国立大学入試っぽい数学の問題作ったから解いてくれ

**アドセンスクリックお願いします** · 2018/02/16(金) 11:59:44.42

難関旧帝大レベルかなとおもってる、自信のある人向け
京大の問題を意識して作った、普通に大学入試で出題されてそこから引用した問題もあり

文系（120分）：https://i.imgur.com/2ikAqfU.png
理系(150分)：https://i.imgur.com/0UsWWSW.png

**名無しなのに合格** · 2018/02/16(金) 12:07:15.46

点の名前が斜体なのは日本的でない

**名無しなのに合格** · 2018/02/16(金) 12:21:10.82

>>2
TeXめんどくさかったから許して

**名無しなのに合格** · 2018/02/16(金) 12:27:36.56

いっちは予備校講師目指してる大学生？
問題ってどうやって作るんや
既視感ある問題もあるけど

**名無しなのに合格** · 2018/02/16(金) 12:35:23.02

>>4
どっちかって言うと教職かな
未だに大数とか読むから面白い発想あったら取り入れたり
大学数学を高校内容で落としこんでみたりって感じかな

**名無しなのに合格** · 2018/02/16(金) 17:13:03.20

一回あげ
個人的な取り組みやすさを書いておくと
文系は1=4≦2≦3=5
理系は1<5≦2<3=4=6

**名無しなのに合格** · 2018/02/16(金) 17:13:55.31

取り組みやすさじゃなくて右につれて難しくなる

**名無しなのに合格** · 2018/02/16(金) 17:55:43.38

5はm,n=3,5/5,3

**名無しなのに合格** · 2018/02/16(金) 18:04:04.14

3は38かな？

**名無しなのに合格** · 2018/02/16(金) 18:28:39.91

文系1よくわからんけど
S=1（A=1）

**名無しなのに合格** · 2018/02/16(金) 20:14:26.64

答え貼ってくれ

**名無しなのに合格** · 2018/02/16(金) 20:32:51.58

理系６
Kを0以上の整数として3k+2

**名無しなのに合格** · 2018/02/16(金) 20:50:05.11

理系４
四角形ABCDとする
Pを通って、辺AB、CD両方と交わる直線を２本引く
Pを頂点とする三角形が２つできる
題意が成り立つ→その２つ三角形の面積が等しい→ABとCDが平行
BCとDAも同様に

**名無しなのに合格** · 2018/02/16(金) 22:02:44.12

>>8,>>12
あってる過程をききたい

>>9
ちょっと計算し直す

>>10
ちがう

>>13
BC,DAが平行の等脚台形だとその理論でABとCDが平行と言えないと思う

**名無しなのに合格** · 2018/02/16(金) 22:14:08.37

>>14
理系６　ｚ^n、-z-z、z+1、zが全部単位円上にあるからzは例の２点しかないし
理系４　そのとおりだなーワイがバカやった

**名無しなのに合格** · 2018/02/16(金) 22:47:51.38

3の(4)ってf(m)が平方数にならないこととf(m)とq(m)が互に素的なかんじになるの使ったら解ける?

