文系は1～4,理系は1～6、解答解説もあとで貼る
サービス問題もあるからできる問題から解いてほしい

【1】実数x,y,zが①x<y②x+y+z=3③xyz=1の3条件を満たすとき、xy+yz+zxの最大値を求めよ。

【2】座標平面上に原点O(0,0),A(1,2),B(3,0)を頂点とする三角形OABがある。辺OA、OB上にOC:CA=OD:OB=3:1となるようにそれぞれ点C,Dをとる。線分CD上に点Pをとり、直線BPと辺OAの交点を点Q、直線APと辺OBの交点を点Rとし、線分QRの中点をMとする。
Pが線分CD上を動く時、次の問いに答えよ。
(1)CP:PD=s:1-s(sは0≦s≦1を満たす実数)とするとき、↑OMを↑OAと↑OBを用いて表せ。
(2)Mの軌跡と辺OA.OBに挟まれた部分の面積を求めよ。

【3】xy平面上において、不等式0≦y≦-x^2+nを満たす格子点の個数をa(n)とする。ただしnは自然数とする。
(1)a(3),a(4)を求めよ。
(2)sを自然数とする。a(s^2)を求めよ。
(慶應改題)

【4】長さ8の線分ABを直径とする半円があり、線分AB上に点P,Rを、孤AB上に点Qを、AP=2、PQ=5、RP=RQとなるようにとる。このときRPの長さを求めよ。
(上智改題)

【5】kを実数とする。関数y=f(x)がf'(x)=-k{f(x)}^2、f(0)=1を満たすとき、f(x)を求めよ。

【6】Oを原点とする平面内にn個の点Pk(k/n,0)(k=1,2,…,n)をとる。また、点Q1(0,1)とし、線分PkQk上にQkQk+1:PkQk+1=1/n:1となるように点Qkをとる。△OQkQk+1の面積をSkとする。
(1)Skを求めよ。
(2)lim(n→∞)Σ(n,k=1)Skを求めよ。
(東大改題)