【月刊大学への数学】学力コンテスト・宿題54
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学コンや宿題のネタバレ・問題分析等は大数本誌のスレなどではやらず、こちらでお願いします。ネタバレ批判は大数本誌のスレなどでお願いします。結果だけ書き込むのは無能です。過程も書き込んでこそ真のネタバレerです。荒らし・煽りはスルーしましょう。煽りに反応した人も荒らしだということをお忘れなく。偽まげ（にせまげ）とは、学歴コンプレックスを抱え、5ちゃんねるで荒らし行為と個人攻撃を繰り返す親泣かせの不孝者のことである。また、山本大介（やまもとだいすけ）とは、学コンで2等賞を多数獲得している旧帝大医学部志望の浪人生であり、twitterで信頼性のある学コンのネタバレを提供してくれる我々にとって非常に有難い神的な存在である。
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https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account) 8月号の宿題は冷静に考えたら
学コン未満のレベルでは？ >>5
>>6
極限の問題は厳密性が要であり、個人的にはそこそこ難しい方の部類と思います。 >>9
厳密にやるのが難しいような問題ではなかったよ。
成り立ちそうな不等式で簡単なものを予想して証明するだけだ。 >>11
いや、今月の宿題かなり難しくないですか？ >>13
宿題は去年からやっているけど、今回が一番簡単に思えた。
やり方次第で難しくなるのかな。
a_n, b_nについて成り立ちそうな不等式を推測して証明する。その後、それらを使って極限評価に必要な不等式を示す。
これだけでできたけど。 あまりにも難しいと、現役の応募がなくなっちゃうよ？ 8月号の宿題を巡り難易度の評価にばらつきがあるようなので、締切の8月10日を過ぎたらどなたか略解など解説希望します。 後ろに載ってる東進のやつも浪人生の応募アリにしてくれると嬉しい 東大実戦もオープンも理系数学三桁超えは確実だよ！大数と数オリ大好き！ 数オリなんて嫌い
あんなの数学オタクのやるもんでしょ 小学生が入賞するって凄いよな
もう５年生になってるんかな？ 俺はこうやった。
漸化式から、a_nが一定値で押さえられ、かつb_nが十分大きいならa_nが1に収束しそうなことは見て取れる。
少し計算すると、1<=a_n<2, b_n>=1+(n-1)sin1が成り立ちそうなことがわかる。1,2,Π/3,2Π/3の大小関係よりsin1<sin2であることに注意すれば、これらは数学的帰納法で容易に証明できる。
これを使ってa_n<1+f(n)でf(n)が0に収束するような不等式を示すことを考える。漸化式の√が邪魔なので外すことを考えると、√xが上に凸であることにより、正の数aに対し√(1+a)<1+a/2が成り立つ（正しくは平均値の定理から示す）ことが使えそうだと思える。
実際、これを使って、a_n<1+(n-1)/((2^sin1)^(n-1))が示せる。 >>37
まず{a_n}と{b_n}の増減評価を慎重にやる必要があると思います。Excelで実際に計算すれば、a_2=1.5、a_3=1.503782…、a_4=1.366049…となりますが、一旦増えつつも減少に転じることを計算機や三角関数表を用いずに示すのが最初の難所です。
そしてy=xとy=√xのグラフを描きa_nがどのように生成されるかを考察する上で、(a_n)-√（a_n)と0.5^(b_n)との大小評価も踏まえながらa_nが1に近づくことを示すことになります。>>9 が指摘するように収束値は予想できても厳密に議論していくとここ最近の宿題の中で難しめの部類と考えます。 >>41
コメントありがとうございます。
今回の問題は、ご指摘のようなポイントを踏まえなくても解けてしまう、というのが、人によって難易度の評価がばらつく要因ではないかと思います。
>>37の方針で、a_nが1に収束することを厳密に示せます。
a_nの増減の仕方を考慮せずとも、不等式 1<=a_n<=1+(n-1)/((2^sin1)^(n-1))が成り立つことさえ示せば十分なわけですが、これは数学的帰納法で簡単に証明できます。 この問題は、>>37に述べた簡単で粗い3つの不等式を用いることで解けてしまう、そのようにうまく作られた問題だということでしょう。 今月の宿題、発想は全部難しくないけど一個ずつ構築するとなるとやや難しくなる点。あと極限の予想が少ししづらい点。まだ8月なので数三になれてない人もいる点から、体感難易度に差が出てるのかもね。 そのまま値を追っていくと複雑になるような場合でも、簡単な不等式で評価することで突破できる場合は結構ある。
そのような不等式の威力を感じられる問題でもあると思う。 宿題って数オリ並みに難しいよね
現役には解けないよね a_k < a_k+1 <…と減少（→1）していく様子をy=xとy=√xのグラフを用いて図示すると、y=√xは上に凸であり{b_n}は単調増加であることから、
0.5^(b_k) + (√a_k - √a_k+1) > 0.5^(b_k+1)
が成立。これよりa_k+1 < a_k+2と減少すること、そして0.5^b_nはいくらでも小さくなることから、a_nはグラフの交点である(1,1)に限りなく近づくことが分かります。 スレッド違いかもしれないが、同じ東京出版の高校への数学に掲載されている高数オリンピック（※大数の宿題に相当）も解き応えある問題が多いです。
