受サロ数学模試を作成したから解いてくれ

**アドセンスクリックお願いします** · 2021/01/29(金) 01:26:49.18

制限時間150分
レベルは上位旧帝大くらいを想定
解けた問題からでもレスもらえるとうれしい
https://i.imgur.com/Lu6AVBj.jpg

**名無しなのに合格** · 2021/01/29(金) 01:34:38.05

受サロごときに一生懸命でなんかきもい

**名無しなのに合格** · 2021/01/29(金) 02:00:46.36

明日解いてみるか

**名無しなのに合格** · 2021/01/29(金) 02:08:16.20

3はm=nの時全部m>nのときは
n=1のときm=1,3,9
n=2のときm=2,9

**名無しなのに合格** · 2021/01/29(金) 02:36:04.66

[1]は2014千葉大理系第2問と一致してるね
https://www.densu.jp/chiba/14chibaspass.pdf

**名無しなのに合格** · 2021/01/29(金) 08:06:49.33

>>2
何事にも一所懸命にならない君は恐らく低学歴だな

**名無しなのに合格** · 2021/01/29(金) 08:43:48.35

>>4
あってるはやいね
どうやって解いた？

>>5
意図的に引用したの5番の名工大のやつだけのつもりだったけど被ってたか

**名無しなのに合格** · 2021/01/29(金) 10:49:47.77

>>75番いつぞやの神戸の問題に似てると思ったら名工大だったか

**名無しなのに合格** · 2021/01/29(金) 11:09:02.91

めちゃくちゃ解きたいけど解いてる暇がねぇ
受験終わったら解くわ

**名無しなのに合格** · 2021/01/29(金) 12:14:53.33

>>2
こういうやつが一番キモい

**名無しなのに合格** · 2021/01/29(金) 12:53:23.89

>>7
m(mn+3)-n(m^2+3)=3(m-n)よりmn+3は3(m-n)の約数でどっちも正だから3(m-n)≧mn+3
変形すると(m+3)(n-3)≦-12　よってnは1か2
n=1のとき(m^2+3)÷(m+3)=(m-3)+12/(m+3)
m=3,9が成立
n=2のときm(2m+3)-2(m^2+3)=3m-6　よって3m-6は2m+3の倍数 3(2m+3)-2(3m-6)=21　よって2m+3は21の約数　m=2,9で成立

**名無しなのに合格** · 2021/01/29(金) 12:59:55.63

他の問題はまた夜時間とれたらやってみたい

**名無しなのに合格** · 2021/01/29(金) 16:30:04.15

>>1
2の(2)は2000個かな?

**名無しなのに合格** · 2021/01/29(金) 16:53:19.54

4あらすじ
Pが2本の対角線の交点
よって平行四辺形

**名無しなのに合格** · 2021/01/29(金) 21:20:49.43

>>8
有名問題だし他も出してるかも
いい問題だから一回やっといた方がいいね

>>11
簡潔でいいね
m^2+3-(mn+3)=m(m-n)がmn+3の倍数で
mとmn+3の最大公約数が1か3だとユークリッドの互除法わかるところから絞ったわ
そのやり方の方が賢いと思う

>>13
あってるよ、これも一度経験あるかが大事な問題だね

>>14
用意してる解答対角線一切出てこないわ
対角線の交点と示すのも難しいしそこから平行四辺形に持ってくのも難しくない？

**名無しなのに合格** · 2021/01/29(金) 21:24:27.62

>>15
そのやり方ってのは>>11のやり方ってことね

**名無しなのに合格** · 2021/01/29(金) 23:32:21.71

5は二分のπ　二分のπ　1　かなあ

**名無しなのに合格** · 2021/01/30(土) 10:51:40.12

>>17
正解、最後にsin x/xの極限が出てくるのがおしゃれよね

**名無しなのに合格** · 2021/01/30(土) 21:12:32.12

解かれている中では1番易しい5番の解答
一発書きだから厳密性とかスムーズな論証になってないとか問題あるのは許してね
https://i.imgur.com/K0g0pCp.jpg
https://i.imgur.com/EiG6J0y.jpg

現在ノータッチなのは1番4番6番

**名無しなのに合格** · 2021/01/31(日) 10:39:17.17

2問目は接線考えて長方形の面積比較かな
ちゃんとやってへんけど

**名無しなのに合格** · 2021/01/31(日) 11:30:30.37

4もう少し詳しく

四角形を□ABCD、Pを通る任意の直線をｌとする
Pが□ABCDの外周上に無いのは明らか

Pが△ABDの内部（辺は含まず）にあるすると
直線lと辺AB、ADの交点をそれぞれE、Fとし直線ｌを動かすと
△ADEの面積が一定ではないから（※1）矛盾
よってPは△ABDの内部にはない
同様にPは△BCDにもないから、Pは線分BD上にある
さらに同様に考えるとPは線分AC上にある

