24=30。
(2)5×3!/2=15。別解。6×4!/24=
(3)4C2=6。

**名無しなのに合格** · 2018/04/13(金) 19:19:28.32

4・3
別解。(1)重複度は6×4=24。720/24=30。
(2)重複度は6×4=24。(5×1×4!+5×4×3×1×2+5×4×3×2)/24=15。
置き方を固定する。
(3)重複度は2×2+2×4=12。
(4×3×2+4×3×2+4×3×2)/12=6。

第3部
5・1
(1)6C4=15。
(2)Aを8以下、Bを3以上とすると、
10C4-8C4-8C4+6C4=210-70×2+15=85。
5・2
(1)1≦x<y-(n-1)<z-(2n-2)≦n+2。(n+2)(n+1)n/6。
(2)Aをy-x>n、Bをz-y>nとする。
3nC3-2nC3×2+nC3=n^2(2n-1)。
5・3
(1)M^4-(M-1)^4=4M^3-6M^2+4M-1。
(2)12k^2+2。
5・4
(1)偶奇性。nC2×2=n(n-1)。
(2)(1)のようにならない組を選べば良いから、
{2nC3-n(n-1)}/2。同じにならないものは偶数個あるから2で割る。n(n-1)(4n-5)/6。
別解。原題の誘導。i-k個を2個ペアにしてΣする。最後は余ったn-Kを加えると(n-k)^2。i-k-1を2個ペアにしてΣすると(n-k)(n-k-1)。合わせてkをΣするとn(n-1)(4n-5)/6。

**名無しなのに合格** · 2018/04/13(金) 20:00:51.53

第3部
6・1
(1)3Hn=(n+2)(n+1)/2。
(2)３つ等しい。1組。２つ等しい。3m組。
全て異なる(3m+1)(6m+1)-1-9m=18m^2
∴3m^2+3m+1。一般論は無理。分割数の総和。
6・2
x+y+z+w=n。4Hn=(n+3)(n+2)(n+1)/6。
6・3
隣り合わないという条件は1～11-n。
f(n)=(11-n)Cn。代入して行くと、
1, 10, 36, 56, 35, 6, 0, …よりn= 3。
6・4
(1)111, 120→1+6=7通り。nC1+nC2=n(n+1)/2。
(2)Σx(i)=r (x=0,1,2)。y=2-xと置くとy=0,1,2。
Σy= 2n-r。よってnAr=nA(2n-r)。
(3)ΣnAi=3^n (i=0～ 2n)。nAn=3^n-2×nAi (i=0～n-1)より、奇数である。
6・5
x1=0をf0、x1≠0をf1とする。
f0(k,n)=f(k-1,n)。
f1(k,n)=g(k,n)。
∴f(k,n)=f0(k,n)+f1(k,n)=g(k,n)+f(k-1,n)。
nを固定すると、2a(k)=a(k-1)+(n+k-1)C(k-1)。

**名無しなのに合格** · 2018/04/13(金) 22:39:10.08

第3部
7・ 1
(1)4^6=4096。重複順列。
(2)4C3×(3C3×3^6-3C2×2^6+3C1×1^6)
=4×540=2160。
7・ 2重複組合せ。
(1)4H6=84。(2)4C3×5C2=40。
7・ 3
(1)8C2=28。
(2)x+y+z=6。a+x=6。0≦x≦5。3H6-3=25。
7・4本は区別。人は区別。組は区別しない。
(1)12C3×9C4×5C5=220×126=27720。
(2)12C4×8C4×4C4=495×70=34650。
(3)34650/3!=5775。
(4)12C2×10C2×8C8/2!=66×45/2=33×45=1485。
7・5スターリング数の総和。
nS3+nS2+nS1=
(3C3×3^n-3C2×2^n+3C1×1^n)/3!
+(2C2×2^n-2C1×1^n)/2!
+(1C1×1^n)
=(3^n-3×2^n+3)/6+(2^n-2)/2+1
=(3^(n-1)+1)/2。
1-(1)3^n。

**名無しなのに合格** · 2018/04/13(金) 23:10:44.44

8・1
(1)3×70=210。(2)11C5-10×10=11×6×7-100=362。
(3)100+35×3-10×3=175。287。
8・ 2
書き込み方式。485。
別解。右下がりの折れ線で塞ぐようにして場合分け。
7+18×6+23×15+4×6+1×1=485。

8・1追加。
Pは中心。362/2=181。
8・3
第4象限を通る。第2象限を通る。原点を通る。
で場合分け。排反である。
(16C8-6C3×10C5)/2=10×6×7×6
15×13×11×3-10×6×7×6=45(143-56)=3915。
8・4
書き込みは大変。排反な場合分け。
22^2+16^2+30^2+8^2+10^2+1^2+1^2
=484+256+900+64+100+1+1=1806。
対称性、対等性、排反。

**名無しなのに合格** · 2018/04/14(土) 00:25:08.58

9・1
1×6+2=8個。
(2n+1)C3=(4n^3-n)/3。3の倍数。
n(2n+1)。3の倍数。(n-1)(2n+1)+(2n+1)/3
=(6n^2-n-2)/3。二等辺三角形と正三角形。
9・ 2。台形と長方形。
奇数角形の時。nC2×(2n+1)=n(n-1)(2n+1)/2。
9・ 3
偶数角形の時。n((n-1)C2+nC2)-nC2
中心を通る二本の対角線の 1組と長方形１つが対応する。
(n(n-1)(n-2)+n^2(n-1)-n(n-1))/2
=(2n^3-5n^2+3n)/2。
9・4鋭角・鈍角・直角。
直角が一番簡単。鈍角も簡単。
全部で2nC3個。
頂点 1が鈍角⇔ 2≦i< j≦2n、i< j-n。
2≦i< j-n≦n。(n-1)C2個。よってn(n-1)(n-2)個。
直角は(2n-2)n=2n(n-1)個。
鋭角はn(4n-2)(n-1)/3 -n^2(n-1)
=n(n-1)(n-2)/3。鋭角：鈍角=1：3。
1つの鋭角三角形に対して３つの鈍角三角形が対応する。
中心に関する対称点を取って三角形を作る。
9・5
3≦y<<z<<w≦11と⇔3～9⇔1～7。7C3=35。
2≦x<<y<<z<<w≦12⇔2～9⇔1～8。8C4=70。
105個。中心を含まないのは各直径に対して2個ずつえる。直径の上に中心が乗ってしまう。
105-12=93個。

**名無しなのに合格** · 2018/04/14(土) 02:11:17.88

10・1
7C2×5C2=210。3×4×3×2+4×3×2×3-3×3×2×2
=72+72-36=108。210-108=102。
10・ 2
(1)領域の個数=1+交点の個数+直線の本数。公式。
1+nC2-3C2+n=(n^2+n-4)/2。
(2)交点の個数×2+直線の本数。公式。
(nC2-3C2)×2+n=n^2-6。
10・3
(1)f=nC2×2=n^2-n。
(2)g=2(n-1)×n=2n^2-2n。
(3)h=2+f=n^2-n+2。
P。2P。P+2。
球面の大円による分割。平面上の円の分割。
10・4
f5=12。f4=4。f3=16。∴12×10+4×4+16×1=152。
25C3-152=2148。
10・5
8C3=56。交わる2本の対角線⇔４つの頂点
⇔４つのT図形。8C4×4=280。336。
別解。6C2×8+5C2×8+(4C2+2C2)×8+
(3C2+3C2)×4=120+80+56+24=280。

**名無しなのに合格** · 2018/04/14(土) 04:09:29.10

第3部
11・1
(1)x(n+1)= 3a(n)。
(2)a(n+1)=x(n)+2a(n)。
(3)x(n+2)= 3x(n)+2x(n+1)。x1=0、x2=3より
x(n)={3^n+3(-1)^n}/4。
別解。anは不要。x(n+1)=3^n-x(n)。
補集合に着目。

11・2
a→cかつb→c。
右端がcであるもの：cn通り。
右端がaであるもの： (xn-cn)/2。
右端がbであるもの：同上。
x(n+1)=3cn+xn-cn=xn+2cn。
c(n+1)=xn。∴x(n+1)=xn+2x(n-1)。
x1= 3、x2=5より、xn={2^(n+2)-(-1)^n}/3。
別解。最初で場合分け。x(n+2)=2x(n)+x(n+1)。
補助数列。
11・3
(1)3C3×3^m-3C2×2^m+3C1×1^m＝3^m-3×2^m+3。
(2)f(m+1,n)= n×f(m, n)+n×f(m, n-1)。
(3)f(m+1,m)= m×f(m, m)+m×f(m, m-1)。
a(m)=m×m!+m×a(m-1)。両辺をm!で割ると
b(m)=m+b(m－1)。 b(m)=m(m+1)/2。
a(m)= (m+1)m×m!/2。
別解。(m+1)C2×m×(m-1)!=(m+1)m×m!/2。

**名無しなのに合格** · 2018/04/14(土) 05:13:13.71

12・1
二項係数の公式。
(1)kC1×nCk=nC1×(n-1)C(k-1)。
(2)g=Σk×nCk×x^(k-1)=Σn×(n-1)C(k-1)×x^(k-1) (k=1～n)。
=n(1+x)^(n-1)。二項定理。
12・2
パスカルの三角形。二個ずらして重ねたもの。
nAk=nCk+nC(k-2) (2≦k≦n)。最短経路。
12・3
(1)x=i-1のどこを横断するかで場合分け。見抜く。
(2)当てはめて丁寧に対応させる。(m+n-2)C(n-1)。
今度は横断しないで、x=iにぶつかったら左折して右折するということで一番上ではぶつかれない。
12・4
積分する。帰納法。
(1)途中 0～ -1まで積分したと見なす所がポイント。
別解。積分無しで式変形だけでも出来る。
(2)帰納法。
別解。帰納法無しで式変形だけでも出来る。
意味をなさないものは0と定義して議論する。

**名無しなのに合格** · 2018/04/14(土) 11:45:16.54

13・1
(1)5×4×3×6×5=1800。(2n+1)P(n+1)×3nPn。
(2)対偶を取ると偶数番目には必ず偶数がある。
4×3×7×6×5=2520。2nPn×(3n+1)P(n+1)。
13・2
階差の大きさがポイント。
グラフを描く。微分する。増加数列。
f'(12n)=f'(24n)=1。
0～12nまでと24n～36nまでは全ての数字。
→値域の個数。
12n～24nまでは全て異なる。
→定義域の個数。
f(0)=0。f(12n)=7n。f(24n)=20n。f(36n)=27n。
7n+12n+7n+1=26n+1。
13・3
遠回りして行くことは出来ない。
最短経路+2本。(n+3)C3×6nC2。
正方形が出来る場合をダブルカウントしている。
(n+3)C3×6nC2-n×(n+2)C2。
ある横線を通って次に縦線を通ることが決まっている場合の数は、高さを一段低くした経路と等しい。
(n+m)Cm×2mnC2-n×(n+m-1)C(m-1)
原題。(n+3)C3×6n
13・4
昇りだけ踏むA、降りだけ踏むB、両方とも踏むC。
AとBは連続できない。
an+1=bn+cn、bn+1=an+cn、cn+1=an+bn+cn。
a2=b2=c2=1より、an=bn。
2an+1= 2an+ 2cn、cn+2-cn+1=cn+1-cn+2cn、
c(n+2)=2c(n+1)+c(n)。c3=3、c4=7、c5=17、
c6=41、c7=99。

