9 放物型偏微分方程式
熱伝導方程式変数分離法
u=Cexp(-k^2α^2t)cosα(x-λ)
u=(1/π)∫dt∫exp(-k^2α^2t)cosα(x-λ)fとおくと
u0=(1/π)∫dt∫cosα(x-λ)f
=f(x)(∵フーリエの重積分定理)

dφ/dx=∫-αexp(-k^2α^2t)cosα(x-λ)
=(x-λ)φ/2k^2t。
∴φ=Cexp((x-λ)^2/4k^2t)
C=φ(λ)=√π/2k√t
φ=Cexp((x-λ)^2/4k^2t)√π/2k√t
u=(1/√π)∫f(x+2kξ√t)e^(-ξ^2)dξ。
これは与式を満たす。