マスターオブ整数
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1。方冪の定理。直径。
2。場合分け。偶奇性。
3。不自然な設定にはヒントが隠されている。前と後ろを合わせると定数になるように作られている。
4。円周角の定理。相似。線分比。
5。直接計算は出来ないと見切って、意味付けに向かう。
6。発見し、「それ以上では満たさない」ことを示す定番パターン。発見の部分が難しい。
7。グラフ理論の初歩。
8。発見し、それ以下では満たさないことを示すパターン。補題を作って証明する。
9。メネラウスの定理。相似。
10。発見も論証も難しいが、論証のパターンとしては基本的。
11。小さい公式や定理だけでは足りず、補題を作って繋げて行くパターン。
12。同じく補題を作って繋げて行くパターン。構想力が問われる。
1。一次方程式の簡単な文章題。
2。mod2とmod5に分けて考える。
3。円の直径。直角二等辺三角形。
4。フィボナッチ数列の漸化式。
5。直角三角形の面積を求める。
6。一般化も可能。この場合であれば直接求めるのは簡単。
7。難しい規則性を使わなくても、ざっくりした不等式評価でOK。
8。発見の問題。焦らず構成していく。最小性の確認。
9。角度の1次方程式の問題。
10。相加相乗平均の不等式。
11。段階を2つに分けて丁寧に考察する。
12。互除法。単項イデアル環ではない。互いに素。中国剰余定理。
1。場合分けして数えるだけ。
2。1パラメーターで表示出来る。
3。桁数の問題。繰り上がり。
4。文字で置いて解析的にやる。
5。規則に則って立式する。
6。円に内接する四辺形。正弦定理。比例。
7。ガウス記号。何回割れるかの問題。5だけ消す解法。
8。補助点を取る。正三角形が出来る。角の二等分線定理。
9。大小を設定する。逆数を取る。場合分け。
10。正五角形の対角線の長さ。
11。等比数列の和の公式。nで割り切れるか割り切れないかで場合分け。
12。グラフ理論。路線図の組合せを考える。
1。三角形の相似に着目する。内接円も同じ相似比。
2。小さい数から当て嵌めて行く。定番問題。
3。中線が垂線になる時。
4。フィボナッチ数列を1つ増やしたもの。
5。対称性。垂直になるので楽。
6。解と係数の関係。実部と虚部。
7。組合せの数に帰着する。
8。分母を払ってmod41。結構パターン問題。
9。格子点の個数に帰着させる。対称性を使う。
10。対等性。漸化式を作る。
11。図を描く。二等辺三角形。相似。角の移動はそんなにパターンは無い。
12。mod。周期。並べ替え。中国剰余定理。
1。割り算の式を立てる。素因数分解。
2。ベクトルの利用。連立方程式が得られる。
3。場合分け。1を含むかどうか。
4。三角形の相似。合同な三角形を探す。面積を求める。
5。組み合わせる。剰余の周期性。
6。最大値を予測して、それ以上にならないことを示すパターン。最大値は垂直の時。定点を通ることが分かる。
7。より小さい2×2のブロックで考える。それを組み合わせる。
8。共通解は遺伝する。互除法的に。
9。外接円。角の二等分線定理。平行線と角。円周角の定理。三角形の内角の和。
10。一枚増える毎の差を考えて漸化式を立てる。
11。補題。互いに素。等号が成立する。素因数分解。
12。8つの区画に分ける。構成する。構想力と試行錯誤。
1。普通に。
2。不等式を作って組合せの公式に帰着させる。
3。mod 3の特殊性でうまくいく。最後で辻褄が合ってしまうパターン。
4。埋め込みを考える。補助の立方体。
5。文字で置く。不等式で絞る。
6。相加相乗平均の不等式。うまくバラして組み立ててから使用する。
7。部分分数分解。互いに素。ウィルソンの定理。
8。対称点を取る。合同。折れ線を伸ばすことが出来る。