**名無しなのに合格** · 2018/04/14(土) 13:10:38.31

1
4!=24。樹形図。3!=6。対等性。3!=6。6×2=12。
数える時は何番目から数えようと自由。
数える順序の自由さ。最大の特徴。
例題1
(1)9×9×8=648。(2)9×8+4×8×8=328。
例題2
6C3×3!=120。別解。x×3!=6!、x=120。
確率は1/3!=1/6。
例題3
8!/2!2!。7!/2!×2+7!/2!2!×4=5040+5040=10080。
1個だけ残しても残さなくても同じになる。
例題4
6!/2!2!2!=90。ABを数えて後から6倍する。
C＊C＊、C＊＊C、＊C＊C。2+2+1=5→30。
例題5
(1)連続しないものは10×9×9×9=7290。2710。
(2)含まないものは9^4+9^4-8^4=9026。974。
排反。どこで初めて連続するか。
10×1×10×10+10×9×10+10×9×9=2710。

**名無しなのに合格** · 2018/04/14(土) 13:36:53.85

(1)10C3=120。(2)12C3=220。(3)8C3=56。
(4)9C2=36。(5)3H10=66。
重複組合せ。
例題1
(1)6C3×3C3/2!=10。(2)6C2×4C4=15。
(3)7C2×5C2×3C3/2!=105。
例題2
スターリング数=全射/階乗。
9S3=(3C3×3^9-3C2×2^9+3C1×1^9)/3!
=3281-256=3025。
8C1×7C1×6C2×4C2×2C2/2!3!=28×15=420。
7C3=35。5C2×4C2=60。
例題3
書き込み方式。右下がりの折線で場合分け。
●4+30+80+15=129。○1+18+75+35=129。
10C4-21-45-60+15+30=129。

**名無しなのに合格** · 2018/04/14(土) 14:32:42.29

例題1
a=-1、b=1を代入する。
別解。特定の要素dが入るか入らないかで要素の個数の偶奇は変わり、その個数は等しい。
例題2
重みの平均は0とnの平均であるn/2。
公式5は和分の公式においてn→n-m+1としたものと一致する。実質的に同じ。積分。

**名無しなのに合格** · 2018/04/14(土) 15:38:57.06

練習1(1)5×4×3×6×5=1800。(2)4×3×7×6×5=2520。
練習2。6C1+7C3=41。
練習3。10!/4!3!3!=10×12×7×5=4200。
練習4。(1)3!/2! ×4!/2!=36。(2)4!/2! ×5×4C2=360。
練習5。7!/2! ×2 -6!=4320。

練習1。9C4×4!=3024。注意。
練習2。3H6×3H4=28×15×420。
練習3。x+y+z+w=17。4H17=1140。
2dが満たせば2d-1も満たすので奇数のものは偶数のもの以上ある。19C2+17C2+15C2+13C2+11C2
+9C2+7C2+5C2+3C2=171+136+105+78+
55+36+21+10+3=615。
練習4。12C4×8C4×4C4/3!=495×70/6
=165×35=5775。9C3×6C3×3C3=84×20=1680。
練習5。(1)3。(2)15+20+15=50。(3)15+10=25。

**名無しなのに合格** · 2018/04/14(土) 16:19:16.98

練習6。7C4=35。
練習7。(1)1+36+196+(1+9+4)^2=429。
(2)9C4=126。１つの長方形⇔4本の直線
⇔点線上の4点。
(1)別解。カタラン数。
14C7-14C6=14C7/8=c7。
13×11×3=429。
練習8。内部の1交点⇔ 2本の対角線⇔4個の頂点。
10C4=210。
別解。対角線で２つに分ける。
練習9。AとBは一対一にたいおするから。
問。2C2×2^5-2C1×1^5=32-2=30。全射の個数。
5S2=30/2!=15。2S1=1C1×1^2/1!=1。

**名無しなのに合格** · 2018/04/14(土) 20:54:41.46

組合せ論的確率。同様に確からしい。
同時型。戻さない形。戻す型。
復元抽出。非復元抽出。5C2=10。nCk。
同様に確からしい。対等性。5P2=20。nPk。
同様に確からしい。5^2=25。
重複順列。n^k。
組合せ。順列。重複順列。同様に確からしい。
4。7。9。同様に確からしくはない。
対等性を基盤にして同様に確からしいを考えなければならない。

**名無しなのに合格** · 2018/04/14(土) 22:45:14.44

物を全て区別した順列。同様に確からしいもの。
4C2=6。同時型⇔戻さない型。
例題1
8C3=56。同様に確からしい。4×3×2/56=3/7。
戻す型では組合せは同様に確からしくはない。
組合せのみ。順列も組合せも。重複順列のみ。
が同様に確からしい。重複組合せは同様に確からしくはない。サイコロ。コイン。じゃんけん。
(6+15+15+12+12+24)/216=7/18。
例題3
(k-1)C2/10C3。最後の10番目に引く人。

**名無しなのに合格** · 2018/04/14(土) 23:15:31.76

和事象。積事象。和の法則。加法定理。
積の法則。乗法定理。排反。事象がどの２つも排反の時。
2^12/2^15=1/8。1/16 ×2=1/8。余事象の確率。
P(A∩B)=1-(5^4+5^4-4^4)/6^4=151/648。
試行は独立である。事象は独立である。
事象の独立には難しい面もある。
独立の時の積の法則。定義。
例題。(1)15/36=5/12。(2)12/30=2/5。
別解。3/6 ×4/5=2/5。
3/6 ×1/2=1/4。9/36=1/4。独立である。
AとBは独立ではない。

**名無しなのに合格** · 2018/04/16(月) 03:27:03.68

練習1
000, 012, 111, 222。9/27=1/3。
001, 022, 112. 9/27=1/3。
002, 011, 122、9/27=1/3。
一般にn個でも1/3。
練習2
(1)(6×25+30×16)/1296=105/216=35/72。
(2)(6×1+30×2)/1296=11/216。
練習3
6C2×4C2=90。同様に確からしい。
2×2×(4C2-1)=20。20×3/90=2/3。
練習4
チャンスくじ。外れる確率は7/10 ×6/9=7/15。
10C3=120。6C1+6C2+6C2+6C3
=7C2+7C3=8C3=56。56/120=7/15。
よってどちらも当たる確率は8/15。
練習5
3×3=9通り。13と31では1に来る。
その後、11,22,33,23,32では1は移動しない。
7通りは1以外にいる。その後1＊と＊1では1に来る。
24/81=8/27。
別解。p(ij)=2/9(i≠j)、5/9(i=j)。
5/9 ×2/9 +2/9 ×5/9 +2/9 ×2/9=24/81=8/27。

**名無しなのに合格** · 2018/04/16(月) 21:28:54.11

練習1
(1)少なくとも1枚偶数。1-5C3/10C3=11/12。
(2)5の倍数以外=8C3/10C3=7/15。
偶数以外かつ5の倍数以外=1,3,7,9=1/30。
1-1/12-7/15+1/30=29/60。
練習2
3/6 ×2/5=1/5。2/6 ×3/5=1/5。2/5。同じになる。
練習3
5×5/10C2=5/9。4×4/8C2=4/7。20/63。
別解。10/10 ×5/9 ×8/8 ×4/7=20/63。
練習4
1/2 ×(1-1/2 ×1/2)=3/8。3/8 ×2=3/4。
別解。4×3/16=3/4。
練習5
P=4Ck/2^4。Q=3Ck/2^3。4+24+28+8=64/128=1/2。
別解。取り敢えずAが3枚投げることにする。
p+(1-2p)/2=1/2。
まとめ。i>Jとi≦jの確率が等しいことが示せる。

**名無しなのに合格** · 2018/04/16(月) 21:41:06.91

ただただすごい

**名無しなのに合格** · 2018/04/16(月) 22:14:37.20

独立な試行。二項分布。0.267。0.383。
例題1
二項定理。a=3/4。
別解。どの硬貨も2回ずつ投げることにする。
少なくとも1回表が出る確率。1-1/2 ×1/2=3/4。
例題2
pk/p(k-1)。k<3.3。k=3の時に最大となる。
平均回数np付近の整数値が最大。
練習1
k回裏、n-k回表だから、nCkp^(n-k)(1-p)^k。
練習2
xy=1は1/4。残りはxy=0となる。
5×81+10×9+1×1=496→496/1024=31/64<1/2。
一般化。
練習3
(1)pn=(n-1)(n-2)5^(n-3)/2×6^n。
(2)商を作る定石。n=12または13。

**名無しなのに合格** · 2018/04/16(月) 23:25:03.14

例題1
(n-2)/3 +1=(n+1)/3。
一般化。(n-m)/(m+1) +1=(n+1)/(m+1)。
最大数の方が求めやすいのでそちらを求めてから対称性を使う。
例題2
回数の期待値は1/P。
戻す型。戻さない型。最小問題と実現回数問題。
練習1
(n-4/5 +1)×3=3(n+1)/5。
最小がk⇔(7-k)^2-(6-k)^2=13-2k。91/36=2.5。
練習3
最小がk⇔(n+1-k)^3-(n-k)^3。
3×1/4 -6×2/6 +3×1/2=1/4。
練習4
差分の形にする。7-6(5/6)^n→7。
1 +1/1/6=1+6=7。

**名無しなのに合格** · 2018/04/16(月) 23:49:06.06

例題1
6/8=3/4。
例題2
1/3は×。3/6=1/2。
独立。無関係。
例題3
定義に従って代入すると、n=3。
練習1的中する確率を計算する。
A赤p, A白q, B赤1-p, B白1-q。
pの係数は負、qの係数は正であるから最大にするためにはp=0、q=1とする。
要するに赤を報告されたら赤の多い方を推測し、白を報告されたら白の多い方を推測すれば良いということ。

**名無しなのに合格** · 2018/04/17(火) 01:39:40.32

Pn=1/2。
P(n+1)=Pn×1/2 +(1-Pn)×1/2=1/2。
例題1
P(n+1)=Pn×9C2/10C2 +(1-Pn)×1/10C2
=7/9 ×Pn+1/45。Pn=1/10 +7/10 (7/9)^(n-1)
=1/10 +9/10(7/9)^n→1/10。
例題2
赤0個をP、赤1個をQとすると赤2個は1-P-Q個。
連立の漸化式。
例題3
(1)n→n+1、n-1→n+1。
排反で全てを尽くした場合分け。
P(n+1)=P(n)×1/2 +P(n-1)×1/2。
(2)P1=1/2。P2=3/4。λ=1,-1/2。
P(n)=2/3 -1/6 (-1/2)^(n-1)=2/3+1/3 (-1/2)^n。
最後または最初で場合分け。
P(n+1)=1/2 P(n)+1/2 P(n-1)
二項間でやると、P(n+1)=1/2 P(n)+1×(1-P(n))
P(n+1)=-1/2 P(n)+1。P(n)=2/3-1/6 ×(-1/2)^(n-1)
=2/3 +1/3(-1/2)^n→2/3。
仮に交互に起こるとすると●●○●●○●●○となる。

**名無しなのに合格** · 2018/04/17(火) 01:58:52.44

練習1
P(n)=P(n-1)×p+(1-P(n-1))×(1-p)。
P(n)=1/2+1/2(2p-1)^n→1/2。
練習2
治療が成功する確率は難しい。
治療が適用される確率ならば難しくない。
a(n+1)=a(n)×p+(1-a(n))×(1-p)。
-1<p+q-1<1。a(n)→α。
よってr(n)=pa(n)+(1-a(n))q→pα+(1-α)q≧(p+q)/2
⇔2pα+2(1-α)q≧p+q。(p-q)(2α-1)≧0。
αを消去すると示せる。