ACとBDの交点をFとする
△ABC=△CDAなのでFはBDの中点
△BCD=△DABなのでFはACの中点

よって2本の対角線がそれぞれの中点で交わるから□ABCDは平行四辺形

（※1）は省略

**名無しなのに合格** · 2021/01/31(日) 11:40:41.09

2番の解答
https://i.imgur.com/wPzdIIH.jpg

難易度：C
ガウス記号と場合の数の問題
解いたことあるかないかが大きく左右される問題で一度解く価値あり
数を数えることの意味を考え直すことが大事
初見で解けたなら相当自信もっていいと思う
ガウスと場合の数の絡んだこの問題の類題は1995年早稲田大学、1998年東京大学、2013年名古屋大学
1番はf(x)=x^(1/3)として平均値の定理でも解けるけどワンパターンで面白くないので
x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)の因数分解を使って解いた

5番
難易度：B~C
（1）の微分して0と定数の関係を気づくのが意外と難しいかも
あとは(3)の積分実行がちょっと迷う部分
ほかの部分はかなり素直なので解きやすい問題だと思う
この問題のfは実はtanの逆関数になっている
tanの逆関数はMARCH国立以上頻出なので絶対何問か触れておいたほうがいい

**名無しなのに合格** · 2021/01/31(日) 11:56:06.48

>>21
△ADEの面積が一定だと何が矛盾なのかちょっとわからない

**名無しなのに合格** · 2021/01/31(日) 12:08:48.58

一定ではないから矛盾やで
一定なら矛盾じゃない

**名無しなのに合格** · 2021/01/31(日) 12:12:24.59

>>24
ごめん打ち間違えた
一定じゃないならなぜ矛盾？

**名無しなのに合格** · 2021/01/31(日) 12:18:14.06

訂正
ACとBDの交点がPである
△ABC=△CDAなのでPはBDの中点
△BCD=△DABなのでPはACの中点

>>25
直線ｌで□ABCDが△AEFとその他に分割されるから
△AEF=□ABCD/2(一定)

**名無しなのに合格** · 2021/01/31(日) 12:32:04.30

>>26
>>21では△ADFって書いてあるけど一定なのは△AEFのこと？
ちなみにそれだとしてもlを動かしたら面積一定じゃなくなる理由がわからない
lが回転してAFが長くなってもAEが短くなって面積自体は変わらない可能性あるよね？

**名無しなのに合格** · 2021/01/31(日) 14:36:05.08

もうガバガバや、すまんな

>△ADFって書いてあるけど一定なのは△AEF
>>21では△ADEって書いたけど△AEFに訂正や
△AEF=□ABCD/2(一定)じゃないといけないのに
実際はそうでもないってことや

>△AEFの面積一定じゃなくなる理由がわからない
>lが回転してAFが長くなってもAEが短くなって面積自体は変わらない可能性あるよね？
結論から言えば可能性ないんだけど
クソダサ証明しかできんかったから証明書くのを省略したw
省略ってのはそういう意味や

**名無しなのに合格** · 2021/01/31(日) 14:41:00.65

>>28
その省略した部分の証明が一番この問題で難しいところだから
省略してほしくはなかったなぁ
夜家に着いた頃には俺も4の解答作ろうかと思うけど

**名無しなのに合格** · 2021/01/31(日) 14:49:57.50

省略した証明書いて欲しかったんかw

お見せするほどのものじゃないから
>>14の「対角線の交点と示すのも難しいしそこから平行四辺形に持ってくのも難しくない？」
だけ補足したんやが

**名無しなのに合格** · 2021/01/31(日) 15:04:14.81

>>30
俺が証明省略した部分示すなら
中間値の定理とかゴリゴリに出てくるから他の人が示したの知りたかった

**名無しなのに合格** · 2021/01/31(日) 15:12:50.90

今書くから待っててや

**名無しなのに合格** · 2021/01/31(日) 15:39:05.90

△ABDと内部の点（外周含まず）Pにおいて
ｌがDを通るときのABとｌの交点G
ｌがBを通るときのADとｌの交点H
APとBDの交点をI
lがBDに平行なときのAB、ADとの交点をJ、K

△AGD=△ABH=k△ABD (0<k<1)とすると
G、HはAB、ADををk : (1-k)に内分するから
チェバの定理を使ってBI : ID = 1 : 1
メネラウスの定理を使ってAP : PI : AI = 2k : 1-k : 1+k
△AJK=(4k^2/(k^2+2k+1))△ABD

