この問題はずっと昔から起きている。
問題の教科書は天下の数研だよ。
参考:
http://suseum.jp/gq/question/2216?all_entries=true
http://suseum.jp/gq/question/984?all_entries=true

そもそも軌跡が2つの集合の対応関係という風に捉えられれば
「パラメータ（媒介変数）の消去」⇔「パラメータ（媒介変数）の存在条件を考える」⇔「パラメータ（媒介変数）が存在する必要十分条件を求める」
ということで逆像法（逆手流）の発想に行き着くはず。
ただ、現行の数学の学習指導要領には写像が無く「像」という用語が使えないため
教科書などで実質的には逆像法を行っていたとしても何らかの名称を与えることができない。
そのため教科書を無視しなければ軌跡は2つの集合の対応関係が構造としてあることが上手く指導できない。
さらに媒介変数表示が数学3で習うため媒介変数表示も数学2においては使えない場合がある。（媒介変数をつなぎの文字と呼ぶが意味がわからない）
これだけでどれだけ今の数学の学習指導要領が狂っているかわかると思う。
与条件を変形する前に除外すべき条件（除外点）を考慮した上で与条件をすべて同値変形すれば、逆の確認はほとんど必要ない。
ただ、ごくごくまれにあまりにも神経質な作問者が
題意を満たすような与条件の存在が保証されていない座標平面上の軌跡の問題で採点官も神経質であった場合に
一気に必要十分で、つまり与条件の変形がすべて同値変形であっても逆の確認が必要な場合があるようだ。