**名無しなのに合格** · 2018/04/17(火) 02:30:29.63

書いてくれてる人は何者？受験生？

**名無しなのに合格** · 2018/04/17(火) 08:18:44.39

>>130
違いますよ。久しぶりにやり始めたら止まらなくなりました。いい本だと思います。

**名無しなのに合格** · 2018/04/17(火) 20:02:41.23

練習3
3状態の推移なので 2種類の確率を設定する。
p(n)=p(n-1)×1+q(n-1)×1/3。
q(n)=q(n-1)×1/3 +(1-p(n-1)-q(n-1))×1/2。p1=0。
∴ p(n)=1-(5/6)^(n-1)→1は当然。
練習4
4状態の推移なので3種類の確率を設定する。
p(n)=q(n-1)×1/3。
q(n)=p(n-1)×1+r(n-1)×2/3。
r(n)=q(n-1)×2/3。q0=0、q1=1。
求める確率はr(n-1)×1/3
n=2,4,6,8…の時、0。
n=0,1の時、0。
n=1,3,5,7,…の時、(2/9)(7/9)^(n-3)/2。
別解。1秒後に確率1でK2。その2秒後に確率2/9でK4。その余事象の7/9でK2に戻り、また2秒後に2/9でK4。
2/9を○、7/9を●とすると○, ●○, ●●○, ●●●○, …
従って、(2/9)(7/9)^(n-3)/2。
練習5
上に上がれない。p(n+1)=(p(n)+p(n-1))/6。
p0=1、p1=1/6。
p(n)=3/5(1/2)^n+2/5(-1/3)^n。
研究。q(n+1)=q(n)×1/6+q(n-1)×1/6+p(n+1)×4/6。
これを解くのは困難。なおq(n)=Σp(k)×4/6×p(n-k)
n+1回中1回だけ上に行く。何回目に行くかで場合分け。
練習6
p(n+1)=q(n)×1/2。
q(n+1)=r(n)×1/2。
r(n+1)=q(n)×1/2+r(n-1)×1/2。
p(n+1)=1/2 p(n)+1/4 p(n-1)。
別解。最初の動作で場合分け。
×の後は任意。○の後は×が続いた後に任意だから
p(n+1)=1/2 p(n)+1/4 p(n-1)。

**名無しなのに合格** · 2018/04/18(水) 02:10:58.20

確率変数。E(X)=ΣxiP(X=xi)
加重平均。-20/8=-2.5円。
単純平均。縦に数える。横に数える。
例題1
21。
和の期待値は期待値の和。期待値の線型性。
証明。別解。E(x')=21/6 ×6=21。
隣り合っているX1=1。
隣り合っていないX1=0、
X=ΣXi。対等性によりE(X)=4E(X1)。
=4(1×p+0×(1-p))=4p=4×7/8C2=1。
15/5=3。期待値の分割の公式。
例題3
P=Σ1/n ×1/m
E(X)=ΣP(A)×EA(X)=(n+3)/4。
本解の続き。分母が同じものをまとめると
=(n+3)/4。
解釈の仕方。 mの平均m'=(1+n)/2。
Xは1とm'の平均だからX=(1+m')/2=(n+3)/4。

**名無しなのに合格** · 2018/04/18(水) 03:02:50.38

練習1
E(a-2b)=E(a)-2E(b)=22/3-22/3=0。
11×10×3/45=22/3。
(9+16+21+24+25+24+21+16+9)/45
=165/45=33/9=11/3。
練習2
1/3 ×6=2。
別解。2×5!×6/6!=2。
１つの袋に関して見るだけで良い。他は当たっていてもいなくても良い。
8, 0, 96, 128, 216, 192。
(48+384+384+432+192)/6!=2。
練習3
全部でm-1試合で、m人だから(m-1)/m。
1/2 ×1=1/2。
帰納法。
1回目くじで選ばれる→勝つ→1試合多い。
または
1回目くじで選ばれる→負ける→期待値0。
または
1回目くじで選ばれない→試合数は増えない。
の3通りに場合分け。

**名無しなのに合格** · 2018/04/18(水) 03:04:54.83

数学板の数オリ事典スレの人？

**名無しなのに合格** · 2018/04/18(水) 03:47:38.16

条件付き確率。原因の確率。
同様に確からしい。
3×2/3×9=2/9。
別解。2/9。
3×2/3×9=2/9≠3/10。
P=0。
例題1
PA=1/5=25/125。
PB=4/5 ×1/5=4/25=20/125。
PC=4/5 ×4/5 ×1/5=16/125。
PX=61/125。∴ P(B/X)=20/61<1/3。
X=5^3-4^3=61。B=4×1×5=20。
例題3
(1)4/5。
(2)4/5。
(3)6/8=3/4。
X♂♂
X♂♀
X♀♂
X♀♀
♂X♂
♂X♀
♀X♂
♀X♀
♂♂X
♂♀X
♀♂X
♀♀X
の12通りある。
「末子でない」は第一子である確率を高めない。
「妹がいる」は第一子である確率を高める。
「弟がいる」は第一子である確率を高める。
例題3
(1)1/3。6/18。
1234,1243,3214,3241,4213,4231
1324,1342,2314,2341,4312,4321
1423,1432,2413,2431,3412,3421。
(2)6/12=1/2。
1234,1243,13241342,14231432
2314,2341,2413,2431
3412,3421。

**名無しなのに合格** · 2018/04/18(水) 04:30:21.49

練習1
定義に従って、表が出て表が出たと真を言う／(表が出て表が出たと真を言う+裏が出て表が出たと偽を言う)
P=4^3/(4^3+1^3)=64/65。
練習3
行きで紛失をA、返事が来ないをBとする。
A∩B= Aであるから、 P(A∩B)=0.002。
Bの否定は「行きで紛失しない、かつ返事を書く、かつ帰りで紛失しない」であるから
P(B)=1-0.998×0.95×0.998
P(A/B)=2/(1000-998×0.95×0.998)
=3.718%
練習2
n(A∩W)=1×4=4。n(¬A∩W)=1×3=3。
∴ n(W)=7。P1=4/7。
P2=4C2/(4C2+3C2)=6/9=2/3。
P3=4C3/(4C3+3C3)=4/5。
注。同様に確からしくない場合は場合の数では出来ず、確率でやるしかない。
P(A∩W)=1/2 ×4/a。P(¬A∩W)=1/2 ×3/b。
P1=4b/(4b+3a)。

**名無しなのに合格** · 2018/04/18(水) 06:31:07.01

例題1
p (n)=1-(1- 1/n)^n=
1-[{1+ 1/(n-1)}^(n-1)]^(-n/(n-1))→1- 1/e。
p(n)≒2/3と思って良い。

例題2。破産の確率。
p(n+1)=q(n)×1/2 +1×1/2。
p=q/2 +1/2⇔2p=q+1=1-p+1、p=2/3。
定理：上に有界な増加数列は収束する。
下に有界な減少数列は収束する。
確率の数列は上にも下にも有界であって、
単調性が明らかな場合が多い。(0≦P(n)≦1)。
1-(p(n)+q(n))=(1/2)^n。∴ p+q=1。

例題3。k番目の袋を選び、かつ6回中3回赤玉を
取り出す確率は、
1/n ×6C3(k/n)^3(1- k/n)^3
→20∫x^3(1-x)^3dx (区分求積法)
20×3!3!×1^7/7!=1/7。(β関数)
3回をr回にしても確率は変わらない。
r=0～6の時、1/7。
6回を一般化しても等確率は変わらない。
組合せ論的確率。確率密度関数。
答え4/10=2/5。確率密度関数f(x)=1/10。
待ち時間に「来た時刻の有利不利」は無く、
10分間隔なので1/10(/分)となる。
もしT分間隔ならば、f(x)=1/T (=定数)となる、
6分以上待つ⇔0分～4分の間に来た。
∴ ∫1/10 dx=4/10=2/5。平均値。期待値。

例題4
(1) ∫f(x)dx=1を解いてaが求まる。
(2) E(X)= ∫xf(x)dxを計算する。部分積分法。
(答) 約3分。
(3) 10n円になる定義域で積分して確率Pを求め、
平均値(期待値)E=Σ10n×P (n=1～60)。
(答) 約16円。

**名無しなのに合格** · 2018/04/18(水) 19:44:10.21

例題5
針がどの位置に止まるか、その分布は一様であると考える。
X=0.0, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9, 1.0。
四捨五入なので
(1)X=0.kとなるのは0.k-0.05≦u<0.k+0.05 (k=1,2, …9)
(2)X=0.0となるのは0≦u<0.05
(3)X=1.0となるのは0.95≦u≦1
である。
円周=1なので、弧長が確率に対応する。
(1)弧長は(0.k+0.05)^2-(0.k-0.05)^2=k/50。
(2)弧長は1/400。
(3)弧長は39/400。
期待値はE=9×10×19/500×6 +1×39/400
0.57+0.0975=0.6675。
発展。P=b^2-a^2 (9≦a≦b≦1) (弧長)
aを固定してbの関数と見る。
両辺をbで微分すると、f(b)=2b。
これが任意のbに関して成り立つから
f(x)=2x。確率密度関数が求まった。
定義によりE(X)=∫xf(x)dx=∫x×2xdx=2/3(ほぼ同じ)。
別解。nが十分に大きい時、定義域の最小値でXを代表しても良いから(または挟み撃ち)、
区分求積法に結び付いて、E(X)=2/3。
練習1
第1戦にBが勝ち、かつAが優勝する確率をPとする。
BAA, BAC
P=pq/2 +p(1-q)/2 ×P。∴ P=pq/(pq-p+2)。
第1戦にCが勝ち、かつAが優勝する確率をQとする。
CAA, CAB。 ∴ Q=pq/(pq-q+2)。
よってP+Q=pq(2pq-p-q+4)/(pq-p+2)(pq-q+2)。
練習2
(1)外れがk本の箱を選ぶ。区分求積法。2/3。
(2)(1)と同様に考える。Σijの計算法に注意。
1- (1/2 ×1/4 -0)/(1/2)=1-1/4=3/4。
練習3
-1≦x≦0ではP=1/3。よって残りは7/24。
3(8-3c)×c=7、9c^2-24c+7=0、(12-9)/9=1/3。
練習4
連続分布。x+25<y+35 ⇔ x<y+10。
5分間をn等分したうちのどの1つの区間に入る確率も等しく1/nである。nを十分大きくすると区間は殆ど0になるので、変域の最小値で一定していると考えて良い。
ここが連続分布の考え方。よって、
Xの待ち時間がα分以下⇔確率はα/15より、
(k/n +2)/3。区分求積法により、
∫(x+2)/3 dx =(1/2 +2)/3=5/6。
別解。確率分布が座標平面に図示出来る。
台形/長方形 =1- 1/2 × 1/3=5/6。