9。整数=見かけの無理数と設定する。不等式で絞る。
10。勝敗のパターンで場合分け。三竦み。構成する。
11。漸化式を立てる。4色をm色に一般化しても出来る。
12。有理数を設定する。実験して候補を1つに絞り、その他が存在しないことを示す。
1。大きい方から取って行く。
2。下から虱潰し。
3。辺々引いて因数分解=素因数分解のパターン。後は全部調べる。
4。漸化式を立てる。基本対称式を使う。
5。中点連結定理。角の移動。相似。
6。最小値を発見する。後はその最小性を示す。
7。回転不変。重複を後で割って調節する。
8。漸化式を立てる。二進法。
9。余弦定理。正弦定理。より強い証明が可能。
10。グラフ理論。
11。対称性。
12。最小性。発見してそれより小さいものが無いことを示す。
1。普通に。
2。垂線の足。角の二等分線定理。三平方の定理。
3。余事象。独立試行。余事象。
4。素因数分解=因数分解パターン。
5。一つ発見する。それの最小性を示す。
6。上手い文字を代入する。綺麗な形にはならない。
7。図を描いて考える。余弦定理。扇形。
8。不等式評価。等号成立条件。
9。補題を考えつくのがポイント。
10。判別式。
11。補助点を取る。共円点。正弦定理。
12。山と谷。
1。約数の個数。非平方数⇔約数が偶数個。
2。接弦定理。相似。
3。適当な文字を評価する。一文字について変域が分かる。
4。mod 3。場合分け。
5。抽象化する。上手くキャンセルされる。
6。最大公約数を設定する。順に互いに素である事が分かる。
7。格子点の幾何学。互いに素。等間隔。
8。方冪の定理。中線定理。
9。規則性を掴んで構成する。
10。漸化式を立てる。不等式を作る。mod 39。
11。円周角の定理。合同。面積比。
12。たくさん書いて実験し、規則性を掴む。場合分け。
1。文字で置いて因数分解。
2。80で割った余りで考える。
3。円周角の定理。内接四角形の定理。共円点。
4。外周を外して組合せを考える。
5。二等辺三角形。相似。合同。面積の足し引き。
6。多項式の符号の問題。
7。文字の置き換え。文字消去の逆の操作。
8。方冪の定理。内接円。面積公式。垂線の足。相似。
9。オイラー関数の問題に帰着される。
10。場合分け。グラフ理論。鳩の巣原理。
11。偶奇性。互いに素。ベクトル。余りの問題。
12。写像を定義してその個数を数える。
1。特別角の直角三角形。面積の足し引き。
2。素数。素因数分解。
3。因数分解に帰着する。
4。接線の長さ。方冪の定理。相似。接弦定理。
5。条件を置き換えて行く。場合分け。
6。幾何的な意味を考えながら進めて行ける。場合分け。
7。ガウス記号の問題。素数と合成数。
8。接弦定理。相似。面積比。
9。置換。符号。不動点。補題。
10。正弦定理。外接円。円周角の定理。相似。周の長さ。
11。集合の元の個数。部分に分けて数える。
12。規則性、法則性を掴むのが最大のポイント。動きを把握する。
1。ペアを作る。
2。等差数列を為す三項。場合分け。
3。長方形。直角二等辺三角形。三平方の定理。
4。最小の単位(底)を割る数で割っておく。
5。実験し、構成する。
6。相似。三平方の定理。
7。組の作り方を把握して構成する。
8。並べ替えの不等式。
9。対称性。共円点。正弦定理。
10。場合分け。仮定して矛盾を導き、進めて行く。
11。n進法。三角不等式。補題。
12。補題。ある程度数が大きくなると動きが止まる。
1。普通に。
2。格子点の幾何学。点と直線の距離。
3。円周角の定理。垂線の足。方冪の定理。
4。漸化式を立てる。
5。不等式で絞る。場合分け。
6。相加相乗平均の不等式。
7。偶奇性。因数分解。
8。場合分け。数え上げる。
9。正三角形。二等辺三角形。一直線上。二等辺三角形。
10。数え上げる。並び替え。
