俺が作った数学の問題を解くスレ [無断転載禁止]©2ch.net

**名無しなのに合格** · 2017/09/09(土) 01:58:19.81

まずは小手調べ
https://i.imgur.com/EUcWwYj.jpg

**名無しなのに合格** · 2017/09/09(土) 02:07:20.92

**名無しなのに合格** · 2017/09/09(土) 02:08:08.78

惜しい

**名無しなのに合格** · 2017/09/09(土) 02:15:37.00

**名無しなのに合格** · 2017/09/09(土) 02:21:04.49

正確！これ素数Pでも成り立つことを証明したいんだけど、妥協して17にしたんだ。証明できたら教えちください

**名無しなのに合格** · 2017/09/09(土) 02:23:56.28

そんじゃ次いくよー。
(1)は無視してちょ。
https://i.imgur.com/KKpT0NA.jpg

**名無しなのに合格** · 2017/09/09(土) 02:34:11.98

証明問題は答え書くのだるいからパス
ハイ理とか見ればヒントが得られる

**名無しなのに合格** · 2017/09/09(土) 02:47:09.17

>>6
等しくなるか？
それと2つの部分がどこを指すのかが曖昧
1+3=2か1=2か
どっちも等しくならんと思うが

**名無しなのに合格** · 2017/09/09(土) 02:51:08.98

あ、ごめん。右と左ね

**名無しなのに合格** · 2017/09/09(土) 02:51:46.11

1=3

**名無しなのに合格** · 2017/09/09(土) 02:53:25.96

1と3ならmとCで囲まれた部分だろ
Lは要らない

**名無しなのに合格** · 2017/09/09(土) 02:55:38.33

よね。思った

**名無しなのに合格** · 2017/09/09(土) 02:59:26.10

1の一般化だけどウィルソンの定理から余りはp-1と1しか取り得ない
よって余りの和はp

**名無しなのに合格** · 2017/09/09(土) 03:02:44.27

C-L の式に平行移動を施せば
y = a (x+α)^2 (x-α)^2 （ = f (x) とおく）
と表せる
m に相当する直線は y = f (0) = α^4
この直線と y = f (x) との交点の x 座標は 0，±√2α
よって題意成立