**名無しなのに合格** · 2018/04/18(水) 20:39:31.53

確率変数。平均。期待値。分散。標準偏差。
二乗の平均－平均の二乗。
例題1
(1)E=6+14+32+27-90a+100a=10a+79。
360+980+2560+2430-8100a+10000a
=1900a+6330-100a^2-1580a-6241
σ=√(-100a^2+320a+89)。
(2)E=50。100/V ×V=100より、σ=10。
(3)X=100として、最大値はa=0の時。
Y=50+ 210/√89 =50+210√89/89≒72.26。
偏差値の平均は50、標準偏差は10。
確率密度関数。平均。分散。二項分布と正規分布。
離散量。連続量。実質的には同じもの。
独立。確率変数X。B(n, p)。
E(X)=np。V(X)=np(1-p)。
12/6 =2。
例題2
n回のうち表が出る回数を確率変数Ynとすると、
裏が出る回数はn-Ynであるから、
V(Xn)=V(Yn -(n-Yn))=V(2Yn-n)=4V(Yn)
Ynは二項分布B(n, 1/2)に従うので、
V(Yn)=n×1/2 ×1/2=n/4。よってV(Xn)=n。
正規分布。直線x=mに関して対称。
mは平均を表す。σは標準偏差を表す。
nが十分に大きい場合の二項分布の近似になっている。
ただしpが0か1に極端に近い場合を除く。
正規分布表。E=600/6=100。σ=5√30/3≒9.13。
P(91～109)=2×0.3413=0.6826。推定。検定。

**名無しなのに合格** · 2018/04/18(水) 21:27:11.54

練習1
X=kとなるのはn-k通り。Xの確率分布は
P(X=k)=(n-k)/nC2。E(X)=(n+1)/3。
E(X^2)=n(n+1)/6。V(X)=(n+1)(n-2)/18。
練習2
(1)P=2(k-1)/n(n-1)。
(2)E= 2(n+1)/3。V=(n+1)(n-2)/18。
練習3
E=λ。V=λ^2+λ-λ^2=λ。
テーラー展開。
P(X=k)=e^(-λ)×λ^k/k! ポアソン分布。
二項分布でnが大きくpが小さい場合の分布を近似したものがポアソン分布。
Xはλ=1のポアソン分布。P=1- 1/e。
練習4
(1)np(1-p)=8/9。
nC(n-1)p^(n-1)(1-p)=8×nCnp^n。
∴ n(1-p)=8p。 p=1/3。n=4。
B(4,1/3)。P(X=k)=4Ck(1/3)^k(2/3)^(4-k)。
(2)m=4/3。σ=2√2/3。1.33±0.94=0.39, 2.27。
X=0,3,4。16/81+8/81+1/81=25/81≒0.30864
(3)8/9 +(4/3)^2 -4 +2=2/3。
正規分布で近似すると、
1-0.3413×2=1-0.6826=0.3174。

**名無しなのに合格** · 2018/04/19(木) 01:30:42.58

発展編1
白石の個数≧黒石の個数。カタラン数。
c2=2, c3=5。
対角線を突き破らない。具体的で規模の小さい経路の問題では書き込み方式が最良。
対角線の1つ上側にある直線に接触するものを折り返す。
一般論はcn=2nCn-2nC(n-1)=2nCn/(n+1)。
カタラン数の作り方。 -Pの三角形。
問題。偶数の時は0。奇数の時はcn/2^(2n+1)
問題。c6=12C6/7 =132。

**名無しなのに合格** · 2018/04/19(木) 07:44:27.73

発展編2
問題1
左右を区別しない。
9C3=84。左右対称は4個。
84=4+80→4+40=44。
9C4=126。左右対称は6個。
126=6+120→6+60=66。
問題2
9C3=84=3+81→3+27=30。
問題3
(1)11!
(2)12C6=924。1×12=2×6=3=4。
男女は同数なので2,4,6,12。
2C1=2。4C2=6。6C3=20。
924=2+4+18+900→1+1+3+75=80。
問題4
(1)4!/(4×3)=2。
(2)6!/(6×4)=30。
(3)6C2 ×5×4!/(6×4)=75。

**名無しなのに合格** · 2018/04/19(木) 21:41:03.37

発展編3
pn=3C2 ×(2^n-2C1 ×1^n)/3^n。
p10=1022/19683=0.0519。
58秒。55分。
n=3mの時、比を取ると一項めは
(9m^2+9m+2)/(9m^2+18m+9)<1であり、
減少関数であることが分かる。二項めも減少関数であるから、これは減少関数である。
m=2として、31/243 =0.128。この場合もアイコになる確率は小さいと言える。
アイコがあるので永久に続く可能性がある。
3人勝負での一人勝ちは有り得ないので、
1/3 + 1/3 ×1/3 + …→(1/3)/(1- 1/3)=1/2で2人になる。
以降は普通のジャンケンなので1/2。よって1/4。
これは普通のジャンケンにおけるCの勝つ確率1/3よりも小さい。
A=1/3、B=1/4で不公平。
AもBも確率1/2で決勝戦に進める。
しかし最終的な勝者となる確率は
A>1/7>Bとなり、人数の少ない方のグループに属する人が有利になる。

**名無しなのに合格** · 2018/04/20(金) 21:32:25.30

発展編5
問題1
a+b=一定で、aを変数とする数列を考える。
(k, a+b-k)→(k+1, a+b-(k+1))または(k-1, a+b-(k-1))
P(k)=P(k+1)×1/2 +P(k-1)×1/2。(1≦k≦a+b-1)
P0=1、P(a+b)=0。等差数列。
P(k)=1- k/(a+b)。b:a。
実力が互角である時は相手を破産させる確率の比は資金の比である。
問題2
Aがk個、Bが(2n-k)個持っている状態から始めるとする。
P(k)=P(k-1)×p+P(k+1)×(1-p)。P(2n)=0。
Bが破産する確率はAのm^n倍である。
一次関数と指数関数の違い。
長い目で見れば実力が少しでも上の方が圧倒的に有利である。破産しにくい。
日本シリーズ。
勝つ確率を一次近似すると
g(p)=2.1875(p-0.5) +0.5。
1試合での実力が2倍化されて優勝が決まる。

**名無しなのに合格** · 2018/04/20(金) 22:04:46.08

問題1
ポリアの壺の問題。
P2=P1、P3=P1が確かめられる。
Pn(a,b)=P1(a,b)=a/(a+b)を帰納法で示す。
くじ引きと同じ確率。
別解。n回目に新たに加えた玉であるかどうかで場合分け。
P(n+1)=P(n)×c/(s+cn) +P(n)×(s+cn-c)/(s+cn)
=P(n) (証明終)。
問題2
漸化式を立てる。
反対色を加えると中和されて1:1に収束する。
問題3
p=1ならばポリアの？の問題。
p=0ならば問題2。
0<p<1とする。漸化式を立てる。
有名不等式logx<x-1 (x>0、x≠1)を使う。
1より小さな正の数を無数にかけても0に収束するとは限らない。重要。
少しでも反対色の可能性があると完全に中和される。

**名無しなのに合格** · 2018/04/20(金) 22:51:46.41

発展編7
問題1
1708年、Montmortによって提出された問題。
n =13。攪乱順列。完全順列。
求める確率はf(n)/n!。f(n)=(n-1){f(n-1)+f(n-2)}。
どの玉も一箇所入れない箱がある。
この漸化式は解けて、P(n)=Σ(-1)^k/k!
(k=2～n、n≧2)。テーラー展開。
limP(n)=1/e ≒0.368。

問題2
最後の札がnか否かで場合分け。
(1)P(n,k)=P(n-1,k-1)×1/n +P(n-1,k)×(n-1)/n。
(2)期待値の定義。Σをバラすと分かりやすい。
E(n)=Σ1/k (k≧2)。
枚数の期待値は Σ1/k (k≧1)。
別解。n枚目の札がnか否かで場合分けすると直接漸化式が得られる。E(n)={E(n-1)+1}×1/n +E(n-1)×(n-1)/n
自分がチャンピオンになれるのは自分より大きい数字が前に来ない時であるから、kというカードは1/(n-(k-1))。

**名無しなのに合格** · 2018/04/20(金) 23:21:37.87

発展編8
1966年の夏サーベロニの別荘。理論生物学の会議。
問題1
解1は適切ではない(誤り)。仮に獄番が所長から「マークは処刑される」としか知らされていなかったならばこれで正しい。
「マシューが処刑される」という事象と「マシューが処刑されると答える」という事象の違い。
解2
どの1人が処刑されないかで場合分けをする。
P(A')=(0+1+ 1/2)/3=1/2。
A'∩Bは、マークが処刑されると獄番が答える、かつマシューが処刑されるという事象⇔ルークが処刑されず、かつマークが処刑されると獄番が答えるという事象。
∴ P(A'∩B)=1/3 ×1=1/3。P(B/A')=2/3。
マシューの幸福感は幻影である。
(1)と(2)は同様に確からしくはない。
2C1/3C2=2/3。
問題2
2つの事象は独立であると考えられるから、1/2。
MM
MF
FM
FF。
これらは同様に確からしい。2/4=1/2。
追加設問。2/3。

**名無しなのに合格** · 2018/04/21(土) 00:49:32.31

発展編11
二項分布B(n,p)。正規分布N(m,σ^2)。
95%⇔z=1.96。信頼度。
99%⇔z=2.58。
標本の比率→母集団の比率を推定する。
標本の平均→母集団の平均を推定する。
例題1
二項分布を正規分布で近似する。
※標本におけるAの支持率X/nをp'とし、右辺のpをp'で代用してしまう。
比率推定の手法。
信頼度95%で、[0.524, 0.588]。
95%の確率でAが勝つと言える。

※平均がm、標準偏差がσ/√n の正規分布。前提として母集団が十分に大きく、nもある程度大きい。
平均の推定。|X-m|≦1.96σ'=1.96×σ/√n。
※mは標本の平均であり、母集団の平均である。
※確率変数X'を固定する。
例題2
X'の分布は平均m 標準偏差5.8/√n の正規分布。
∴ |X'-m|≦1.96× 5.8/√n
区間の長さは1.96× 5.8/√n ×2≦2。
n≧(1.96× 5.8)^2=129.23。∴ 130人以上。
確率的背理法。危険率。有為水準。
危険率5%で検定する。棄却される。
仮定に矛盾しない。仮定を棄却できない。

B(900,1/6)より m=150 σ=5√5の正規分布で近似する。
|X-150|≦1.96×5√5≒21.91。[128, 172]。
正常なサイコロとは言えない。
練習1
比率型。Xの確率分布はB(192, 0.75)の二項分布。
m=144、σ=√36=6の正規分布で近似できる。
| X -144|≦1.96×6=11.76。[132.24, 155.76]。
133～155粒発芽すればよい。
練習2
(1)検定。標本の分布は正規分布N(25, 10^2)。
| X -25|≦1.96×σ'=1.96×10/√9=6.533。
[18.47, 31.53]。X=18は範囲に入っていない→言えない
(2)平均型 |a-18|≦1.96×σ'=1.96×10/3 [11.47, 24.53]
練習3
標本の標準偏差=標本一匹一匹についての標準偏差
≒母集団の標準偏差。標本平均の標準偏差ではない。
(1) |m-2.57|≦1.96×σ'=1.96×0.35/10=0.0686。
[2.50, 2.64]。
(2) |m-X'|≦1.96×σ'=1.96×0.35/√n≦0.05。
n≧(1.96×7)^2=188.2384。189匹以上。
練習4
(1)(15/16)^3(8/9)^2(24/25)=5/8。
(2)両側検定。 Xの分布は二項分布B(960, 5/8)。
これは正規分布N(600, 15^2)に近似できる。
|X-600|≦1.96×σ=1.96×15=29.4。
∴ [570.6, 629.4]。 X=640はこの範囲に入らないから仮説は棄却される。