11。中点。対称点。鋭角三角形。三角錐。
12。グラフ理論。辺と頂点。連結グラフ。完全グラフ。サイクル。
1。互いに素。オイラー関数。
2。分子= 0または分母|分子。
3。2と同様。
4。2と同様。
5。必要条件で絞って十分性を確認する。
6。途中までは式で追うが最後までは行けないので当て嵌めで行く。
7。既約分数。互いに素。ユークリッドの互除法。
8。約数の個数。約数の総和。
9。約数の個数。素因数分解。
10。完全数の形。偶数の完全数。メルセンヌ数。
11。必要条件。十分性には反例がある。
12。等号成立条件。互いに素。
13。使いやすい条件を探す。
14。偶数であることを示す。
15。互除法。平方数。
16。因数分解。奇数を代入する。偶数を代入する。
17。差を取って連続3整数の積。
18。文字で置いて基本性質を使う。互いに素。
19。基本事項の証明。
20。文字で置いて因数分解。(1)を使う。
21。文字で置く。不等式で絞る。
22。条件式が使える形に変形する。不等式で絞る。
23。互いに素。
24。因数分解。代入する。場合分け。
25。行列式=1の場合。ファレー数列。
26。最大公約数。互いに素。
27。整数値多項式。
28。27と同様。
29。27と同様。
30。平方数。場合分け。有理数と仮定すると矛盾が生じる。
1。普通に。
2。面積を2通りで表す。
3。実際に書いてみる。対称性。
4。立式し、逆に解く。大小を設定する。偶奇性。奇数の個数で場合分け。
5。辺々足すと綺麗に纏まる。
6。対称性。赤の個数で場合分け。
7。文字で置く。11の倍数の特徴。
8。最小性を示す。存在を示すために最小値を構成する。
9。外接円。菱形。平行四辺形。合同。余弦定理。正弦定理。
10。グラフ理論。平面上にグラフが描ける。
11。半円。加法定理。面積。幾何的考察。
12。単調増加。直積。カタラン数。一対一の対応。漸化式。
1。普通に。
2。二項定理。mod100。
3。半円。垂直。最小値。
4。2桁ずつ分解する。
5。一般論を展開出来る。
6。題意を掴んで漸化式を立てる。フィボナッチ数列になる。
7。漸化式を作る。
8。論理的に、排反に場合分けする。丁寧に数える。
9。場合分け。「最大公約数×互いに素」と置く。約数倍数関係から絞り込む。
10。下から確定させていく。
11。ガウス記号の問題。必要性で絞って十分性を確認する。
12。小さいスケールで実験して意味を掴む。後はそれを大きな数に広げる。
違います。「マスターオブ整数」は終わりました。
1。双曲型不定方程式。
2。1と同様。
3。1と同様。
4。不等式で絞る。
5。xの2次方程式と見て判別式。
6。大小を設定して不等式で絞る。
7。大小を設定する。少なくとも1つ存在すること→構成する。有限個しかないこと→最大値に上限があることを示す。
8。特殊解+方向ベクトル。
9。ユークリッドの互除法で捌く。
10。偶数≠奇数。整数論の基本定理。
11。前二項を括る。オイラーの解法。
12。分母を払って双曲型の不定方程式に帰着させる。
13。12と同様。
14。不等式で絞る。
15。14と同様。かなりの手間。
16。「解を持たない、あるいは持つとしても有限個」を示す問題。「更に解が多いが示しやすい状況」で示す。
17。行列式の問題。平方剰余。
18。17と同様。
19。因数分解。虱潰し。正とは限らないことに注意。
20。不等式評価。(1)の利用。
21。両辺を展開するだけ。(1)に当て嵌めるが嵌りにくい。
22。連続2整数の積。必要性から絞っていって十分性を確認する。
23。定義に従って代入するだけ。「絶対値が大きい他の解を持つこと」を示す。
24。無限降下法。
25。mod3。背理法。平方剰余。有理数を文字で置く。互いに素に反する。
26。無限降下法。
27。合同式を解く。特殊解を探す。問題8と同様。