**名無しなのに合格** · 2017/09/09(土) 03:03:34.53

おお！そんな定理が！有難さん

**名無しなのに合格** · 2017/09/09(土) 03:04:15.22

訂正
m に相当する直線は y = f (0) = a*α^4

**名無しなのに合格** · 2017/09/09(土) 03:05:55.73

正解！
皆さんやりますねー。
では次は少し難易度を上げて
https://i.imgur.com/VaYQUHV.jpg

**名無しなのに合格** · 2017/09/09(土) 03:17:48.53

てかウィルソンの定理ってフェルマーの小定理でいけたのかー、もうちょい考えればよかった

**名無しなのに合格** · 2017/09/09(土) 09:20:31.47

誰かー。

**名無しなのに合格** · 2017/09/09(土) 09:24:22.20

頑張ってよぉ。
てか誰も見てないんかな。淋しいぜ

**名無しなのに合格** · 2017/09/09(土) 09:39:49.92

>>17
(1) 0 < 与式 ≦ 1/16

**名無しなのに合格** · 2017/09/09(土) 10:01:57.13

むずいのは解くきしないれす

**名無しなのに合格** · 2017/09/09(土) 10:21:24.14

>>21
いいねぇ、最高だ。
因みに、ｿｳｶｿｳｼﾞｮｳじゃないよね？

**名無しなのに合格** · 2017/09/09(土) 10:27:59.60

>>23
対称性を保った解法は浮かばないので c，d を固定すれば云々とやったが

(2) 0 < 与式 ≦ 1/2

**名無しなのに合格** · 2017/09/09(土) 10:36:41.25

正解！
因みに、4数abcdのうち、3数が等しくなることが最小最大の条件であるのは、4次関数を微分した3次関数の形から明らかだね。

**名無しなのに合格** · 2017/09/09(土) 10:38:27.82

じゃあ、本格的に難しくなるよ
https://i.imgur.com/EykQvMZ.jpg

**名無しなのに合格** · 2017/09/09(土) 10:40:05.77

(2)はただの計算だから、長半径と短半径だけ示してくれればOKとします*

**名無しなのに合格** · 2017/09/09(土) 12:08:38.48

48 名無しなのに合格[] 2017/08/01(火) 23:53:41.20 ID:URrr+XCU
ttp://www.geocities.jp/plus10101/wgoukaku.html
（記事から引用）
高校の進路指導の現場ではどうなのか。首都圏の名門県立高校の進路指導担当者は、こう言う。
「国立大に行く学生は、数パーセントずつ増えています。早慶レベルに受かっても、筑波大や東北大クラス
なら迷わず国立大に行きます」
都立の名門校の担当者も、こう話す。
「やはり不況のせいでしょうか、できれば国公立という生徒は多いです。東大、一橋大、東工大はもちろんのこと、
横浜国大、埼玉大、千葉大などでも、自分の行きたい学部ならば、早慶よりも国公立を選んでいます」

首都圏でさえ国公立主義になってきている

**名無しなのに合格** · 2017/09/09(土) 15:58:03.33

(1)は2πcos(θ/2)?

**名無しなのに合格** · 2017/09/09(土) 16:02:09.93

(2)
長半径√2
短半径√2・cos(θ/2)

**名無しなのに合格** · 2017/09/09(土) 16:15:02.11

(3)
4√2・π/3・cosθ・(cosθ+1)

**名無しなのに合格** · 2017/09/09(土) 16:15:04.55

この手のスレは解答を載せないので解けない問題は解けないままだし解ける問題は解いておしまいだしで何も得られない自己満スレになりがち
解ける問題を解いてもそんな意味ない

**名無しなのに合格** · 2017/09/09(土) 16:38:07.53

ごめん、解答はちゃんとのせるようにするわ

**名無しなのに合格** · 2017/09/09(土) 16:39:41.43

>>29
惜しい

**名無しなのに合格** · 2017/09/09(土) 16:43:30.20

取り敢えず(1)の解答
https://i.imgur.com/U6nTpWZ.jpg

**名無しなのに合格** · 2017/09/09(土) 16:56:22.82

矛盾あったら教えてね。
(2)は(1)のX,YをX+Yiにして、この複素数をcosθ/2+isinθ/2で割り、その実虚をx,yとして方程式をとくと楕円になるよ。長半径は√2cosθ/2、短半径はsinθ/√(1+cosθ)

**名無しなのに合格** · 2017/09/09(土) 17:01:31.91

解答くれるのはありがたいがすぐには上げないでくれ
解く楽しみを多少は味わいたい
答え見なければいいだろって話ではあるが

**名無しなのに合格** · 2017/09/09(土) 17:06:45.31

小手調べの最初の解答のせて

**名無しなのに合格** · 2017/09/09(土) 17:07:27.40

あとabcdのやつも

**名無しなのに合格** · 2017/09/09(土) 17:15:47.59

>>38
分かった。ちょっと待っててね

**名無しなのに合格** · 2017/09/09(土) 17:16:27.30

>>37
19時以降でいい？

**名無しなのに合格** · 2017/09/09(土) 17:24:11.11

>>1
nが素数でも成り立つ証明
まずn＝1のときmod使ってあまり16
で同じくmodでnが任意の正の整数の時、あまりとしてあり得るのは1か16しかない
nが2のとき余りは1,nが3のとき余りは16んでさっき余りでありえるのは1か16しかないっての使って残りの素数も1か16のどっちか
てかこれ別に素数になったところでほとんど解答過程変わらないぞ