**名無しなのに合格** · 2018/02/16(金) 22:49:54.32

>>14
https://imgur.com/gallery/a4tWM
文系5番

**名無しなのに合格** · 2018/02/16(金) 23:24:00.42

2は33？

**名無しなのに合格** · 2018/02/17(土) 00:20:39.65

5は2log2か

**名無しなのに合格** · 2018/02/17(土) 03:10:19.29

emath に大文字を（イタリックではなく）立体にする caprm環境（或いは \caprm）が用意されている

**名無しなのに合格** · 2018/02/17(土) 04:22:11.16

文系1の答え知りたい

**名無しなのに合格** · 2018/02/17(土) 05:51:37.63

文系1
a=3-2√2のとき最小値(23-16√2)/3
ぽい

**名無しなのに合格** · 2018/02/17(土) 08:16:46.32

ありがとう

**名無しなのに合格** · 2018/02/17(土) 08:25:33.60

>>15
理系6そのまま形式で行けるのか
俺は極形式派だったわ

**名無しなのに合格** · 2018/02/17(土) 09:39:16.07

>>15
その発想はなかったな
z^nの絶対値が1なのをフル活用か
ルーマニアの数オリの問題

>>16
そのとおり
ほぼ答えだね

>>17
文字つぶれてて読めないところあるけど
不等式で絞りこむ発想は同じだから合ってると思う
俺は左辺の式が余弦定理の形になってるのから絞る解答を作った

>>18
同じ答え、a_n/a_(n+1)と1の大小比較だよね？

>>19,>>22
合ってるよー
理系のは山口大の、文系のは滋賀大の過去問
山口大のは誘導外したのと着けたのがあるけど

**名無しなのに合格** · 2018/02/17(土) 14:17:28.98

>>25
>>16 >>18 あってたかよかった
18はそうだね　式は50Cn×100Cnになったけどあってるよね?

**名無しなのに合格** · 2018/02/17(土) 18:00:27.30

>>26
あってるよー

**名無しなのに合格** · 2018/02/17(土) 20:57:15.58

>>27 よかった
面白いからまた作って

**名無しなのに合格** · 2018/02/17(土) 23:08:37.36

>>28
ありがとう
文4とか理4も結構面白いとおもうからぜひ

**名無しなのに合格** · 2018/02/17(土) 23:11:42.98

理４ギブアップだけど
四角形ABCDとする
PはAC上かつBD上（ここが示せない）→PはACの中点かつBDの中点→平行四辺形！
こんな感じなのかなあ

**名無しなのに合格** · 2018/02/18(日) 00:58:07.02

>>30
四角形をABCDとしてABとCDが平行でないと仮定する
・点Pは明らかに四角形ABCDの中にある
・Pを通る直線でADとBCと交わる直線を取り、AD、BCとの交点をF、GとしたときFP=GPを示す
（ADとBCと交わる直線が存在することは、ABとCDが平行でないからABとCDを延長すると交点Eをもち、EPを通る直線を考えればよい）

っていう方針で考えていくといいとおもう

**名無しなのに合格** · 2018/02/18(日) 01:18:50.35

こんな面白そうなスレ見つけてしまったが一時過ぎだし寝なければ明日落ちてなかったらやる

**名無しなのに合格** · 2018/02/18(日) 09:12:22.72

>>31
∠EABの二等分線を引いて二等辺三角形を作ってFP=GP
Pの性質からくる三角形の面積が等しいのと合わせて合同な三角形→平行って考えたけどこれ合ってる？

**名無しなのに合格** · 2018/02/18(日) 09:15:30.30

でもこれPが角の二等分線上にあることの証明を別でしないといけないんじゃね？となって寝ちゃったわ
そもそも33でいいのか知らんけど

**名無しなのに合格** · 2018/02/18(日) 09:16:16.91

もしかして四角形の重心関係ある？俺はもう無理だ有識者がんばってくれ

**名無しなのに合格** · 2018/02/18(日) 11:22:51.85

>>35
FP>GPと仮定する
Pを軸に直線をほんのすこしだけ回転させて
その直線とAD、BCの交点をF'、G'とするとF'P>G'P
(中間値の定理をもちだせばほんの少しという表現を使わず確実に言える)
対頂角が等しいことと正弦定理を用いれば△FPF'>△GPG'
しかし条件よりこの三角形の面積は等しいはずだから矛盾よりFP=GP
そのあとの議論はそのとおり

**名無しなのに合格** · 2018/02/18(日) 15:32:12.15

>>36
おおありがとう、いい線は行ってたみたいでよかった

**名無しなのに合格** · 2018/02/19(月) 01:36:56.01

くっそ雑に出たやつの答え

文１

原点におけるy=-(x^2-x)の接線の方程式は微分などを用いてy=xであるとわかる
図を書けば0<a≦1はすぐわかる
0<a<1のとき,x>0の範囲で2つの交点を持つ、その交点は
x>0のとき
|x^2-x|=ax
x(|x-1|-a)=0
x=1+a,1-a

