【テーマ別攻略大作戦3-1-3】
④ ... which they have themselves corrected.
「have＋O＋p.p.ではなくthey have corrected [mistakes (先行詞)] にSと同格の―selfが挿入されたもの」と説明されています。
have＋O＋p.p.なら、先行詞に当たるSやOに欠落が出ないことになり関係代名詞として変ですし、普通はS have them corrected という形になりますので、言うまでもないですが。

⑧While entertaining me Jill began to ...:
接続詞＋―ing は、伊藤本では主節のSとbe動詞を補って考える、と一貫して説明されます。
ところが別の説明の仕方もあって、"分詞構文の意味の曖昧さを防ぐためにwhen / while / although / after / before / once などの接続詞を付け加えることがあり、
それがこの形"といったものです。
主に河合塾系の先生方の書いた本に多いような気がします。
色々な考え方を知っていた方が豊かになるので、ここで紹介しておきます。

・"The Blue-Tail Fly":
YouTubeで実際の曲を聴くことが出来ます。traditional songs の常ですが、沢山のちょっとずつ違った歌詞のものが存在します。
出版物でなく、audienceの口伝で広がってゆくせいでしょうね。
Wikipediaに説明もあります。minstrel showとか、色々知らない文化があるものですね。

⑩He spoke only to show his pleasure; in his shoes, I might have done the same.
might have doneと仮定法が使われているので、例によって条件節に相当する箇所を探すとin his shoesとなります。
前述の『英文法解説』（§177）でいうと"前置詞句その他"に当たります。