**名無しなのに合格** · 2018/04/21(土) 13:30:08.34

発展編9
排反な事象A、Bに分けて、
E(X)=P(A)EA(X)+P(B)EB(X)。
最初の結果によって場合分け。
問題1
E(n+1)=1/6 ×1 +5/6(E(n)+1)
E(n)=6-5(5/6)^(n-1)→6。
収束することを前提とすれば極限の計算だけをやってもよい。
問題2
最初で場合分け。
E(n)=1/2 ×E(n-1)+1/2 ×(E(n)+n- 1/2)
E(n)=n^2/4。
平均的には(1, 1/2)の方向へ進むと考えられるから、
底辺n、高さn/2の三角形の面積を求めてn^2/4。
n枚目の札で場合分け。
問題3
(1)P(n+1,1)=P(n,0)×1/4 +P(n,1)×3/4 +P(n,2)×1/6。
P(n+1, 2)=P(n,1)×1/4 +P(n,2)×3/4 +P(n,3)×1/4。
P(n+1, 3)=P(n,2)×1/12 +P(n,3)×3/4。
E(n+1)=P(n+1,1)×1+P(n+1,2)×2+P(n+1,3)×3
=5/6 ×E(n)+1/4。E(1]=13/12またはE(0)=1。
E(n)=3/2 -1/2(5/6)^n。
(2)E(n)→3/2。
別解。赤玉E(n)個、白玉(3-E(n))個と考えて、
E(n+1)=(E(n)/3)(1/4 ×E(n-1)+3/4 ×E(n))
+(1- E(n)/3)(3/4 ×E(x)+1/4 ×(E(n+1))
=5/6 E(n)+1/4。
Σp(k)×k/N=1/N ×Σkp(k)=E/N。
Eは赤玉の個数の期待値。

**名無しなのに合格** · 2018/04/21(土) 15:10:10.22

発展編10
問題1。E(2n)=E(2n-1)。
k回が負、2n-k回が正とする。E(2n)=4n× (2n-1)C(n-1)/2^2n。ウォリスの公式。E(2n)≒0.8√2n。
問題2。X(n)=kとなる確率をpk、X(n+1)=kとなる確率をqkとすると、qk=pk×1/2+p(k-1)×1/4+p(k+1)×1/4。
4E(X(n+1)^2)=Σk^2×4qk (-n-1≦k≦n+1)
=4E(X(n)^2)+2。E(X0^2)=0。∴ E(X(n)^2)=n/2。よってE=n。E(D(n))≦√n。√30^2 ×50=1500cm=15m。
これは問題1でも成り立っていた(問題1では0.8、問題2では0.9)。
問題1追加。和の期待値は期待値の和。
E'=E(n+1) -1。出発点に戻る回数の期待値と出発点から離れていく期待値が殆ど等しい(約1違い)。
問題3。カタラン数の手法。
正の向きを右に、負の向きを上に対応させると数直線上の左右の動きが座標平面上の第一象限に実現する。
一歩目が右か上かで場合分けをすると、
1- 9C4 ×2/2^10=1-3×7×6/512=193/256。
(2n-1)C(n-1)/2^(2n-1)=(問題1)/2n→0。戻らない確率が0に収束するので、ほぼ確実に一回は出発点に戻る。

**名無しなのに合格** · 2018/04/21(土) 16:57:08.21

発展編4
引く順番によらず公平である。順列の対等性。
問題1
14C0=15C0に着目して加えていくと、
19C4/20C5=1/4。
×の直後に引いても当たる確率は変わらない。
××の直後でも変わらない。
Aの要素の最初の×の次の○を取り除くとBの要素が得られる。またBの要素の最初の×の次に○を加えるとAの要素が得られる。
従って集合Aの要素と集合Bの要素とは一対一に対応するから同数である。
問題2
3番目の人が引き直しをするかしないかで場合分け。
○○○、○×△○、×△○○、×△×△○
または○○×○、○×△×○、×△○×○、×△×△○
⇔○○○、○×○、×○○、××○
または○○×○、○××○、×○×○、××○。
(△は後から数えることにして除けることがポイント)
⇔△△○または△△×○。
⇔○または×○。
これは1番目の人の確率と等しい。
別解。帰納法。n,kによらず＊で与えられると仮定する。
問題3
条件付き確率。
２つの箱の中には平均して1個ずつ○が入っていると考えられ、○を引かれてしまった後には○が残っていないと思われるが、計算をすると「X君はどちらの箱から引こうと同じである」となる。
「Aから○を引いた」という情報は「Aの中に○が多い」ということまでも意味する。
別解。クジを一列に並べ、初めの３つはAの箱、後の３つはBの箱としてよい。
題意は「5本中2本の○が入っているクジを1番に引くのがよいか3番に引くのがよいか」に帰着され、これは明らかに等しくなる。

**名無しなのに合格** · 2018/04/23(月) 00:49:28.98

演習編1
1
6!/2!2!=180。5!-4!/2!=108。
2
(1)8!/3!2!=3360。5!/2! ×6C3=2160。
(2)7!/3!=840。4!×5C3=240。600。
3
3^n-3×2^n+3。4^n-4×3^n+6×2^n-4
類題。6^n-3×5^n+3×4^n-3^n。
4
7C4=35。
5
2000=2^4×5^3。20個。31×156=4836。

**名無しなのに合格** · 2018/04/24(火) 03:11:54.05

演習編
6
(1)285+181-25×2=416。
(2)285+181+153-2(25+21+13)+3×1=504。
7
(1)9×8×6×4=1728。
(2)1桁は9個。2桁は9×8=72。3桁は9×8×6=432。
2241個。9000台は192個。8900台は24個。
8700台は24個。8697, 8695。
8
6!=720。4連続は4!×3!=144。3連続は4!×2×3!=288。
288。
9
(1)2^6=64。
(2)3^6=729。
10
(1)99C2=4851=49×3+784×6。
(2)3個等しいのは無い。2個等しいのは49通り
784個。833。
類題。3個等しいのは1つ。2個等しいのは(n/2 -1)個。
(n-1)C2 =1+(n/2 - 2)×3 +6×P。
6P=(n-1)(n-2)/2 -1 -3(n/2 - 2)=n^2/2 -3n+6。
P=n^2/12 -1/2 n+1。

**名無しなのに合格** · 2018/04/25(水) 19:06:17.26

演習編1
11
(1)このパターンだけ使える。3H3 ×3H1=30。
(2)3H6 ×3H4 -2H6 ×2H4 ×3 +1H6 ×1H4 ×3
=28×15-7×5×3+3=318。

12
(1)12C4 ×8C4/3!=495×70/6=5775。
(2)6C2 ×4C2 ×6C2 ×4C2/3!=15×15×6×6/6=1350。
(3)1350/3=450。

13
最短経路は9C5=126。
はみ出さない事と始点・終点には途中で到達しない事。
一回だけ戻れる。11C7 ×5=330×5=1650。
1650-126×2=1398。
同様に11C6 ×4-126×2=1848-252=1596。3120。

14
(複雑な)ルールにより削除できる経路(違反ルート)を削除してから、書き込み方式が良い。重要。61。
15
210-72-72+36=102。

**名無しなのに合格** · 2018/04/25(水) 21:39:57.97

演習編2
16(1)n≦k≦3n。(2)n≦i< j≦3n、j-i≧n を解けば良い。
重要。n≦i< j-n+1≦2n+1。(n+2)C2 ×4n/3=
2n(n+1)(n+2)/3。鋭角三角形はダブりが出る。直角や鈍角の方が数えやすい。
類題(1)(3n-2)×6n+2n=18n^2-10n。
(2)1≦i< j≦6n-1。j-i>3n を解けばよい。1≦i< j-3n≦3n-1。(3n-1)(3n-2)/2 ×6n=3n(3n-1)(3n-2)
鈍角三角形にはダブりがない。
17。8C4 ×4=280。
18(1)8+8-1=15。(2)場合分け。包除原理。
4×2^(2n-1) -4×2^n-2×2^2 +4×2-1=
2^(2n+1)-2^(n+2)-1。
19
(1)スターリング数。(n+1)Sk=nS(k-1) +k× nSk。
特定のものが単独でグループを作るか単独では作らないかで場合分け。nSn=nS1=1。
(2)5S3=4S2+3× 4S3=3S1+2× 3S2 +3× 3S2+3×3× 3S3=
1+5(2S1+ 2× 2S2)+9=1+5×3+9=25。
20
(1)樹形図で。24。72。120。
(2)一般化。最後のnにAを塗っても良いとすると、a(n+1)通りになる。
よってa(n+1)=a(n)+(2^(n-1) -a(n))×2
=-a(n)+2^n。
∴ 2^(n+2) +8(-1)^n。
最初と最後が同じものは、nが１つ小さい場合の数と見なせる。
21
上下を区別すると7!通り。
点対称な配置を数える。1×6×4×2=48。数えやすい。
(5040-48)/2=2496。2544。

**名無しなのに合格** · 2018/04/26(木) 19:45:23.61

演習編2
1
×→× 25。
○→○ 45。
○→× 05。
×→○ 25。
△→× の確率は0.3。言い伝えの確率は0.5なので、
ある程度は正しい。

2○○、××、○×、○×。
1/4 ×2/3 ×1/2 ×1/2 +1/2× 1/2 1/3 ×1/2
=1/24 +1/24=1/12。
別解。1C1× 2C1/4C2 ×1/2 ×1/2=1/12。

3
(1)5/9 ×4/8=5/18。(2)1/9C2 ×4=1/9。

4
(1)7C3/343=5/49。(2)7C2/343=3/49。∴ 13/49。
(3)1- 64/343=279/343。
(4)グググ+キキグ=27/343 +48×3/343=171/343。
(5)1- 9C3/343=1- 12/49=37/49。

5
(1)1/N。1/N +1/N^2=(N+1)/N^2。
1/N +2/N^2 +1/N^3=(N+1)^2/N^3。
(2)P(N, k)=(N+1)^(k-1)/N^k。帰納法。
1枚目が何かで場合分け。
別解。漸化式を作ることも出来る。

**名無しなのに合格** · 2018/04/26(木) 23:25:28.44

演習編2
6
(1)000 012 111 222、72/216=1/3。
(2)任意の2aに対して
条件を満たす3bがただ１つ存在し、それらに対して条件を満たすcは存在しない→不適。
条件を満たさない3bが5個存在し、それらに対してただ１つ条件を満たすcが存在する→適する。
30/216=5/36。
7
(1)場合分け。(n+ n(n-1) )/6^n=n^2/6^n。
(2)場合分け。n(n-1)(n+2)/2×6^n。
(3)1-(1/2)^n-(2/3)^n +(1/3)^ n。
8
(1)12/36=1/3。別解 1/2 -1/6=1/3。
(2)1/2 -(1/6)^2=17/36。
(3)1/2 -(1/6)^n。
9
(1)(5/6)^n-(4/6)^n。
(2)(4/6)^n-2(3/6)^n+(2/6)^n。
10
(1)一度でも南北の動きがあれば、以降の動きでそれを戻すことはできないから。等比数列の和の公式。
(2)(1- 2(4/6)^n +(2/6)^n)/4。
どの軸上を動くかの対等性。
どの象限に入るかの対等性。