28。ユークリッドの互除法。連分数展開。
29。代入してみる。普通の高次方程式の解法と同様。
30。75=3×5^2とする。互いに素な法に分解する。
1。必要条件で絞ると答えが出てしまう。
2。合同。相似。合同。
3。場合分け。釣り銭の存在。
4。丁度2で1回だけ割り切れる。構成する。
5。普通に。
6。仮定して進めて行く。場合分け。
7。平方数。文字で置く。
8。期待値。裏返される確率。
9。和と平方和を考える。偶奇性。写像を考察する。
10。題意を掴む。規則性が分かれば後は一本道。
11。平行四辺形になるように補助点を取る。中点。直角三角形。余弦定理。同じ側か逆側かで場合分け。凸四辺形。
12。補題を作って解く。一回では最大値は求まらない。場合分け。
1。平方数の差の形。
2。一直線上。二等辺三角形。相似。
3。和差。
4。対称点を取る。合同。角の最大値。円を描く。
5。隣り合うか隣り合わないかで場合分け。
6。直交する。垂線の足。
7。両辺に平方を加える。2次方程式。判別式。解と係数の関係。
8。割り切れる。因数分解。
9。共通。場合分け。
10。二重根号の外し方。Σ計算。
11。ガウス記号の問題。整数。場合分け。
12。半空間。補題を解く。構成する。
1。文字で置く。組合せの数。
2。確率的に考える。
3。取り得る最大値が決まり実際にその値が取れる事を示す。
4。内接正六角形。平行線。
5。円周角の定理。約数。
6。橋のかけ方。場合分けをして小さいブロックに分割する。
7。十分に大きな値を代入してみる。
8。相似を作る点を取る。三平方の定理。面積。
9。置き方の場合分け。一対一の対応を考える。
10。補題を作って解く。繰り上がりの公式。
11。相似。角の二等分線。相似。折り返し。二等辺三角形。
12。題意を掴んだら場合分けをして解く。可能か不可能か。
1。素因数分解。最小公倍数。
2。文字で置いて不定方程式を解く。
3。円周角の定理。直径。
4。上手い値を代入する。
5。接弦定理。相似。外接円。
6。重複組合せ。対等性で場合分け。
7。差の2乗の和に変形出来る。0か1か2に決まる。
8。反転を使う。変換。座標。
9。フェルマーの小定理。素数限定。素因数分解。
10。ガウス記号の問題。補題。中国剰余定理。
11。場合分け。向き付け。格子点。補題。
12。三角関数で置き換える。重要。帰納的。鳩の巣原理。mod 2π。
またお邪魔して申し訳ないんだけど、イッチは数オリとかの問題集でもやってるの？複素関数論なり写像なり微分方程式なりと大学数学範囲の文言が見られるわりに
三平方の定理だとかの中学数学レベルの文言も見られてどんな問題解いてるのか知りたいんだけど、何の問題集をやってるの？
マスターオブ整数が終了した後は色々な問題をやってます。
数オリの問題とかマスターオブ第2章やその他の「大学入試から逸脱する問題や解法」もあります。
「純粋に大学範囲の問題」はこのスレではやってないです。
今やってるのは「整数の理論と演習」という本で、大体は高校範囲ですがところどころ逸脱してます。
1。mod 3での平方剰余を考える。
2。文字で置いて計算する。そのあとは虱潰し。
3。中国剰余定理。105減算。
4。中国剰余定理。
5。nを偶奇それぞれ文字で置く。二項定理。
6。5と同様。二項定理。
7。二項定理。mod11。
8。因数分解。
9。合同式の基本。
10。合同式。場合分け。
11。平方剰余。
12。ピタゴラス数。mod 3。
13。mod 4だとうまくいく。
modの設定は試行錯誤もやむを得ない。
14。場合分け。mod 3。mod 4で上手くいく。
15。平方剰余。場合分け。対偶でも良い。
16。割り算の原理。商が決まるので後は芋づる式に進む。
17。mod 8。互いに素。
18。偶奇で場合分け。mod 4。(1)を利用する。逆に解く。