△AGD=△AJKであるためには
ｋ=4k^2/(k^2+2k+1)すなわちk=1
これは0<k<1と矛盾する

**名無しなのに合格** · 2021/01/31(日) 15:54:00.62

俺も省略部分だけ書いたけどそっちのほうがきれいだね
https://i.imgur.com/vb2dGSC.jpg

**名無しなのに合格** · 2021/01/31(日) 23:40:53.43

解答ありがとう
なんか高度だな

**名無しなのに合格** · 2021/02/01(月) 08:13:19.99

これで解けてないのは1と6かな？

**名無しなのに合格** · 2021/02/01(月) 10:08:41.52

>>1います？全然関係ないことですまないんだけど
カンマ(,)が全部半角なのは意図的に統一してるの？

**名無しなのに合格** · 2021/02/01(月) 16:53:57.13

大問6（3）
すべてのｎに対してa[n]=0
a[n]=±(-1)^1±i*(-1)^1（複合任意）

**名無しなのに合格** · 2021/02/01(月) 17:06:36.97

訂正
a[n]=±(-1)^n±i*(-1)^n（複合任意）

**名無しなのに合格** · 2021/02/01(月) 18:51:53.20

>>31
なんかTeX教えてくれた人（というか教授）が
数学の文章では句読点は,と.で,のあとは半角スペース1個
.のあとは半角スペース2個って教えてくれたんよね

>>33
近いけど違う
例えばあるNに対してa[N]=1+iとするとa[n+1]が2条件を同時に満たすように存在できなくなる
あと求めるのは項としてあり得る数じゃなくて数列自体を求める

**名無しなのに合格** · 2021/02/01(月) 19:00:40.49

あ、数列自体は求めているのか
でもz=-1-iはz^2-iz+1+i=0の解にはなってないかな
あとa[n+1]じゃなくてa[N+1]だったすまん

**名無しなのに合格** · 2021/02/01(月) 20:00:06.06

ワイは諦めた
名大のアレを元ネタにかなりレベル上げた問題かな

**名無しなのに合格** · 2021/02/01(月) 20:01:39.79

名大のアレ知ってるとは中々
レベル上がってるかはわかんないけどやることは近いね

**名無しなのに合格** · 2021/02/01(月) 23:05:21.27

6の解答
解答書くの疲れて最後雑になっちゃった
3枚目さて、の後は一般のnじゃなくてあるnに読み替えてくれ
https://imgur.com/K6UeFcH.jpg
https://imgur.com/DLVPGu7.jpg
https://imgur.com/n2MXTPc.jpg

6番
難易度：D
文句なしのD問題、名古屋大学2016年の4番の複素数版である。なお、名大のこの問題もDレベルである
名古屋大学の問題は絶対値に気づけばよいが、本問は絶対値の2乗まで持ってこないと整数が出てこない
複素係数上での解と係数の関係、割り算と大小関係、無限降下法、具体的に手を動かした実験など
とにかくやることが多い総合問題になっている
(1)からやさしくなく、(2)、(3)も相当難しい、初見で解けたならおみごと
ちなみに問題の集合はガウス整数環と呼ばれていて非常に面白い性質を持つので、受験終わったら調べてみるといいかも
なお、本問ではガウスの整数を知っていてもそれほど役に立たない（|a|=1となる複素数がすぐわかるかくらい）

4番
難易度：C~D
手の付け方が難しいの一言に尽きる
京大好きそうな問題な気がするけど、ほかの大学では平面幾何が出にくいかも
平面幾何は意外と出題されると正答率が低い気がする

**名無しなのに合格** · 2021/02/02(火) 11:41:50.30

(1)
2番目に条件から
a[n] = -a[n+1]*(a[n+1]-i)
よって|a[n]| = |a[n+1]|*|a[n+1]-i|　（ア）

1番目に条件から
|a[n]| , |a[n+1]| , |a[n+1]-i|の捕りうる値は
小さい順に0　1　√2　・・・　（イ）

|a[n]| = 1のすると（ア）（イ）から
|a[n+1]| = |a[n+1]-i| = 1
これを解くと　a[n+1] = ±√3/2+i/2だが
これは1番目に条件に反する

よってすべてのnに対して
|a[n]| ≠ 1

**名無しなのに合格** · 2021/02/02(火) 11:50:56.20

あるkについて
|a[ｋ]| = 1のすると（ア）（イ）から
|a[ｋ+1]| = |a[k+1]-i| = 1
これを解くと　a[k+1] = ±√3/2+i/2だが
これは1番目に条件に反する

こう書いたほうが良いのかな

**名無しなのに合格** · 2021/02/02(火) 19:41:06.97

きちんと書くの大変だから方針だけ
(2)
【α(k)=0となるｋがあるとき】
ｆ[k](z)=0がiを解にもつからおｋ

【α(k)=0となるｋがないとき】
|β(ｎ)|=1または|β(ｎ)|>1
|β(ｎ)|>1となるｎが無限個あったら
ｎが超大きいとき0<|α(n)|<1になっちゃってアカンから
|β(ｎ)|>1となるｎは有限個、|β(ｎ)|=1となるｎは無限個ある