**名無しなのに合格** · 2018/04/27(金) 01:07:42.10

演習編2
11。f(n+1)=2f(n)+g(n)、g(n+1)=f(n)+2g(n)+h(n)。
対等性より、h=g。(f,g)=1,2。4,6。14,20。48,68。
96/4^5=6/64=3/32。
12(1)7/9C3=1/12。(2)3×3×3/9C3=9/28。
(3)6/27 ×15×6/729=20/729。
13(1)(k-1)(N-k+1)/N^3。(2)3(k-1)(N-k+1)/N^3
(3)P(X+Y≦Z)=Σ(2) =1/2 -1/2N^2。
∴ 1/2 +1/2N^2。約1/2になる。
14(1)pq(1+q)、pq(1+p)。P>Q。
(2)pq(p+q^2+p^2)、pq(q+q^2+p^2)。P<Q。
(3)(pq)^2(1+p+q+q)、(pq)^2(1+p+q+p)。P>Q。

発展編3続き。
問題1。一般に人数の少ないグループの方が有利。
問題2。0では勝てず、1と2では引き分けになる。
4人の場合は対等性が保たれて公平になる。A君はどの手を出すのも同じである。これは3n+1人に一般化される。
5人の場合と3人の場合を考えてみると、0だけ特殊(0だけ不利)になるので公平ではなくなる。しかし不公平さは極小さいものに抑えられてはいる。

**名無しなのに合格** · 2018/04/28(土) 15:24:38.77

演習編2
15。女子のうち1人だけを固定する。他の人々は区別する必要がない。
(1)3/91。
(2)0<<b<<c≦13⇔1<b<c-1≦12⇔1≦b-1<c-2≦11。
11C2=55。1-55/7×13=36/91。
(3)x+y+z=12、x≦5、y≦5、z≦5
⇔a+b+c=3、0≦a,b,a≦5。∴ 3H3=10。10/91。

16二人→三人A→三人Bの順に考えて、
6/7 ×8/20=12/35。

17。経路全てが同様に確からしいのではない。
二ヶ所選べる限りにおいて同様に確からしい。
その観点から場合分け。58/256=29/128。

18
(1)場合分けをして、14/36=7/18。
(2)余事象。
n回の移動でEFD⇔EFEF…またはEFEF…D
(1/3)^(n-1)+(1/3)^(n-1)=2×(1/3)^(n-1)。
1/2 -(1/3)^(n-1)。

19
回転によって同一視出来る箇所を調べる。
4通りに場合分け出来る。
4×6×66+6×4×4×28=24×178。
(24×178)/(64×225)=89/(4×75)=89/300。

**名無しなのに合格** · 2018/04/28(土) 18:12:15.13

演習編。
20
(1)二項分布の公式と同値変形で示せる。
(2)(1)の拡張。同値変形で示せる。
(3)(2)を利用すれば示せる。
21
無限等比級数に持ち込まず、収束すると仮定しての極限値計算で済ませる。
(1)二回戦で勝つか負けるかで場合分け。
繰り返しの構造を把握する→漸化式を立てる時と同じ思考法。
(2)一回戦でAが負けた場合を考える。
繰り返しの構造を把握する。
22確率漸化式の原則通り。
(1)どれかのコインは奇数回ひっくり返したことになるから裏になってしまう。
(2)○○○(n+1)=○○○(n)+○××(n)という漸化式。
(3)試行回数を増やすと初期条件の影響が減り、対等性が重要になってくる。
23確率漸化式。原則通り。
(1)●○○と●●○に場合を分けて下準備をしておく。重要。●●●と○○○は以降の推移が決定してしまう。
(2)辺々加える。
(3)辺々引く。
そのあと足して2で割る、引いて2で割る定石。
階差数列。極限値。ポリアの壺の問題。
24期待値。
最大値の原理を使う。期待値の定義に従って計算。

**名無しなのに合格** · 2018/04/28(土) 19:56:48.39

演習編2
25
交点が存在する条件。c≦aかつd≧b。S=bc。
条件を満たす場合を立式して Σすると100/81。

26
X=2となる確率を求める。
場合分け。2/36 ×26/36 +34/36 ×2/36
=120/1296=5/54。X=3,4,5,6も同じ確率。
X=1となる確率は29/54。期待値は129/54=43/18

27
文字数が多くなる。処理能力の問題。
文字消去せずに必要条件で絞れる。
(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)を当てはめてみる。
不等式から等式の条件が導ける。
10z≦5x≦6y≦10z すなわち等号が成り立つことになる。
グー3/7、チョキ5/14、パー3/14。
実はどういう組合せでも確定する。
常に自分が勝てる戦略は存在しない。
有利な歩数の確率を最も下げておくという意外性。
自分にとって有利な戦術を相手に見破られると不利になる。研究の確認は有益。

28。色だけに着目して場合分け。
(1)一色○○○3通り。
二色○○△6×9=54通り。
三色○△◽27通り。
一点6×3+2×3×3=36。
二点0。三点6。零点42。
(2)54/84=9/14。
別解。(2)三個の球を順に取り出すと考えて良い。
確率変数を、色数字とも他と異なる場合は1、同じものを含む場合は0に設定する。
3個×1点× 4C2/8C2=18/28=9/14。

**名無しなのに合格** · 2018/04/28(土) 22:29:24.70

演習3
1
P(B/A)=P(B)かどうかを調べる。
Y=aとなる事象をA、X+Z=7となる事象をBとする。
P(B)=1/2 ×6/36=1/12。
Yが偶数の時、X+Z=2X≠7よりP(B/A)=0。
P(B/A)=0≠P(B)より、独立ではない。
Yが奇数の時、P(B/A)=6/36=1/6≠P(B)よりこの場合も独立ではない。
従ってaがどのような値の時でも独立ではない。
2独立試行。
(1)(6,0),(0,6),(3,3)のどれかであるから、22/64=11/32。
(2)A,Eのみを移動する。樹形図。
Cを通らない(3/4)^3=27/64。
Cを通らないでAに戻る(8+2+2+2)/64=14/64。
14/27。
別解。書き込み方式も良い。
3
(1)2(n-k)/n(n-1)。
(2)P(B/A)=1/k。
4
(1)5/9。
(2)P(B)=(1+15+75)/216=91/216。P(B/A)=60/216
∴ 60/91。
5
P(B/A)=P(A∩B)/P(A)=
0.001×0.98/(0.001×0.98+0.999×0.08)
=98/(98+7992)=49/4045。1.2%。
6。最大値の確率。最小値の確率。E1+E2=7。
足して7になるペアが作れる。

**名無しなのに合格** · 2018/04/28(土) 23:16:00.59

演習3
7
(1)必要条件で絞り込む。独立である条件。
m=1,2,3,4を調べると、m= 3。
11,10,01,00を全て調べてm= 3。
(2)2m(9-m)/9。

8
(1)全体で何枚一致するか考え、対等性から求める。
a(k)=k/n。
(2)E(x)=np=n× 1/n=1。

9
(1)EX=20/6=10/3。V=70/6 -100/9=5/9。
(2)EY=10/6=5/3。捌くのがなかなか大変。
(1,-1),(2,1)。

10。二項分布B(n,1/3)。
(1)E=-n/3。8n/9。
(2)分散の公式。8n/9 +n^2/9。
(3)yについても同様の計算をして、π(5n^2+13n)/9。
k^2 ×nCkを使うのは、二項係数の若干高度なテクニックが必要になる。

11
(1)幾何学的な意味を考える。中点と端点までの距離。
(2)(1)の利用。全てLまたはlとすると全て異なることができないので矛盾する。鳩の巣原理。
(3)(2)より、V=E'-E^2≦E'<(L- I)^2/4。

**名無しなのに合格** · 2018/04/30(月) 01:46:58.96

運用編1
1
仮定も結論も変形する。
証明問題の時は逆も言えないか関心を持つ。
２
2倍ならば一文字でOK。平方ならば二文字が良い。
同値性の威力。
解答は言い換えの連続。特に最初の言い換えが重要。
全ての→最小。存在する→最大。
3
最小値を求める。候補が少数ならば全て調べた方が早い。
複数の候補のままで考える手法。
4
任意と存在を式で表してから候補の比較をする。

**名無しなのに合格** · 2018/04/30(月) 01:58:04.31

運用編2
1
式の視覚化。適切なものを採用する選択眼。
固定放物線と傾きが変わる直線に分離する。
ポイント：一方は一次式にする。文字定数は分離する。
2
一次式を分離する。グラフの利用。
有益な情報がその形状に反映されている。情報力。
可能な限り正確に描く。
解と係数の関係。
同値性が保たれている場合は吟味は必要ない。
3
同値性は難しい。例をなるべく多く知っておく。

**名無しなのに合格** · 2018/04/30(月) 02:05:29.33

運用編3
Aの否定はA以外ということ。メルセンヌ数。
1
541。1は素数でも合成数でもない。
無理数。互いに素。
2
pならば(qまたはr)⇔pかつ￢qならばr
または、を解消すること。
3
実験をする。これは常識にしておく。対偶の効用。

**名無しなのに合格** · 2018/04/30(月) 02:22:56.42

運用編4
対偶の必要性のためにナンセンスなものが真に成り得る。
1
同じではない。
2
座標平面上に視覚化される。
3
一文字固定して座標平面。
4
カンマの位置で意味が変わる。

運用編5
実数であることを前提にすると同値な命題になる。
1
解の配置。対称式。加減法の原理。
2
一般原理。

運用編6
代入法の原理。一言では指摘しにくい→難しさがこの辺にある？
存在条件に結び付けないととんでもないことになる。
論理的に間違った議論をする悪い癖がつく。
存在条件すなわち文字の消去。

**名無しなのに合格** · 2018/05/01(火) 04:51:22.61

運用編7
1
xの存在条件。場合分け。
2
和と差。
3
存在条件。
4
成分を設定する。存在条件。
別解。まとめて扱う。

運用編8
自然流。逆手流。存在条件。
値域・軌跡・領域。範囲。
写像や変換。
自然流に拘ると非常に難しくなる。
自然流は網羅式、逆手流は候補者のみ。

**名無しなのに合格** · 2018/05/01(火) 05:03:17.44

運用編9
1
存在条件に帰着する逆手流。
2
共役。
3
対称式。解と係数の関係。

運用編10
1
一部を使う場合、どれを使うか。
必要条件で絞り十分性を確認する。
2
必要性だけで十分な問題。
うまい一部を使う。
対偶。

**名無しなのに合格** · 2018/05/01(火) 05:13:56.46

運用編11
1
ベクトル。
2
うまい二本を選ぶ。極限。
3
計算自体はかなり大変。

運用編12
適当→任意、適当は固定。
任意→適当、適当は変化させても良い。
1
必要性。
2
任意と適当の複合形。
どんなnについてもx,y,zをうまく選べば。
3
次数下げ。
4
積分自体はテーマではない。
係数比較。

**名無しなのに合格** · 2018/05/02(水) 07:45:36.85

運用編13
1
将棋倒し。
2
ある値以上ならば成り立つ、という場合。

運用編14
1
ピョンピョン飛んでから戻る。
2
二変数の場合、平面的に動く。

運用編15
1
取り得る値の範囲。文字の存在条件。
2
同次式。
3
予選決勝法。
4
一文字消去。消す文字によって作業量は変わる。
5
予選決勝法の原理の確認。

