この問題を自力で解いたやつ数学の天才

**名無しなのに合格** · 2018/08/19(日) 21:54:43.37

ある点を中心に円を描く。その点を中心としてそれよりも大きな円を描く。
以下の図のように大円上の点AがAからA’まで回転したとき、小円の点BはBからB’まで回転するので
AA’＝BB’　である。このことは小円の円周と大円の円周の長さが等しいということになり、矛盾となる。
これはどのように説明できるか。
図
https://dual.nikkei.co.jp/atcl/column/17/102300014/102600012/17_11_ishiura_02.jpg

**名無しなのに合格** · 2018/08/19(日) 22:00:46.52

Bの円は回転で進んだ距離以外に横に進む速度が加わるからやろ
答案にするのは難しいけど感覚では

**名無しなのに合格** · 2018/08/19(日) 22:04:36.45

そもそも円Bは転がってない
回りながら進んだだけ

**名無しなのに合格** · 2018/08/19(日) 22:07:56.85

>>2
物理学的説明もできんのかな。
一応このパラドックスは古代ギリシャ人が考えたもんで
ガリレオのおっさんがまあ数学的な論証を与えたらしい
>>3
いや円は転がしてくださいよ

**名無しなのに合格** · 2018/08/19(日) 22:14:29.51

もしかしてヒントはおっぱい？

**名無しなのに合格** · 2018/08/19(日) 22:14:40.51

大円、小円の半径をR, r (R>r)とする
Aが滑らずに転がったとすると
(弧AA’)=(線分AA’)=(線分BB’)=Rθ
このとき小円が回転した回数から(弧BB’)=rθ
ここでR>rであるから小円Aは滑りながら転がった

**名無しなのに合格** · 2018/08/19(日) 22:15:56.07

接触し続けたからって同じ長さとは限らないよねっていう

**名無しなのに合格** · 2018/08/19(日) 22:16:37.35

ごめんθは回転角ね

**名無しなのに合格** · 2018/08/19(日) 22:18:35.08

度々すまん回転した回数じゃなくて回転角

**名無しなのに合格** · 2018/08/19(日) 22:19:10.91

滑ったのはBだ
日本語すら危うくてうんち

**名無しなのに合格** · 2018/08/19(日) 22:23:44.57

>>6
数弱なのでよく分からん
一応、前提として
大円は回転しながら周上の点がAA’上をすべて触れてAからA’にいたるらしい

**名無しなのに合格** · 2018/08/19(日) 22:25:06.59

>>6-10
ああまあたぶんそういうことらしい

**名無しなのに合格** · 2018/08/19(日) 22:28:48.83

>>11
弧AA’=線分AA’となるように転がったなら、大円はAA’上を滑らずに転がったって言うのよ
ゴムのタイヤを転がしたようなもん

でも円がずっと接触してたからって滑らずに転がったとは限らんでしょ、極端な話だと氷の上でブレーキ踏んだらほとんど回転しないまま進む
それが小円と線分BB’の関係

**名無しなのに合格** · 2018/08/19(日) 22:35:17.45

なるほど
サイクロイドとか物理にうとくてすまんかった
http://hooktail.sub.jp/mathInPhys/cycloid/

弧AA'＝AA'やね
まあ提案された考えによるとAA'はBB'と等しくならないって考えらしい

**名無しなのに合格** · 2018/08/19(日) 22:42:42.70

>>1
回転数が違う

**名無しなのに合格** · 2018/08/19(日) 22:43:59.33

>>14
いやAA'とBB’は同じか
すまん

**名無しなのに合格** · 2018/08/19(日) 22:47:07.13

>>6とか>>15の考えでもいんだろか
回転数は同じような気がすんだけど...このへんはえらいひとにきいて

ネタバレすると
この問題アリストテレスの輪ってやつで
ガリレオは多角形の回転からはじめてその極限考えて論じたらしい

同じように同心にある多角形（ガリレオは正六角形を設定）の回転を考えると、BB’に相当するところにはスキマができる
この極限を考えると
BB’には小円によって触れられる部分と触れられない空白が交互にならんでて、
無限小の空白の無限個分によってBB’が小円の周長より長くなることが可能なんだと

**名無しなのに合格** · 2018/08/19(日) 23:09:07.39

まあ
無限小の空白の無限個分によってBB’が小円の周長より長くなることが可能
ってことから察するに
大円と小円の差の部分が無限小の空白の無限個分に相当するから
大円の半径をR、小円の半径をｒとしたら２π（R-r）ってことかな
πは無理数だけどπ∊R（実数）なんで無限和が実数値になるってことですかね

**名無しなのに合格** · 2018/08/20(月) 08:11:22.94

大円、小円共スリップをしない状態なら動かない。
移動距離が大円の直径×πなら小円の方がスリップしているし、
小円×πなら大円のほうがスリップしている。

**名無しなのに合格** · 2018/08/20(月) 10:11:10.43

物理的なことはよくわからないんだけど有限多角形の回転を考えると小さいほうの多角形が跳躍することは明確にわかるよ
これをスリップっていうならスリップしてるんだとおもう
問題としては、弧AA’=線分AA’となるように転がった、つまり大円はAA’上を滑らずに転がったことが前提

以下の図で
http://www7a.biglobe.ne.jp/~number/real.html
正方形が一回転すると線分BBは正方形の周長になる
このとき小さな正方形も一回転するけど線分FF上は周長より長くなってる（周長＋スペース）
小さな正方形の一辺は１／４回転で大きな正方形とのへんの差だけ跳躍し、一回転すると
FF＝小正方形の周長＋（大正方形の周長－小正方形の周長）

以下の図で
http://www.bun.kyoto-u.ac.jp/philosophy_and_history_of_science/phs-archives/newsletters/newslet_39.html
大きい正六角形が一回転するとBSは正六角形の周長になる
小さな正六角形も一回転するけど直線OT上には周長より長くなってる（周長＋スペース）
小さい正六角形の辺は，２つの六角形の辺の差だけ跳躍する，すなわち辺ＩＫはＯＰに移るために，ＩＯだけ跳躍する
一回転すると点Iは小正六角形の周長＋大正六角形と小六角形の周長の差だけ先の点に移動

ガリレオはこの極限を考えたらしいんだが正しいかどうかはよくわからん
まあ類推すると
大円の１回転　AA'＝周長
小円の１回転　BB'＝周長＋（大円の周長－小円の周長）
てとこだと思う
上記の解説だと「円の場合には，小円はもはや跳躍せず，その円周上の各点はＣＥ上を滑っていき」
って書いてるけど自分としては無限に「跳躍した」って捉えて納得してる感じ

**名無しなのに合格** · 2018/08/20(月) 12:15:39.64

>>15
回転数は同じだよ

**名無しなのに合格** · 2018/08/20(月) 13:29:54.56

>>20　（訂正）
サイクロイドの解説みて気づいたんだが
http://hooktail.sub.jp/mathInPhys/cycloid/
弧AA’は線分AA’にはならんようだな
大円の半径をRとしたら弧AA'は８Rで線分AA'は２πRなので
弧AA'>線分AA'か