19。下からコツコツと調べて行く。
20。19と同様。
21。整数係数の整数値多項式。有理数解を設定して互いに素。
22。21と同様。周期性。
23。22と同様。周期性。
24。ガウス記号。周期性。
「同じものがある」と仮定して矛盾を導く。
25。シャッフル。置換の問題。mod(2N+1)に気づくこと。
26。フェルマーの小定理。下からコツコツと調べても良い。
27。重要問題。mod pで全て異なる。
これもフェルマーの小定理。
28。フェルマーの小定理を使う。
29。「素因数分解=因数分解」のパターン。素数。
フェルマーの小定理。殆ど自明と言える。
30。鳩の巣原理。有名問題。このスレでも、これで3回目。
1。ガウス記号の問題。定義に当て嵌める。
2。冪乗で割って行く。ルジャンドル関数。
3。不等式で評価する。因数分解。100+1-1.5=99.5よって一の位は9。
4。床関数。問題2と同様。ルジャンドルの公式。
5。エルミートの恒等式の証明。場合分けして示す。
6。ヴィノグラドフの定理またはビーティの定理の一部。定義にのせる。背理法で示す。
7。定義にのせる。有理数を分数で設定する。
8。全て異なる。
9。帰納法で示す。
10。オイラー関数。縦のものを横に数えるパターン。
11。mod100。互いに素。集合を考える。
12。連続3整数の積。
13。オイラー関数。偶奇で場合分け。
14。オイラー関数に関する公式の証明。
15。整数論の基本定理。ベズーの恒等式。
16。互いに素。ピックの定理。
17。逆順にして加える。あとで2で割る。
18。ペル方程式。
19。ペル方程式を解く。アルキメデスの牧牛問題。
20。mod4で考える。場合分け。ピタゴラス数。
21。ピタゴラス数。有理数。オイラー。フェルマーとオイラー。ルジャンドル。ラーメ。互いに素。偶奇が異なる。mod4での平方非剰余。原始的。
22。ベズーの恒等式。
23。パスカルの三角形。偶奇性。母関数。
24。modと素因数分解。場合分け。
25。mod4。場合分け。周期3で繰り返す。
26。周期性がポイント。(1)3|n。(2)12|n。
27。互いに素。帰納的に。背理法でも良い。
双子素数。ゴールドバッハの問題。チェビシェフ。フィボナッチ数列。
28。対偶を取る。順序対の問題。
29。鳩の巣原理。任意のmodkで必ず繰り返す。周期性。
目標は任意のmodkに対してa(n+2)≡a(n+1)を示し、a(n)≡0を導くこと。
30。漸化式。フェルマーの小定理。modの周期性。鳩の巣原理。最小性。互いに素。
1。5進数、9進数共に十進法にして式を作る。不定方程式を解く。
2。ピタゴラス数。不等式評価。
3。mod3での平方剰余。
4。最高位の数字の問題。規則性を掴む。場合分け。4の時はあと2ステップ、それ以外の時はあと3ステップなので、その 2パターンに場合分け出来る。
5。2進数の問題。
6。ガウス記号。偶奇で場合分け。挟み撃ちの原理。
7。分割数の問題。漸化式を作る。
8。整数論の基本定理。互いに素。
9。ガウスの整数。代数的整数。単数。
10。具体的に調べる。2人減ってそれらの分だけ1人が増える。単調減少数列。十分大きなrを取る。
11。背理法。1, 1, k。元に戻る。奇数。背理法。
オイラーが証明した有名な定理。平方剰余。
12。帰納法で示せる。n乗和まで全てpの倍数ならばそれぞれの項がpの倍数ということ。
13。合同式。f(m+kN)≡0 mod Nとなる。
14。三角不等式。有限個の正の整数に対してのみ正になり、題意を満たさない。
15。13を法とする原始根は2, 6, 7, 11。定義に従って表を作ってみれば分かる。それ以外は途中で1になってしまうので駄目。3→2。5→2, 3。7→3, 5。11→2, 6, 7, 8。
