【月刊大学への数学】学力コンテスト・宿題31

**大学への名無しさん** · 2018/05/20(日) 01:44:51.97

★次スレは、>>980 を踏んだ人が立ててください

学コンや宿題のネタバレ・問題分析等は大数本誌のスレなどではやらず、こちらでお願いします。
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★☆☆【月刊大学への数学】学力コンテスト・宿題30
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**大学への名無しさん** · 2018/05/20(日) 02:41:06.67

乙

**大学への名無しさん** · 2018/05/20(日) 12:51:41.85

乙

**大学への名無しさん** · 2018/05/20(日) 17:22:09.70

乙

**大学への名無しさん** · 2018/05/20(日) 22:15:27.14

まだ届かないー

**大学への名無しさん** · 2018/05/21(月) 07:10:32.31

宿題どんな感じ？

**大学への名無しさん** · 2018/05/22(火) 04:31:34.51

あげ

**大学への名無しさん** · 2018/05/23(水) 17:41:46.41

まだ寺西さんいるやん

**大学への名無しさん** · 2018/05/25(金) 06:20:28.29

真数条件より
2x^2-x-3a>0,x-a>0…①

このとき
log[4](2x^2-x-3a)=log[2](x-a)を式変形して
2x^2-x-3a=(x-a)^2…②

②が①の範囲で解を1つのみ持てばよく
これは、2x^2-x-3a=(x-a)^2がx>aの範囲の解を1つのみ持つことと同値

②⇔x^2-(1-2a)x-a^2-3a=0…③
③の左辺をf(x)とおく

(1)③がx>aで重解をもつとき
③の判別式D=(1-2a)^2-4(-a^2-3a)=0かつf(x)の軸(1-2a)/2>a
⇔8a^2+8a+1=0かつa<1/4
∴a=(-2±√2)/4

(2)③が異なる2つの解をもち、1つの解のみがx>aの範囲にあるとき
『f(a)<0』または『f(a)=0かつf(x)の軸(1-2a)/2>a』
⇔『2a^2-4a<0』または『2a^2-4a=0かつa<1/4』
⇔『0<a<2』または『a=0』
∴0≦a＜2

よって(1)(2)より
a=(-2±√2)/4，0≦a＜2

**大学への名無しさん** · 2018/05/25(金) 06:55:44.06

scの方をチェックしまくりのスレ主が
scのヒントを得てやっと解けて投下した
そんなタイミングの投稿だな

**大学への名無しさん** · 2018/05/25(金) 20:30:47.18

円CとL1との交点P,Qのx座標は
x^2+y^2=1にy=ax-bを代入して
x^2+(ax-b)^2=1
(a^2+1)x-2abx+b^2-1=0
x={ab±√(a^2-b^2+1)}/(a^2+1)
ただし、円CとL1が2点で交わることからa^2-b^2+1>0

p={ab+√(a^2-b^2+1)}/(a^2+1)
q={ab-√(a^2-b^2+1)}/(a^2+1)
とおくと
P(p,ap-b),Q(q,aq-b)とおけ
L2はL1とy軸について対称だから
R(-q,aq-b),S(-p,ap-b)とおける

四角形PQRSはPS//QRの台形だから
S[b](a)
=(1/2)(2p+2q){(ap-b)-(aq-b)}
=a(p+q)(p-q)
=a{2ab/(a^2+1)}{2√(a^2-b^2+1)/(a^2+1)}
=4a^2･b√(a^2-b^2+1)/(a^2+1)^2

次に
logS[b](a)=log(4b)+log(a^2)+(1/2)log(a^2-b^2+1)-2log(a^2+1)
から
f(t)=log(4b)+logt+(1/2)log(t-b^2+1)-2log(t+1)　（t>b^2-1）
とおくと
f'(t)=(1/t)+{1/2(t-b^2+1)}-{2/(t+1)}
=-{t^2-(2b^2+1)t+2b^2-2}/{2t(t+1)(t-b^2+1)}

**大学への名無しさん** · 2018/05/25(金) 20:32:51.86

>>11
ここで、tの2次方程式t^2-(2b^2+1)t+2b^2-2=0の解は
t={2b^2+1±√(4b^4-4b^2+9)}/2

{2b^2+1+√(4b^4-4b^2+9)}/2>(2b^2+1)/2>b^2-1

また、b>1より√(4b^4-4b^2+9)=√{4b^2(b^2-1)+9}>√9=3から
{2b^2+1-√(4b^4-4b^2+9)}/2<(2b^2+1-3)/2=b^2-1

よって、f(t)はt={2b^2+1+√(4b^4-4b^2+9)}/2のとき極大かつ最大

∴α=√[{2b^2+1+√(4b^4-4b^2+9)}/2]

**大学への名無しさん** · 2018/05/25(金) 21:06:10.55

>>12
(1)
α/b
=(1/b)･√[{2b^2+1+√(4b^4-4b^2+9)}/2]
=√[{2+(1/b^2)+√(4-(4/b^2)+(9/b^4))}/2]

よって
lim[b→∞]α/b
=√[{2+0+√(4-0+0)}/2]
=√2

(2)
M
=4α^2･b√(α^2-b^2+1)/(α^2+1)^2
=4(α/b)^2･√{(α/b)^2-1+(1/b)^2}/{(α/b)^2+(1/b)^2}^2

よって
lim[b→∞]M
=4･2･√(2-1+0)/(2+0)^2
=2

**大学への名無しさん** · 2018/05/26(土) 05:01:54.07

(1)
p,qを実数として↑AO=p↑b+q↑cとおく

△ABCは1辺が1の正三角形だから
|↑p|=|↑q|=1,↑p･↑q=1･1･cos60ﾟ=1/2を利用して

|↑OD|^2
=|↑AD-↑AO|^2
=|↑AD|^2-2↑AD･↑AO+|↑AO|^2
=t^2-2t↑b･(p↑b+q↑c)+|↑AO|^2
=t^2-2tp-tq+|↑AO|^2

|↑OC|^2
=|↑AC-↑AO|^2
=|↑AC|^2-2↑AC･↑AO+|↑AO|^2
=1-2↑c･(p↑b+q↑c)+|↑AO|^2
=1-p-2q+|↑AO|^2

|↑AO|^2=|↑OD|^2=|↑OC|^2より，t≠0とから
関係式：2p+q=t,p+2q=1を得る
これを解いて，p=(2t-1)/3,q=(-t+2)/3

∴↑AO={(2t-1)/3}↑b+{(-t+2)/3}↑c

(2)未確認
t≠2/3で↑AP={(9t-6)/7}↑b+(-3t+9)/7}↑c

**大学への名無しさん** · 2018/05/26(土) 20:21:54.30

学コンまだ返ってこん

**大学への名無しさん** · 2018/05/26(土) 23:12:20.97

U(n)=(2/π){(π/2n)/sin(π/2n)}^2かな