**名無しなのに合格** · 2018/05/02(水) 08:26:57.92

運用編15
1。文字の存在条件。
2。同次式を作る。
3。予選決勝法。
4。一文字消去。どれを消すか。
5。予選決勝法の原理の確認。

運用編16
基本となる定理。
1。定石と秘策。論理構造。
2。秘策の応用。

運用編17
別解。
重大な論理的欠陥。定理が必要。
凸性と重心。

運用編18
1。最大値の最小値。
2。平均値の場合を考える。
3。チェビシェフの多項式。
4。置き換えをする。

運用編19
1。排反でない場合分けでもOKな場合。
2。有り得ない場合も考える場合分け。
3。場合分けが不要になる場合。
4。次数に関する場合分けを回避。三次以下と置く。
5。場合分けをしたが、後から条件が一つにまとめられる場合。

運用編20
1。一方通行で。
2。不等号を消すための写像。
3。適切な写像を定める。
4。互除法。背理法。

**名無しなのに合格** · 2018/05/02(水) 08:36:18.90

はじめに
1
縛り首と答える。
当たりならば火炙りになる。→外れということ。
外れならば縛り首になる。→当たりということ。
矛盾が生じる。

2
ウソつきに聞く yesならば逆を選ぶ noならばそちらを選ぶ
ホントつきに聞く yesならば逆を選ぶ noならばそちらを選ぶ
どちらでも同じ質問で正しい情報が得られる。

3
対偶を考えると自明である。

4
長方形を一辺1mの正方形50個に分割すると、少なくとも2枚のコインはその分割された正方形のうちの一つの中にあることになる。一つの正方形の内部の二点間の最大距離は対角線の√2であるから題意は示された。
ディリクレの引き出し論法。部屋割り論法。鳩の巣原理。

**名無しなのに合格** · 2018/05/02(水) 12:18:17.49

§1
全ての。反例。
～は真である。～が成り立つ。
仮定が偽の場合、その命題は真になる。
p→q ⇔ ￢p∩q
対偶法。
任意と適当が同時に現れる命題。
1。同値変形。
2。対偶。
3。代入してみる。
4。有限集合。否定。
5。必要条件。十分条件。図を描いてみる。
6。集合を考える。

1。命題の真偽。
2。集合の包含で考える。
3。任意と適当の複合形。
4。適当と任意。
5。集合の包含。

**名無しなのに合格** · 2018/05/02(水) 12:29:00.53

§2
背理法。否定を否定して肯定にする。
対偶法。大前提として、命題の外側に位置させる。
数学的帰納法。
同値変形。
欠陥論法。存在条件に帰着させて議論する手法を逆手流
1。背理法。2。背理法。3。背理法。
4。対偶法。5。対偶法。6。背理法。7。対偶法。
8。対偶法。
9。帰納法。
10。欠陥論法。帰納法で証明することはおそらく不可能。

**名無しなのに合格** · 2018/05/02(水) 12:48:53.51

手筋1
1。手順を遡る。2。最小のものを定めておく。
手筋2
3。一個に絞って取り出す。条件を弱める。4。強める。
手筋3
5。極端な場合を考える。6。等号が成立するとき。
手筋4
7。視覚化する。8。グラフを使う。
手筋5
9。部屋を適切に用意する。10。4部屋作る。
11。可能性のある値を列挙しておく。
手筋6
12。中間値の定理。13。不等式の意味を考える。
手筋7
14。不変量を探し出す。15。タイルの基本形。
手筋8
16。全て書いてみる。17。先手必勝。厳密には帰納法。

1。一つ少ない部屋を作っておく。2。N部屋用意する。
3。級数を構成する。4。背景。

**名無しなのに合格** · 2018/05/02(水) 13:50:09.81

§2
1。行った船で帰らなくとも良い。
2。鳩の巣原理。
3。とりあえず必要条件で。
4。中間値の定理。定石。
5。部屋割り論法。境界にナーバスにならなくとも良い。
6。特定できないという発言がキーになる。
7。グラフ。
8。少なくとも、なので否定を取ってみる。
9。場合を分けてコツコツと。
10。総当たり戦。極端な場合を考えよ。
11。部屋割り論法。
12。グラフ。背理法。最大値の設定。
13。偶奇性。指標の設定。背理法。
14。特別な場合に帰着させる。
15。状態量を2通りに表す。複素数。

**名無しなのに合格** · 2018/05/02(水) 13:58:41.35

§2
16。凸多角形。エズテ・クラインの定理。
17。偶奇性。背理法。
18。部屋割り論法。
19。背理法。平均値。実数にすると難しい。
20。偶奇性。背理法。
21。グラフで表せる。図示できる。
22。極端な場合を考える。最小値を設定する。背理法。
23。整列する。小さい順に並べる。部屋割り論法。
24。部屋割り論法の心。一般化される。
25。部屋割り論法。部屋の作り方に工夫が要る。帰納法。

**名無しなのに合格** · 2018/05/03(木) 03:07:34.63

§1
1。数直線上の距離と見做す。横方向の距離。
2。縦方向の距離。
3。点と直線の距離。単位ベクトルの内積。
コーシー・シュワルツの不等式。
4。座標平面上の二点間の距離。折れ線は真っ直ぐに伸ばす。
5。距離の平方。
6。根軸。方冪の定理。

§2
1。分数式は傾きと見る。
2。傾きの逆数。
3。傾きから増加量へ。
類題。分母を払う。
4。単位円。三角形の重心。
5。加重平均。天秤の原理。食塩水の問題。

**名無しなのに合格** · 2018/05/03(木) 03:19:53.94

§3
1。内積と見做す。点と直線の距離の公式。
2。極と極線。
3。前問と同様。
4。ベクトルの和と見る。
5。外心と重心が一致する三角形。正三角形。
6。4個の場合は菱形。
逆手流。存在条件の追求。

§4
1。自然に追求する。順手流。
2。ベクトルの和と見て図示。
3。座標系と見なせば自然に見えてくる。
4。条件から円のパラメーター表示と分かる。
回転・拡大の基本。
5。パラメーター表示。
二変数関数。一文字固定。

**名無しなのに合格** · 2018/05/04(金) 02:05:17.16

§5
1。不等式で領域を定める。平行四辺形。線形計画法。
2。等式で一文字消去。不等式で領域を定める。線形計画法。
3。距離に結びつける。
4。y, z が存在するためのxの条件を求める。
5。(1)他の文字の存在条件。(2)xの2次方程式を作り、xの存在条件。(3)解と係数の関係。(4)対称式の利用。
6。2解をを設定し、座標平面上の存在領域。

陰関数。陽関数。5。は陰関数の博覧会のような問題。

§6
1。一次式以下のものを分離する。
2。前問と同様。
3。前問と同様。
4。円の一部と直線の交点の問題に帰着する。
5。直線群と円との交点の問題。
6。直交2直線の交点の軌跡。円の一部。
7。定数分離。グラフで考える。
8。危険だが一次式を分離。数3で定数分離も安心。

**名無しなのに合格** · 2018/05/05(土) 00:06:21.42

§7
1。最も高い所を保持したグラフになる。対称性。
2。最も高い所を繋ぎ合せて行く。通過領域。
交点ははっきりさせておかなければならない。
3。定義域の幅。値域の幅。
4。頂点のy座標。
5。適当な→任意の。任意の→適当な。
参考問題。zを固定する。傾きと見做せる。

§8
1。グラフで考える。関数値の和。
2。三次関数のグラフは点対称。定数分離。
変曲点を通す。
3。解と係数の関係。
4。f^2(x)=x。図形的な意味。線対称。不動点に着目する。
5。f^2(x)=f(x)。図形的な意味。グラフのイメージを持つ。
図で理解できる問題。

**名無しなのに合格** · 2018/05/05(土) 00:28:07.38

§9
1。複素数の回転を使う逆手流。自然流。
2。相似拡大の一般論。
3。逆手流。
4。鏡映。複素数平面。逆手流。
5。対称式。回転してみると放物線と分かる。
物理的に考えると速度ベクトル、加速度ベクトルと見做せる。落下運動。
6。拡大→平行移動か平行移動→拡大か。

§10
1。続き。拡大と平行移動の順番。
2。拡大縮小と平行移動と点対称移動と線対称移動。
3。変換で説明する。同じ直線上の線分比を変えない。
交点→交点に移す。接点→接点に移す。
面積はk倍になる。
横a倍、縦1/a 倍の変換で、各点は動くが全体的には不動曲線になる。
接点は必ず線分の中点。面積は接点の位置によらず一定値になる。
4。√b:√a。

**名無しなのに合格** · 2018/05/05(土) 00:59:50.29

§11
1。直線束。
2。交点を持つことを確かめておく必要がある。根軸。
3。係数の和が1になるように変形する。分点の公式。
共通接線。縦線をそのままの比に分ける。
4。曲線束。x^2とy^2の係数を等しくする。
5。 2直線の式を掛け合わせる。y^2を消去する。
パラメーターについて整理すると定点を通る事が分かる。
6。２つの極値点を通る直線の方程式。
３つの極値点を通る直線の方程式。
参考問題。全ての変曲点を通る直線の方程式。

§12
1。放物線の相似。
2。放物線の相似。内分点になることに注意。
3。カバリエリの原理。グラフの引き算。
4。類題。√3:√2。グラフの引き算。カバリエリの原理。
5。グラフの引き算。
β関数と面積。

**名無しなのに合格** · 2018/05/05(土) 21:46:49.57

§13
1。放冪の定理。yの差の公式。
2。放冪の定理。
3。yの差の公式。
4。放物線上の三点の三角形の面積。
5。放冪の定理。方冪の定理。
別解。曲線束。
6。yの差の公式。内分比。

§14
1。ア:イ=1:2。三次関数のyの差の公式。
2。yの差の公式。β関数。
3。yの差の公式。単純な関係。
4。yの差の公式。
5。差の関数。変曲点は変曲点に移る。面積は等しい。
6。接線の傾きの絶対値。極限。

**名無しなのに合格** · 2018/05/05(土) 23:38:38.77

§15
全て方法は同じ。類題。
1。包絡線。平方完成。2。包絡線。平方完成。
3。包絡線。平方完成。接線群。
4。包絡線。平方完成。
5。判別式。包絡線。6。包絡線。判別式。

§16
全て方法は同じ。類題。
元の曲線+変曲点における接線+漸近線+複接線
1。分割の基本。
2。凸性。答えではなく方法と確認の仕方を覚える。
3。区切って数えるだけ。慣れるまで訓練する。
4。変曲点における接線。
5。偽である。

§17
1。平方完成。式の意味を考える。
2。同値変形すると意味がはっきりする。重要。解の配置。
3。少なくともの意味。分類する。
4。言い換え。平方完成。包絡線。細かい所に注意する。
言ってみれば「定義に従って考えずに解く」
ことができるように。
5。包絡線。他の解法も試すべき。解法の幅を広げることも大事。
6。包絡線。円と直線の共有点の問題に帰着される。

**名無しなのに合格** · 2018/05/05(土) 23:49:07.66

準公式のまとめ
1。数直線上の距離と見做せる。
2。縦方向の距離と見做せる。
3。距離の公式。
4。方冪の値。
5。点と曲線の距離。接線までの距離。
6。曲線と曲線の距離。共通法線を考える。重要。
7。中点。分点。
8。加重重心。普通の重心。
9。傾きを表式。
10。内積と見做せる式。
11。内積と直線。反転。
12。極線。内積。接線。
13。正領域と負領域。
14。単位ベクトルと見做せる。
15。線型独立なベクトル。
16。直線や円のパラメーター表示。