**名無しなのに合格** · 2017/09/09(土) 17:27:30.80

>>42連投すまん悪いよく読めてなかったわ17が任意の素数pってことなやり直してくる

**名無しなのに合格** · 2017/09/09(土) 17:35:25.94

小手調べはwilson's theorem

abcdのは下限0は自明で,(1)はAM-GM不等式2回使って
16(abc+bcd+cda+dab)
=16ab(c+d)+16cd(a+b)
<=4(a+b)^2(c+d)+4(c+d)^2(a+b)
=4(a+b)(c+d)(a+b+c+d)
<=(a+b+c+d)^3=1
(2)は(1)とCauchy–Schwarz 不等式つかって終わり

**名無しなのに合格** · 2017/09/09(土) 17:38:16.38

取り敢えず初めの整数問題の解答ね。
一般化については、ウィルソンの定理を使ったらよかったらしいけど、それについては数時間前に解決する事ができました。ありがとさん。それ見た後だと自分の解答が汚く思える。
https://i.imgur.com/wAk5YcQ.jpg

**名無しなのに合格** · 2017/09/09(土) 17:41:24.61

計算ミスしてた
πsinθなったわ

**名無しなのに合格** · 2017/09/09(土) 17:43:19.31

(2)は
16(abc+bcd+cda+dab) <=(a+b+c+d)^3　と
(1,1,1,1)・(a,b,c,d)<=|(1,1,1,1)|*|(a,b,c,d)|をあわせてふにゃってやるとできる

**名無しなのに合格** · 2017/09/09(土) 17:46:35.51

http://iup.2ch-library.com/i/i1848426-1504946677.jpg

**名無しなのに合格** · 2017/09/09(土) 17:46:57.83

自分、コーシーシュワルツとかは碌に使いこなせないので、視覚的アプローチを試みました。
https://i.imgur.com/Q0AWg9K.jpg

**名無しなのに合格** · 2017/09/09(土) 17:52:31.37

>>49
ああ、凄くスマートだ。

**名無しなのに合格** · 2017/09/09(土) 17:53:46.28

あとは積abcd=kを固定してf(x)=k/xとおく
abc+bcd+cda+dab＝f(a)+f(b)+f(c)+f(d)
jensenの定理とAM-GMより
f(a)+f(b)+f(c)+f(d)<=4f((a+b+c+d)/4)=16abcd<=(a+b+c+d)/16=1/16

**名無しなのに合格** · 2017/09/09(土) 17:55:24.81

AM-GMは相加相乗平均の関係のことです

**名無しなのに合格** · 2017/09/09(土) 17:56:15.91

>>45
ああ、すごい変形やわ。勉強になります。ｿｳｶｿｳｼﾞｮｳを二回使うのか。

**名無しなのに合格** · 2017/09/09(土) 18:02:47.92

じゃあ、取りあえず19時になったら(3)の解答出しますね

**名無しなのに合格** · 2017/09/09(土) 18:03:13.84

それとアディショナル問題

**名無しなのに合格** · 2017/09/09(土) 18:11:40.59

>>26
(3) (4πsinθcosθ√(1-cosθ)) / 3

**名無しなのに合格** · 2017/09/09(土) 18:16:54.96

>>57
正解！！お見事です

**名無しなのに合格** · 2017/09/09(土) 18:19:43.37

計算の概略はあとで上げる

**名無しなのに合格** · 2017/09/09(土) 18:20:39.20

なんか東進の東大模試っぽい

**名無しなのに合格** · 2017/09/09(土) 18:23:49.63

あと3問でストックが切れます。いや、予想以上に強いですね。

**名無しなのに合格** · 2017/09/09(土) 18:24:48.37

因みに、問題を作るうえで拘ったのは、ボス感ですね。

**名無しなのに合格** · 2017/09/09(土) 18:30:22.15

待っててもアレなんで、解答あげますね。
https://i.imgur.com/0PN4luf.jpg
https://i.imgur.com/pmUjhG3.jpg