16。原始根を全てかけると≡1になる。
17。因数分解。冪乗和≡0。
18。ウィルソンの定理。原始根を用いる。
19。原始根を用いる。
2。素数。合成数。エラトステネスの篩。実際にやってみる。90〜96。7個。素数砂漠。
3。5円と6円。互いに素ならば表せる。
4。2005=5×401。4通り。
5。周期性。
6。中国剰余定理。
7。三平方の定理。2つの平方数で表す問題。
8。ルジャンドルの定理。ルジャンドルの公式。
9。1089×9=9801。2178×4=8712。2個だけ。
10。全部の素数を掛けて1を加えておく。
素因数分解の一意性は初等整数論の基本定理とも呼ばれる。
M=3Q-1と置く。M=6Q-1と置く。
12。双子素数。3の倍数。
13。9！+i。素数砂漠。
14。代入する。
15。代入する。素数生成多項式。
16。背理法。a>11が分かる。dが2310の倍数となって矛盾する。
17。mod3で、0, 2, 4。1, 3, 5。2, 4, 6。どれも0を含む。
18。ユークリッドの互除法。
19。ユークリッドの互除法。
20。10001の倍数。ユークリッドの互除法。
W76CF
2。和の2乗-3×積和。 3×平方和-和の2乗。
3。コーシー・シュワルツの証明。絶対不等式。
4。差を取る。
5。三角不等式。
6。因数分解→加法定理→和積公式。部分的平方完成。
7。シュールの不等式。対称性を崩して大小関係を設定する。真ん中の項を前と後ろに組み込めるように分解する。
1。不等式の帰納法では不等式評価が必要。
2。等号成立は1個以下が1であること。
3。普通に。
4。因数分解。帰納法。
5。相加相乗平均。二項展開。
6。非負を作る。
7。2の冪から下がってくる。
2。減少関数。
3。分数関数を傾きと見る。接線の傾き。
4。増加関数。直線の傾き。
5。y=√x。増加関数。傾きは減少する。
6。周の長さと面積。一文字消去。端点だけ調べれば良い。対称性。
7。場合分けして端点だけ調べる。
8。場合分けして端点だけ調べる。
1。帰納法。平均値の定理。
2。凸不等式。上に凸。
3。相加相乗平均。上に凸。普通には和積と積和で変形する。
4。y=xlogxは下に凸。
5。y=e^xは下に凸。→相加相乗平均。
6。y=x^2は下に凸。→コーシー・シュワルツ。
7。下に凸。偶数番目の和>奇数番目の和。イェンセン。
2。共役。ペル方程式。帰納法。
3。書き出す。帰納法。偶奇で場合分け。
4。代入する。対数を取る。
5。偏角はmod 2π。繰り返しに気付く。
1。予想してから不等式を解く。
2。実験して規則性を掴む。漸化式を立てる。
3。組合せの応用公式の問題。偶奇性。
4。実験あるのみ。場合分け。詰めを丁寧にする。
5。実験して帰納法。
6。周期数列。周期8。
7。ガウス記号の問題。書き出してみる。帰納法。
8。帰納法。前問と似た問題。
9。図を描いて概要を掴む。鋭角三角形になることはない。
2。見易く置き換える。場合分け。図示。
3。必要条件で絞り、十分性を確認するパターン。
4。変数変換で楕円→円にしてから考える。
5。適切な言い換え。場合分け。グラフの利用。
1。同値変形の基本、無理方程式。
2。同値性の練習にいい問題。
3。和と差に分けることがポイント。同値変形。円と双曲線。
4。領域の問題。重要。
5。θとtの対応関係を忘れないように。
6。必要条件で絞って十分性を確認する。
7。これも必要性→十分性の確認パターン。
8。類題。上手い値を代入して必要性、その後十分性の確認。
9。必要性だけで良いパターン。
10。対称性の利用。場合分け。
2。(1)三角形の置き換えの基本を覚える。(2)も同様。こちらは正で成り立つ。
3。ヘロンの公式。周の長さが一定の三角形ならば正三角形の時。
4。2と同じ置き換え。
5。(1)コーシー・シュワルツ。(2)1つだけ移項してから辺々掛ける。