最新の2021年9月号は立体図形がテーマですが、共通部分がどのようになるのかイメージしづらくこれもいつもより難問。 >>52
雨やんだら、立ち読みするわ。
B5に書いてポストイン。暇つぶし。 なんで待てないの？
カルシウム足りないんじゃないの？ >>63
東大数学50年の軌跡・入試数学の掌握・考え抜く数学3冊・数オリ問題集・宿題・ハイレベル理系数学・その他大学入試(旧帝大、東工大、医科歯科、慶應医学部、千葉大…などなど)の過去問集・東大模試、京大模試、東工大模試の過去問あたりかな
高校数学も極めようと思えばいくらでも極められるからね
ある程度満足したら大学の数学や物理を学ぶといいよ
受験数学や競技数学からは得られないような独特な知的快感が大学以降の勉強からは得られる。 大学数学の勉強って問題を解くというより写経が主だよね >>67
そうだね
数オリとかとは違う面白さがあるよ
どちらが上とかどちらが悪とかはないけど
まあどちらも面白いよねと言う話 大学数学は高校数学以上に暗記だよね
定理定理定理証明証明証明の延々の繰り返しだし >>74
数オリしかねえ
数オリやるくらい暇な奴いるのかな まあいつまでも受験数学なんかに固執せずに
大学入って恋愛やサークルやバイトをしようよ
さっさと次のステージへ進もうぜ 【9月号宿題の問題】
数列｛f_n｝(nは整数)は、
f_1=f_2=1, f_{n+2}=f_{n+1}+f_n (nは整数)
をみたしている。なお、n=<0に対しても
f_n=f_{n+2}-f_{n+1}
によって順次定義されている。
このとき、任意の正の整数A, Bの組に対して、正の整数nと相異なる整数a_1, …… ,a_nが存在して、
A=f_{a_1}+f_{a_2}+……+f_{a_n}
B= f_{{a_1}-1}+f_{{a_2}-1}+……+f_{{a_n}-1}
が成り立つことを示せ。例えば、A=2, B=2のとき、n=2, a_1=3, a_2=0とすればよい。 学コンは図とかがあって上手く伝わらないと思います。簡単に言っとくと
1. 確率
2. 平面図形
3. 微積
4. 関数
5. 整数
6. 求積(数Ⅲ)
って感じです。 宿題は応募97通、正解88通です。レポートとして初等幾何の解法、座標を設定する解法が紹介されています。 9月の宿題むずかしい。昨日丸一日考えて全く糸口が掴めなかった。
フィボナッチ数の勉強にはなるが。 宿題易しくなってきてるとか言ってる人いたけど、相変わらず難しいじゃんね？ 大学数学って面白いものなのでしょうか？
記号ばかりで高校数学とはまるで別物のように感じますが
離散にするか理1にするか迷ってます >>95
学力的にいけるなら絶対離散行っとけ
まずは駒場でしっかり勉強して自分に大学数学や大学物理の適性があるかどうか(つまり金や女や安定や贅沢を全て捨ててまで自分の人生を数学や物理に捧げたいと思えるかどうか)をしっかり見抜け。猶予は一年半。一年半のうちにしっかり努力して見抜こう。あと駒場ではたくさん実験とかもあるから、実験に向いてるかどうかもちゃんと見抜いたほうがいい。実験が楽しいと思えるなら理学部工学部の実験系に行っても何とかなるんじゃないかな。
駒場でしっかり努力して勉強したけど、いまいち自分の人生を犠牲にしてでも奉仕したいと思えるような学問が見つからないなら医学部行っとけ。テキトーに自分の適性見抜かずに医学部以外に進学するとマジで後悔するから。医学部入っとけばまず病むことはない。金も女も名誉も社会的地位も保証される。医学部の勉強や医者の仕事はしんどくてつまらないものだけど、それでも金とか女とか得られるものがあるから何とか精神は崩壊しない。「医学部つまらんけどまあモテるし金も稼げるしいいや」って思える。
変に厨二病拗らせて、何も努力したわけでもないのに自分の性格とか適性とか才能を考えずに数学科物理学科に行くと本当に後悔するよ。勉強つまらないし就活の役にも立たないことを何年も勉強しないといけなくなるからね。そして言っておくけど理学部工学部に行くと、マスコミ金融コンサルに行かない限り医者には年収もモテも社会的地位も安定度もかなり敗北すると言うことを忘れずにね。
君が自分の適性を見抜いて賢明な判断を下すことを祈ります ちなみに受験数学が得意なことと受験数学が好きなことは、大学以降の数学に向いてることと何の相関性もないし学者としての適性があるかどうかには何の関係もないからね
何の才能も適性もないなら大人しく医学部行っとくのが吉や
まあ数学科や物理学科卒業しても普通に就職はできるけど、一般就職においては何の有利性もないということは認識した方がいい
金と女と名誉と地位が欲しいなら医学部一択や 数学科はやめた方がいいね
大学数学なんて東大生でも大半が挫折するくらい難しいし
高校数学のパズルゲームみたいなものじゃなくて哲学のようだし、数学者にならないのなら離散のがお薦め >>99
世の中の数学科の人間の9割が受験数学が好きだからという理由だけで数学科に行きますからね。あれ本当良くない選択だと思います。ちゃんとある程度大学以降の数学に触れてから数学科に行くべき。何も考えずに数学科に行くと死ぬ。何の才能も適性も知性もないし、向いてるかどうかを見抜く努力もせず数学科に行って精神崩壊してる人たくさんいますからね。東大はやはり駒場できちんと自分の性格や才能や向き不向きを見抜く時間があって素晴らしいと思います。東大の理系のうち、大学以降の理系の学問や実験に嫌気がさして、就職しやすい法学部や経済学部に行く人何人も見ました。 戸田アレクシ哲は離散から経済学者だけど、異質だよね ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