よって、
S
=∫[0,1-a](-x^2+x-ax)dx+∫[1-a,1](ax+x^2-x)dx+∫[1,1+a](ax-x^2+x)dx
=(-a^3+9a^2-3a+1)/6

a=1のとき
S=∫[0,1]x^2dx+∫[1,2](2x-x^2)dx=1

増減表を書いて答えを求めるとa=3-2√2のとき最小

そのときのSの値は
S
=(-a^3+9a^2-3a+1)/6
=((a^2-6a+1)(-a+3)+16a-2)/6
=(0+16(3-2√2)-2)/6
=(23-16√2)/3

**名無しなのに合格** · 2018/02/19(月) 01:48:15.11

文５

AB=m,AC=n,∠BAC=120°である三角形を考えると余弦定理より
m^2+n^2+mn=BC^2がなりたつ
よって,BC=mn-8 or 8-mn

BC=8-mnのとき
8-mn>0より
m≦nとするとmの候補はm=1,2
実験すると解はない
同様にしてm>nのときも解はない

BC=mn-8のとき
三角形の成立条件より
m+n>mn-8
(m-1)(n-1)<10
m≦nとするとmの候補はm=1,2,3,4
実験するとm=3のときn=5となり条件を満たす
m>nのときも同様にしてm=5,n=3のとき条件を満たす

以上より(m,n)=(3,5),(5,3)

**名無しなのに合格** · 2018/02/19(月) 01:59:56.95

理6
条件を満たすこととnを3で割った余りが2であることは同値である
左向きはz=ω(1の原始三乗根)のとき成り立つので良い
右向きについてεを与式を満たしかつ|ε|=1なる複素数とすると
ε=cos x + i sin x の形におき直すことができる(x:実数)
するとド・モアブルの定理より
ε^n+ε+1
=(cos nx +cos x +1)+i(sin nx +sin x)=0
実部虚部を比較して移行,平方すると
(sin nx)^2=(sin x)^2
(cos nx)^2=(cos x)^2+2cos x+1
縦に加えてcos x=-1/2
これよりε^3=1,ε^2+ε+1=0
つまり,
ε^n+ε+1=ε^(n-2)=0
となり、n≡2(mod 3)が示される

**名無しなのに合格** · 2018/02/19(月) 02:03:57.06

すまん最後の変形がおかしい
ε^2+ε+1=0
ε^n+ε+1=0
からε^2=ε^nを作ってε^3=1を使って次数を落としていって結論だな

**名無しなのに合格** · 2018/02/19(月) 02:20:44.07

理５

(1)式をgとしたとき3回微分してg'',g',gの単調増加性から調べる
(2)
接線の方程式は絶対値に注意して微分して求めるとy=-x+e^a-1
接点以外での交点のx座標をbとするとCとlのy座標は一致するので
e^b-e^a=-b+e^a-1
図を書けばa→∞のときb→∞のなので
e^(a-b)=(1/2)(1+b/e^b+1/e^b)→1/2　(a→∞)
またこれより、lim[a→∞](b-a)=log2

S
=∫[0,a](-x+e^a-1-e^a+e^x)dx+∫[a,b](-x+e^a-1-e^x+e^a)dx
=2(b-a)e^a-e^b+2e^a-(b^2+2b+2)/2

よって
lim[a→∞]S/e^a
=2(b-a)-e^(b-a)+2-(1/2)(e^(b-a))(b^2+2b+2)/(e^b)
=2log2-2+2-0=2log2

**名無しなのに合格** · 2018/02/19(月) 02:40:39.23

難し目だよな？
医学部志望なのに3完しか出来んかった。
この時期に焦らせないでマジで…

**名無しなのに合格** · 2018/02/19(月) 02:44:42.26

50×100の格子状の道を考える
左下を出発点として文字列に対してaが出たら右に、bが出たら上に進むと考える
abがn回現れるということは→の直後に↑が出るところがちょうどn箇所あるということである
それは左端一本を除いた縦線からn本選ぶ方法と上端一本を除いた横線からn本選ぶ方法に等しい
(縦線と横線が左下からぶつかったところで→↑に進むと考える
例：https://imgur.com/sEGifuN.png aが3個、bが6個、n=2)
従ってa_n=C(50,n)×C(100,n)である
a_(n+1)/a_nと1の大小を比較することにより
a_1<a_2<…<a_33>a_34>…>a_50となり求めるnは33である