6。戻して対等性。
7。1つを除いて全部1にする。
8。微分法で(1)を示せば(2)は自動的に従う。
9。相加≧相乗≧調和。
10。y=xlogx。
1。展開して相加相乗じゃなくてそのままコーシー・シュワルツ。積和と商和。√積+√積/√積和。平方和と積和。
2。コーシー・シュワルツのあとのa 5だけ取り外す。
3。ネスビット。コーシー・シュワルツ。
4。コーシー・シュワルツと相加相乗平均。
5。コーシー・シュワルツの後の両辺を割る。
6。帰納法。場合分け。
2。アーベルの変形法。縦で数えるか横で数えるか。
3。アーベルの変形法。
4。アーベルの変形法。
5。チェビシェフ。
6。(1)前問の不等式に与式を代入しただけ。(2)チェビシェフ。
7。★をそのまま使うだけ。
8。相加相乗平均が示せた。
1。ネズビット。対称性。並べ替え。
2。正規化する。
3。一部分だけ次数を下げる。
4。相加相乗の利用。三角形の成立条件。
5。次数を揃える。同次式にする。展開する前に置き換えに気付く。
6。t倍しても不変。イェンセン。
7。等号成立条件を調べるのは重要。
8。判別式を取る。
9。置き換え。自分で置き換えをしてより難しい問題にしてみれば置き換えの使い方が分かる。
2。軸に関する対称性。
3。加法定理。対称性。
4。対称性。斉次性。微分法。必要条件で絞って十分性を確認する。
5。差分方程式。増加数列。場合分け。
1。基本対称式。
2。2文字ではなく3文字と考えるとうまい。
3。線対称。
4。正六角形の対称性。
5。置き換えが複雑に思えるが和差算。
6。斉次式の考え方。端点に着目する別解もある。
7。コーシー・シュワルツの不等式。
8。dで割って正規化する。
9。分母にΣxiが出てくるように不等式評価する。
2。小数部分の問題。勇気を持って自分で設定する。
3。座標の導入。機械的に上手くいった。
4。複素平面の導入。実数条件。
5。ベクトルで一本道。
1。=kと置く。場合分けに注意。
2。割り算の式を設定する。
3。1の立方根。簡単に求まる。
4。等差数列を想起する。
5。接点のx座標を設定すると良い。
6。座標を設定して機械的に進める。
7。これも座標が良い。ベクトルに見えるが仕方ない。
8。逆に座標のまま行かずにベクトルにすべき問題。
これも難しい発想。
9。複素平面の導入。回転○拡大に強いだけではなく
距離の積にも複素平面は強い。
2。コーシー・シュワルツ。イェンセンからの流れ。x^2をx^3に変えたもの。
3。相加相乗平均。
4。全て取り得る事の説明は難しいので答案にはなりにくい。
5。並べ替え。アーベルの変形を使う。行列式の考え方。帰納法。
1。相加相乗平均・積分。区分求積法。
2。前問と同様。
3。チェビシェフ・積分。
4。コーシー・シュワルツ・積分。
5。n乗平均・積分。
イェンセン・積分。
6。ヘルダー。イェンセン。コーシー・シュワルツの一般形。
4。傾き。分数=kと置いてから処理する。
5。分母を払ってからの処理。
負になる場合もある事に注意。
6。一般形まで辿り着く。
7。和の2乗を展開する。
8。対称性を生かした式変形をする。
1。余弦定理。減少関数。垂線の足。
2。角度の三角不等式。補助の平面を持ち出す。
3。(1)普通に。(2)工夫が必要。
4。球面上の最短距離。大円。角度の三角不等式。
球面上の距離の三角不等式。
5。トレミーの定理。相似。
6。フラウカ。
7。中線定理。平行四辺形。
1。対になるものを自分で作る。それぞれ1個ずつ。
2。自分で不等式を持ち込むので難し目。
3。相加相乗平均。4。次数を揃える。
5。相加相乗平均。6。同次式。相加相乗平均。
7。バランスを取る。
8。相加相乗平均。一捻り。
9。相加相乗平均。一捻り。
10。コーシー・シュワルツ。