**名無しなのに合格** · 2021/02/02(火) 20:27:05.71

(3)
|β(ｋ+1)|=1かつ|β(ｋ)|=1なるk（≧2）が存在し、そのとき
α(ｋ+1)+β(ｋ+1)=i
α(ｋ+1)*β(ｋ+1)=α(ｋ)
α(ｋ)+β(ｋ)=i ★
これらをすべて満たすα(ｋ)を求める
以下模範解答どおりだから略

ワイ的には
★を考えられなかったことで難問化してもうた

**名無しなのに合格** · 2021/02/02(火) 22:17:16.50

>>48
お疲れ様、(1)は複素平面上の円の交点で求めたのか面白い
(2)は0の議論いるね、書き忘れてた
(3)は何か条件見落とすと超大変ね

**名無しなのに合格** · 2021/02/03(水) 00:00:08.65

>>2
ガイジ

**名無しなのに合格** · 2021/02/03(水) 01:29:41.55

どの問題が解かれてるかわかりにくいせいで1番の解答でないと思ったので載せる
https://imgur.com/baTQFz4.jpg

難易度：B
多分標準的、長さより角度を変数と置いたほうが解きやすくなることが何かと多い
千葉大の問題も多分角度を変数としてるのかな？多分違う解き方してるのでわからん

これで全部終わったかな、お疲れ様でした
近いうちに受サロ数学文系編作りたいと思ってるのでよかったら解きに来てください
難易度は随分と下がるけれども、ある程度受験の対策になると思います

**名無しなのに合格** · 2021/02/04(木) 22:19:58.33

ちな名大のアレのワイの解答

すべての自然数nに対して解と係数の関係により
-a[n]=a[n+1]+b[n+1]
b[n]=a[n+1]*b[n+1]
|b[n]|=|a[n+1]|*|b[n+1]|

(1)
【すべてのnに対しb[n]=0のとき】
b[n]=b[n+1]・・・=0

【ある整数kに対しb[k]≠0のとき】
|b[k]|=|a[k+1]|*|b[k+1]|=|a[k+2]|*|b[k+2]|・・・なので
kより大きいnに対し|a[ｎ]|≧1　|b[ｎ]|≧1

よって|b[k]|≧|b[k+1]|≧|b[k+2]|・・・≧1
|b[k]|個以上≧を>に交換できないので
|b[m]|=|b[m+1]|=|b[m+2]|・・・なるmが存在する

**名無しなのに合格** · 2021/02/04(木) 22:38:01.16

(2)その1
ｆ[n](x)=x^2+a[n]x+b[n]とおく

【すべてのnに対しb[n]=0のとき】
ｆ[1]=x^2+a[1]x ｆ[1]=0を解くとx=0 -a[1]
よってa[2]=-a[1] b[2]=0

ｆ[2]=x^2+a[2]x ｆ[2]=0を解くとx=0 a[1]
よってa[3]=a[1] b[3]=0

これを繰り返すことにより
(a[ｎ],b[n]) = (-a[1]*(-1)^n,0)

**名無しなのに合格** · 2021/02/04(木) 23:19:10.94

(2)その2
【ある整数kに対しb[k]≠0のとき】
(1)より|b[m-1]|=|b[m]|=|b[m+1]|・・・≧1なるmが存在し

解と係数の関係から
|a[m]|=|a[m+1]|=1
a[m]+a[m+1]=-b[m+1]≠0
これを両方満たすのは
(a[m].a[m+1])=(1,1)と(-1,-1)のみである

　【(a[m].a[m+1])=(1,1)のとき】
b[m]=-2 b[m+1]=-2なので
ｆ[m+1](x)=ｆ[m](x)=x^2+x-2
m+1から1まで順次計算していくと
ｆ[m+1|=ｆ[m+1|=・・・=ｆ[1]=x^2+x-2

次にnを1から大きくしていくf(n)=0の解のうち1=|a[n+1]| 2=|b[n+1]|に注意すると
すべてのnに対しｆ[n]=x^2+x-2

よって (a[m].a[m+1]) = (1,-2)

**名無しなのに合格** · 2021/02/04(木) 23:29:02.39

(2)その3
　　【(a[m].a[m+1])=(-1,-1)のとき】
ｆ[m+1](x)=x^2-x+2となるが
ｆ[m+1](x)=0は実数解を持たないので
ここで求める数列はない

【結論】
(a[ｎ],b[n]) = (a*(-1)^n,0) (1,-2)
aは任意