**名無しなのに合格** · 2017/09/09(土) 18:31:20.57

ごめん>>51は嘘解法だった

**名無しなのに合格** · 2017/09/09(土) 18:34:25.57

>>64
そう？でもどちらも答えは合ってますよ。過程に矛盾？

**名無しなのに合格** · 2017/09/09(土) 18:36:20.41

>>64あ、52のことですか？

**名無しなのに合格** · 2017/09/09(土) 18:38:56.86

そもそもジェンソンの定理が初見やった。数オリに出る公式か何かかな？

**名無しなのに合格** · 2017/09/09(土) 18:43:47.66

次はある種面倒な問題です｡よく問題文を読んで題意を正確に読み取ってね。
https://i.imgur.com/ryZRjIb.jpg

**名無しなのに合格** · 2017/09/09(土) 18:48:39.93

解答は正解者が出るか12時になったらあげるよ

**名無しなのに合格** · 2017/09/09(土) 18:48:50.94

なんか微妙にレス番号ズレてるみたいだけど、嘘解法なのはjensen使ったやつ
y=k/xは下に凸だから
f(a)+f(b)+f(c)+f(d)<=4f((a+b+c+d)/4)が間違いで
f(a)+f(b)+f(c)+f(d)>=4f((a+b+c+d)/4)だし、なんか適当に帳尻合わせてる感じがするのでダメっぽい

**名無しなのに合格** · 2017/09/09(土) 18:57:45.04

もう少し追加で書くことがあるがとりあえず上げる
https://light.dotup.org/uploda/light.dotup.org478480.jpg

**名無しなのに合格** · 2017/09/09(土) 19:14:35.24

>>67
問題文に突っ込みを入れたくなる
総受験者数はふつう延べ人数を表すんじゃね
だとしたら各校の受験者数の合計とかぶる
総受験者数が何を表すのかを明確にしていただきたい

**名無しなのに合格** · 2017/09/09(土) 19:33:33.41

そうですね。総受験者数とは、たとえばA_1,A_2,
A_3の大学に対して、aがA_1,A_2、bがA_2,A_3、cがA_1,A_2,A_3を受験するとしたら、総受験者数はa,b,cの3、各校の受験者数の合計は、A_1が2、A_2が3、A_ 3
が2だから2+3+2=7となります

**名無しなのに合格** · 2017/09/09(土) 19:55:56.17

>>72
その例では A_3 と A_1 （の2校だけ）を併願する人がいないようだがそういうのもありなわけ？
こういうイメージで3校ある場合は　X=7，Y=15　なのかとも思ったが

**名無しなのに合格** · 2017/09/09(土) 20:20:24.06

まあ、この例は題意を満たさないね

**名無しなのに合格** · 2017/09/09(土) 20:22:22.95

例をあげるのは非常に面倒なんだけど、この問題の答えは結構スッキリしますよ

**名無しなのに合格** · 2017/09/09(土) 20:37:22.84

>>74
この例とは >>72 と >>73 のどちらを指しているのか
それと
　・ n は 1 ではないだろうからそれを明記しておくべき
　・1校専願の受験生がいないならそれも明記しておくべき

**名無しなのに合格** · 2017/09/09(土) 20:45:19.68

>>78
題意を満たさない例は自分が出したもの。
専願は「いないとは限らない」ただ、
2^(n-k)の条件で拘束されないだけ

**名無しなのに合格** · 2017/09/09(土) 21:55:27.69

>>73 の解釈で式を立てればこうなるが
https://light.dotup.org/uploda/light.dotup.org478530.png
これだと n (≧2) が何であっても 3 の倍数にはならんよな
専願を認めてもその分は引き算で消えるし…

**名無しなのに合格** · 2017/09/09(土) 23:39:03.09

>>80
画像見れないんだが…

**名無しなのに合格** · 2017/09/09(土) 23:59:46.09

>>79
しばらく反応がなかったので消した
必要ならもっぺん見直してから上げるが

**名無しなのに合格** · 2017/09/10(日) 00:00:04.99

では、問題の答えを。3枚目は1枚目の赤線の補足説明になればとおもって。
https://i.imgur.com/pN7Z8Js.jpg
https://i.imgur.com/6GUrILB.jpg
https://i.imgur.com/Neu3IgI.jpg