11。eの定義式に出てくる数列を想起する。
12。調和平均の拡張。相加平均。左辺-右辺>0。
意味を考えると一発。相加≧相乗≧調和。
13。イェンセン。下に凸。相加相乗平均。
14。周=一定の直方体の体積は立方体に近づくほど大きくなる。大小関係を設定する。平均値の定理。
2。相似拡大。自然流。存在条件。逆手流。
3。基本対称式。実数条件。逆手流。
4。一文字固定法。自然流。文字の存在条件。逆手流。
5。平方完成。包絡線。自然流。逆手流は面倒。
1。文字の存在条件。逆手流。
2。文字の存在条件。固定法。逆手流。
3。回転。読み取る。自然流。
4。反転。逆手流。
5。直線の通過領域。傾きを目で見ながら。自然流。
6。実数aの存在条件。逆手流。
7。一文字固定法。自然流。tの存在条件。逆手流。
8。一文字固定法。自然流。実数aの存在条件。逆手流。
9。ベクトル表示して読み取る。自然流。
10。一文字固定法の自然流では大変。文字の存在条件。解の配置。逆手流。
2。項を作り出す。
3。並べ替え不等式。求めることが出来ない和を不等式評価する。数3まで飛び出る解法もある。
4。部分積分法。積分の三角不等式を使うとsinを無視出来る。
5。格子点の個数。挟み撃ちの原理。個数≒面積に注意する。
1。大小を設定→必要条件で絞る。
2。大小を設定して必要条件で絞る。整数条件。
3。思い切ってザックリ不等式評価する。
4。具体化する。
5。帰納法。挟み撃ちの原理。1≦an≦2では駄目。
1≦an≦1+1/nとかを見つける。
6。10進法で不等式評価する。挟み撃ちの原理。
7。中身と外身との比較。柔軟な思考。見抜く力。
積分の上端か下端で評価する。
8。場合分け→不等式評価で計算しない。
9。Σ→積分→面積で評価する。漸化式の解法。
2。グラフを描く。
3。グラフを描く。反射は折り返して直進させる。
4。グラフを描く。
5。矩形と曲線。Σと∫。厳密に。
6。グラフを描く。ヤングの不等式。単調性。
1。解の配置。定数不完全分離。傾きとしてパラメーターが入る。
2。不等式を図示。直線の傾き。
3。置き換えて図形的意味を与える。楕円と見るのも良い。
4。線対称。共有点の個数。
5。平行線を引いて考える。
6。反射は折り返して直進させる。
7。グラフを描く。不等式を作る。
8。凸性を利用する。(2)上手い値を代入する。辺々加える。
9。長方形の面積と見る。その和。Σと∫。
2。制約の強いところから。
3。カバリエリの原理。
4。積の和を内積と見る。
5。正弦定理。
6。関数的見方。単調増加。
1。余事象。
2。男子同士、女子同士は区別しない。
3。カバリエリの原理。4。カバリエリの原理。
5。ベクトルの利用。内積と見る。
6。共役複素解。解と係数の関係。bの関数と見ると良い。
7。正弦定理に見えてくればラッキー。
8。どちらを動かすのか。動点を逆に固定してみる。
9。ベクトルではなくて1次関数の問題。
一文字固定法ということ。
10。aで微分する。aの恒等式と見る。
2。正領域・負領域の考え方。
3。複素平面上の回転。重心。ド・モアブルの定理。
4。平均値の定理。
近い所は全ての整数値を取る。ダブる場合有り。
遠い所は全て異なる整数値を取る。飛ばす場合有り。
5。tanの2倍角の公式。不要な文字を消去する。
1。強い条件から使う。
2。円の直径である。
3。極表示。帰納法。
4。絶対値に着目する。
5。実際に計算するつもりで行く。等比数列の和の公式の逆。
6。背理法。図示してポイントを掴む。
7。置き換えてしまう。和差算。
8。単位ベクトルの問題。1個移項して両辺を2乗する。
9。直感に頼った議論は禁物。鋭角三角形または直角三角形。背理法。外接円の半径→正弦定理。対称性。
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