**名無しなのに合格** · 2018/05/06(日) 00:07:58.67

1。微分して増減を調べるのが基本。
2。一方を固定する。重要。一文字固定法。
3。関係式が一文字について解ける場合、解いて他の式に代入する。
4。逆手流。文字の存在条件。
5。実数xの存在条件。不等式による存在条件。
6。共有点を持つ条件。
7。線型計画法。線分上・凸多角形上では端点だけ調べればよい。
8。 2文字の存在条件は座標平面上で。
9。2解の存在条件。座標平面で。
10。実数条件のバリエーションを覚えておく。
和と差で表すか、対称式で表す。
11。文字定数の分離。
12。値域の幅。
13。最大値を辿って、最大値のグラフを描く。
14。平行移動する。帯状になる。
15。簡略化される。対称な解を持つ。
16。y=xとy=f(y)との交点。

**名無しなのに合格** · 2018/05/06(日) 00:45:09.08

1。平行移動の式。2。線対称な図形の式。
3。点対称な図形の式。4。回転移動。鏡映変換。
5。引き伸ばし変換の公式。
6。比は変わらない。接点→接点。
交点→交点。面積はab倍。
7。曲線束。8。yの差の公式。二次関数。
9。yの差の公式。三次関数。10。放冪の定理。

1。放物線の割線の傾きと切片の公式。
2。放物線の相似。
3。三次関数のグラフの特徴。
4。包絡点。5。包絡線。6。包絡線に慣れる。
7。接線の本数。重要。
8。解の配置の図示。重要。

**名無しなのに合格** · 2018/05/07(月) 01:18:51.28

発展問題演習

1
a+bを固定する。
=kと置く。
kを動かす。

2
束に似た考え方で解ける。
円の方程式になるようにx^2とy^2の係数を合わせる。

3
極線。
計算要らず。

4
極線。
包絡線。

5
二文字固定。
cの一次関数と見る。
bの一次関数と見る。
aの二次関数になる。

6
格子点。
正方形の中の正方形の中の正方形。

7
(1)場合分けをしてから図示をする。
(2)パラメーターを設定する。
同値変形。

8
同値変形による言い換え。
論理構造。

9
一文字消去。
逆手流。

10
線型計画法。
原題。代入してu, vの不等式を図示して面積を求める。

**名無しなのに合格** · 2018/05/07(月) 01:36:35.99

11
定数aを分離する。
整数に拘らずに実数として考えると整数の条件が出てきた。出題者を信頼する。
12
(1)(2)(3)定数aを分離する。場合分け。
13
途中まではパラメーターを設定して同値変形していけばよい。包絡線の問題。相似変換。
14
値域の幅。
15
多項式の割り算。場合分け。中間値の定理。
16
線対称な図形を表す方程式の解について考える。
k>2。
別解。図形的に読み取れることを踏まえた上で、
9次方程式を解いてもよい。
17
§11の6の類題。背理法。三次関数の性質。
18
yの差の公式。場合分け。
19
yの差の公式。ゴールから戻ってくるように式を変形する。
20
引ける接線の本数と引ける領域。
変曲点で分ける。対称性の確認。

**名無しなのに合格** · 2018/05/08(火) 01:01:19.84

第2部手筋・常識・落とし穴
1。limは和差積商に関して分配出来る←収束するならば。収束する項を作る。
2。収束しないあるいは収束する保証が無い場合は分配出来ない。収束する項を作る。
3。全て同時に極限を取る。自然対数の底の定義はしっかり覚える。
4。合成関数の極限の移動。f(g(x))で fが連続関数ならばOK。
logを取る場面はしばしばあるのでlogの連続性は重要。
5。自然対数の底の場合、fは連続関数ではないので移動出来ない。
6。分母分子が共に0に収束する場合、商の極限は様々である。重要。
7。発散の強さ比べ。オーダー。
8。log<ベキ<指数<階乗。埃は無視しよう。
9。n^(1/n)について。logx/xという関数に帰着する。重要。

**名無しなのに合格** · 2018/05/08(火) 01:16:46.01

10。9の応用。2^4=4^2。e^π>π^e。99^100>100^99。
11。二項定理と挟み撃ち。> 1と< 1で場合分け。
12。二項定理と挟み撃ち。
13。実数になっても変わらない。重要。挟み撃ち。
14。二項定理と挟み撃ち。ワンパターン。
15。二項定理と挟み撃ち。途中で切るのがポイント。
実数になっても変わらない。
16。14は12と同様の手法でも解決する。二項定理と挟み撃ち。
17。自然対数の底の定義に出てくる数列は増加数列である。微分法の利用。
18。17は二項定理だけで解ける。不等式を作る。比べる。
19。17は相加相乗平均の不等式で一発で出来る。
20。17の数列は増加列だが上に有界である。二項定理と不等式。<3であることが簡単に分かる。重要。
21。17はeに収束する。上に有界な増加数列は収束するという高校教科書には無い定理を用いる。重要。ネイピア数。
22。指数関数とベキ関数の強さ比べでも二項定理を用いる。
23。うまい関数を設定して微分法。
24。テイラー展開を念頭に置いて不等式を作り、挟み撃ち。
25。指数関数と対数関数の極限では二項定理の利用が基本である。重要。

**名無しなのに合格** · 2018/05/08(火) 01:36:57.11

25。23と同様にも出来る。
26。同じベキ関数同士での強さ比べ。高位の無限大。高位の無限小。
27。収束する項を作る。埃を無視する変形をする。一番強い項で括る。
28。一番強い項で括れば出来る。厳密には不等式を作って挟み撃ち。
29。三角関数は、テイラー展開で身近な関数に近似する。
30。sin<x<tanをグラフで視覚的に押さえる。
31。log≦x-1<x<x+1≦e をグラフで視覚的に押さえる。
32。31の証明。微分法で。この不等式は様々な不等式の源泉。
33。31以外のlogの有名不等式。
34。cosを放物線で近似。二次近似。曲率円は入試問題として適度な難しさ。
35。分数関数を傾きと見てグラフの概略を押さえる。
36。分数関数を傾きと見て、sin/xが 0<x≦πで減少関数であることを掴む。
37。36の類題。分数関数を傾きと見る。
38。この無限級数は収束しない。振動する。
39。この級数は無限大に発散する。
40。39の級数はlognより大きいので発散する。
41。オイラーの定数。0.5772。無理数か有理数か不明の数。
42。無限級数が収束すればa(n)は収束するが、a(n)が収束しても無限級数が収束するとは限らない。重要。

**名無しなのに合格** · 2018/05/08(火) 01:52:25.54

43。ζ関数。π^2/6に収束する。
44。正項級数は項の順序移動が自由。交項級数は項の順序移動をしてはならない。
45。収束発散を無視して非合法な変形しても正しい解が得られる場合がある。log2に収束する級数。
46。45と同様に非合法な変形。π/4に収束する級数。
47。連続性。左側極限。右側極限。不連続に定義する場合。
48。連続であるが微分不可能な関数。尖っている場合。グラフが滑らかな場合は大抵OKだが、滑らかであっても微分可能でない場合がある。重要。
49。連続でなければ微分不可能。微分可能であれば連続である。
50。連続関数であるが微分不可能な関数の例。折れ線以外の例。無限に振動する関数。全実数で微分可能な関数であるがその導関数は連続ではない例。
この辺は知識事項に属する。

**名無しなのに合格** · 2018/05/08(火) 19:19:50.66

51。ロルの定理。図形的には当たり前のこと。出発点。
52。平均値の定理。ラグランジュ。接線の傾き。
53。平均値の定理。コーシー。パラメーター表示された曲線の接線の傾き。
54。平均値の定理とは(b-a)を取り出す定理。因数分解する定理。
55。54の具体例。取り出す時は平均値の定理を使う。
56。不定形の極限に対してコーシーの平均値の定理を用いる。
57。ロピタルの定理。コーシーの平均値の定理の応用。
58。階差数列。
59。微分と階差数列。増減。凹凸。
60。微分係数の定義の応用として極限値を求める。
61。極値を取るが f'= 0とは限らない。尖っている場合。
62。f'=0であるが極値とは限らない。停留する場合。
63。凸性と傾きと分数関数。
64。凸関数の不等式。重要。図形的把握。
65。相加相乗平均の不等式の図解。logの凸性を利用する。
66。p乗平均。まずは定義を押さえる。凸関数の利用。
67。微分は比の極限。まずは比の世界。身近に思える。
68。合成関数の微分。分数のように約分が出来る。その逆も可。
69。68の基になる公式。一般論。どんどん微分を掛けていくイメージ。

**名無しなのに合格** · 2018/05/08(火) 19:38:24.62

70。積の微分法。二次の無限小を無視する。重要。
71。3個以上の積に対しても同様の公式が成り立つ。3次以上の無限小を無視する。
72。導関数の記法について。場合に応じて使い分ける。
73。陰関数の微分は合成関数の微分と同じ。
74。逆関数の微分。
75。逆関数の二階微分。重要。
76。パラメーター表示の微分。二階微分のやり方に要注意。
77。サイクロイド。有名曲線。
78。逆関数のグラフはy=xに関して線対称。
79。y=xに関して線対称かつ単調増加または単調減少の時、逆関数。対称なだけでは駄目。
80。arctanのグラフと微分。重要。
81。arcsinのグラフと微分。重要。
82。多価関数。一価関数。
83。陰関数。
84。陰関数かつ多価関数の微分は積の微分法、合成関数の微分法。
85。84の応用。楕円の接線。
86。関数関係が無い等式は微分できない。重要。
87。対数微分法。
88。87の応用。分数関数は商の微分法ではなく対数微分法の方が良い場合がある。重要。

**名無しなのに合格** · 2018/05/08(火) 20:03:59.16

89。微分の前に概形を把握する。重要。関数の和。
90。関数の積。周期的。巻き込む感じ。
91。関数の積。傾きと見る。重要。
92。逆数にする時は点を幾つかプロットする。重要。
93。axは1/a 倍の拡大変換(x軸方向に1/a 倍する)。
x+aは平行移動(x軸方向に-aだけ移動する)。
94。x> 0の時、x座標は互いに他の逆数。y座標は等しい。x< 0の時も同様。
95。分母= 0の点とx→±∞の点を調べる。関数の和も利用する。
96。分数関数の極値を求める公式。
97。接する⇔関数値が等しい且つ導関数値が等しい。多項式の時にはf-gが(x-α)^2で割り切れる(重解条件)。二次曲線同士の場合(一方が直線でない場合)に要注意。重要。
98。接線の本数について直感的に把握する。元の曲線・変曲点における接線・漸近線・複接線の４つがポイント。
99。不等式の証明の基本。「どんどん微分」で殆ど解決する。
100。積の形にはlogが有効。重要。
101。文字定数の分離。重要。
102。完全分離「定数のみを分離)も良いが、一次式を分離しても簡単な場合もある。
103。不等式に対しても文字定数の分離は有効。

**名無しなのに合格** · 2018/05/09(水) 00:41:03.54

104。不定積分は微分の逆。慣れてしまいたい形。
105。一次式による変換。普通に定数倍するだけ。
106。特殊基本関数。
107。積の積分の公式。
108。107の一般化。
109。積の積分の公式。
110。難しい不定積分。図形的な意味付け。
111。置換積分の置き換え方。
112。カテナリー。２つの公式。
113。双曲線関数。逆関数に慣れておく。
114。微分は可能だが不定積分は不可能な関数を知っておく。楕円関数。
115。四分円の面積と見做せる積分。
116。半円の面積と見做せる積分。
117。対称性による等式。
118。117の具体例。重要。頻出。
119。積分値が0になる場合。慣れておく。重要でもない。
120。[-π,π] とすると全て0になる。重要。m=nならばπになる。