**名無しなのに合格** · 2017/09/10(日) 00:00:50.25

>>82
ごめん、寝てたんだ。再びあげてくれないか？

**名無しなのに合格** · 2017/09/10(日) 00:03:09.64

あと何の言及もなくA_1とかn()とか使ってるが、n(A_k)は、A_kを受けた人の数ね。

**名無しなのに合格** · 2017/09/10(日) 00:06:50.92

あ、ID替わってるわ。私がスレ主です

**名無しなのに合格** · 2017/09/10(日) 00:08:44.43

https://light.dotup.org/uploda/light.dotup.org478566.png

**名無しなのに合格** · 2017/09/10(日) 00:19:08.77

ある生徒がA_1,A_2,A_3を同時受験したとき、この生徒はA_1,A_2、A_2,A_3、A_3,A_1、A_1A_2,A_3を同時受験した集合に含まれる

**名無しなのに合格** · 2017/09/10(日) 00:20:40.76

もちろん,A_1、A_2、A_3を受験した集合にも含まれる

**名無しなのに合格** · 2017/09/10(日) 00:34:15.40

俺は
特定のk個の大学を選んで併願した（他は受けなかった）受験生の人数が 2^{3-k} 人だった
と解釈した
そのようにも読めなくはないか？

**名無しなのに合格** · 2017/09/10(日) 00:36:04.38

まあ、そうも解釈できるね

**名無しなのに合格** · 2017/09/10(日) 00:37:12.56

確かに問題を読むと言及が不足してるな

**名無しなのに合格** · 2017/09/10(日) 00:39:19.63

ｺﾞﾒﾝﾖ。次の問題は誤解はないと思うから安心してね

**名無しなのに合格** · 2017/09/10(日) 00:40:02.78

包除原理が作問の意図だったのならまた後で解き直すことにするわ

**名無しなのに合格** · 2017/09/10(日) 00:42:43.19

次の問題は知恵袋にもあげたんだけど、まだ今の所正解者がでていない問題。結構難しいよ～
https://i.imgur.com/rdLG0aR.jpg

**名無しなのに合格** · 2017/09/10(日) 00:44:17.13

>>94
うん、すまんね。

**名無しなのに合格** · 2017/09/10(日) 00:45:34.03

解答は明日(今日？)の朝から昼までには作っときます

**名無しなのに合格** · 2017/09/10(日) 00:46:38.70

今日は寝ます。おやすみなさい。

**名無しなのに合格** · 2017/09/10(日) 08:11:07.31

すげー難しいな
みんな東大とか医学部志望？

**名無しなのに合格** · 2017/09/10(日) 09:55:54.26

私は一浪で東大志望です

解答は12時にあげますね

**名無しなのに合格** · 2017/09/10(日) 12:00:12.75

では、解答をあげるね。
https://i.imgur.com/W5yN0y3.jpg
https://i.imgur.com/d4MLxY7.jpg

**名無しなのに合格** · 2017/09/10(日) 12:00:49.35

途中計算は結構省略してます

**名無しなのに合格** · 2017/09/10(日) 12:04:15.55

では、1時間後に最終問題を出します。自分が作ったなかでは最高の傑作です

**名無しなのに合格** · 2017/09/10(日) 13:19:35.37

ラストです。
https://i.imgur.com/6reiraL.jpg

**名無しなのに合格** · 2017/09/10(日) 13:21:54.60

解答は6時から8時の間にあげますね

**名無しなのに合格** · 2017/09/10(日) 16:08:03.99

と、思ったけれど、反応がないので(1)だけ4時半にあげます。(1)をヒントに(2)が解けるかもしれないし、(1)→(2)もわりと発想がいると思うので。

**名無しなのに合格** · 2017/09/10(日) 16:29:17.52

写真の二重丸は、明を表しているのではなく、操作で選んだという意味です
https://i.imgur.com/po4SgKr.jpg
https://i.imgur.com/o7wi2BF.jpg

**名無しなのに合格** · 2017/09/10(日) 16:30:07.78

また8時に(2)の解答あげるよ

**名無しなのに合格** · 2017/09/10(日) 16:31:04.76

てかもう誰も見てないのかな

**名無しなのに合格** · 2017/09/10(日) 16:36:38.54

見てるぞ
夜中に出された問題を朝まで考えて諦めて寝て今起きた

**名無しなのに合格** · 2017/09/10(日) 16:38:09.05

「隣り合う」は縦横方向のみでよろしいか？

**名無しなのに合格** · 2017/09/10(日) 16:42:19.34

ありがとう！そういうことなら10時くらいまで待とうかな。

うん。縦横方向だけで>>108

**名無しなのに合格** · 2017/09/10(日) 16:43:38.91

因みに、夜中の問題の答えは張っときました。見たくなったら見てね。

**名無しなのに合格** · 2017/09/10(日) 16:57:35.47

>>50
今更だけどレス番号ずれてるな。48の人ね

**名無しなのに合格** · 2017/09/10(日) 21:07:27.51

問題の設定がうまくわからんのだが、0を消灯状態、1を光ってる状態として最初は
000
000
000
こんな配置で左上を光らせれば
100
000
000
こうなって、次はどうなんの？
010
100
000
なのか左上は1のままなのか。あと左上が0のままとして、この次は
101
010
100
ってなるの？

**名無しなのに合格** · 2017/09/10(日) 21:42:10.38

０００
０００
０００

で左上をONにしたらいっしょにその右と下もONになって

１１０
１００
０００

になるということだろう

**名無しなのに合格** · 2017/09/10(日) 22:00:17.49

東大に似た問題があったな

**名無しなのに合格** · 2017/09/10(日) 22:02:21.03

>>114
そういうことです

**名無しなのに合格** · 2017/09/10(日) 22:05:16.48

(2)の解答はもう少し待とうかな。11時30分に(2)の答えをあげますね

**名無しなのに合格** · 2017/09/10(日) 23:17:04.22

17本の連立合同式を立てて検討してみたら
角だけをONにするような方法はなさそうに思える
処理量が多くて見直しする気にならんが

**名無しなのに合格** · 2017/09/10(日) 23:26:10.71

流石にその連立合同式解いたらすごすぎ

**名無しなのに合格** · 2017/09/10(日) 23:30:07.84

では、解答をあげますね。二重丸が操作で選ぶ電球です。三枚目は、ff1の時の迷宮という、この問題の元ネタとなったものです。
https://i.imgur.com/DJQ6p4D.jpg
https://i.imgur.com/OvyVkpJ.jpg
https://i.imgur.com/l6upIgF.jpg

**名無しなのに合格** · 2017/09/10(日) 23:33:07.79

以上で問題は終了です。お疲れ様でした。そして、ありがとうごさいました

**名無しなのに合格** · 2017/09/11(月) 06:54:50.12

いわゆるライツアウトか

**名無しなのに合格** · 2017/09/11(月) 20:27:41.26

>>99
1枚目の6行目以降おかしくね？
この行の右辺の指数は k+1 のはず
α=2+√3，β=2-√3 とおくと
q (k，n) = (α^{k+1} - β^{k+1}) / (α^{n+1} - β^{n+1})
q (0，n) = P (x座標の最大値≧n) = (α - β) / (α^{n+1} - β^{n+1})
となるはず
上式は　P (x座標の最大値≧1) = 1/4　となるから妥当だろう

**名無しなのに合格** · 2017/09/12(火) 21:58:55.16

wolframalpha によるとおよそ 0.34106
http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+2sqrt(3)%2F((2%2Bsqrt(3))%5E(n%2B1)-(2-sqrt(3))%5E(n%2B1)),n%3D1+to+infinity
だから>>93 (およそ0.499) は成り立ってはいるが
数値に必然性があるかは再検討が必要だろう

確率の計算だけでもじゅうぶん問題になると思う
破産の確率のアレンジになっていて面白い