**名無しなのに合格** · 2018/02/19(月) 02:46:18.33

>>43
自信ある人向けだから難しめに作ったつもり
医学部とはすごいな、がんばって！

**名無しなのに合格** · 2018/02/19(月) 02:51:06.92

>>43
ちなみに解けた問題を教えてほしい

**名無しなのに合格** · 2018/02/19(月) 03:14:42.29

理１
ベクトル記号は略

∠BOC=90°よりOB・OC=0
与式を移行して平方して
|OD-3OA|^2=|2OB+√6OC|^2
10-6OD・OA=10+4√6OB・OC
よって、OD・OA= 0
つまり、∠DOA=90°
このとき、∠AOB=180°-∠COD
AC・BD
=(OC-OA)・(OD-OB)
=OD・OC+OB・OA
=cos∠COD + cos(180°-∠COD)
=0
すなわち直交する

**名無しなのに合格** · 2018/02/19(月) 03:23:47.44

文４

(1)OG=(OA+OB+OC)/3

(2)
OX=OA+OB+OCとする
AX・BC
=(OX-OA)・(OB-OC)
=(OB+OC)・(OB-OC)
=|OB|^2-|OC|^2
=0 (O:外心)
よってAX⊥BC
同様にBX⊥CA、CX⊥ABとなりこのように定めたXは垂心となる

(3)
(1)、(2)より、任意の三角形においてO、G、Hは同一直線上にあり、OG:OH=1:3が成り立つ

角度を書き込んでいくことにより、
∠BIC=∠BOC=∠BHC=120°を得る
したがってB、I、O、H、Cは同一円周上にある
条件よりこの円周上にGがある

従ってO、G、Hは同一円周上かつ同一直線上にあるのでこのうち2点は一致する
しかも上の比の条件を満たすにはすべてが一致しないといけない

GとHが一致するのでAG(AH)は辺BCの垂直二等分線となるのでAB=AC
同様にBC=BAとなり、AB=BC=CA　すなわち正三角形

**名無しなのに合格** · 2018/02/19(月) 12:56:36.87

>>39,>>48
面白い
ただ不等号の右辺10じゃなくて9だとおもう
9<10だから10でも間違ってはないけれども

**名無しなのに合格** · 2018/02/19(月) 18:46:08.41

おつ

**名無しなのに合格** · 2018/02/21(水) 04:26:38.88

もうスレ主おらんのかな

**名無しなのに合格** · 2018/02/21(水) 10:39:39.10

一応見てるよ

**名無しなのに合格** · 2018/02/21(水) 12:39:39.41

もうスレ主おらんのかな

**名無しなのに合格** · 2018/02/21(水) 12:57:49.90

まだ解かれてない問題って残ってる？

**名無しなのに合格** · 2018/02/21(水) 13:16:33.79

>>54
答え全部あげたって言おうと思ったら
まだ文の2が書いてないな
正答が来なかったという意味でなら文24理14

**名無しなのに合格** · 2018/02/21(水) 15:45:34.88

文系2今更だが解いた
https://imgur.com/gallery/OxRSj

**名無しなのに合格** · 2018/02/21(水) 16:28:06.61

>>56
最後から二行目までは同じ
二重根号はずせるなんて思いもしなかったんだが
https://i.imgur.com/ZVkuOLo.jpg

**名無しなのに合格** · 2018/02/21(水) 16:38:11.42

>>57
すまん根号つけるの忘れてた

**名無しなのに合格** · 2018/02/21(水) 16:52:02.54

理1は47じゃダメなのか結構納得したんだが

**名無しなのに合格** · 2018/02/21(水) 17:37:21.33

>>59
>>47は出題者の俺が書いた解答だよ

**名無しなのに合格** · 2018/02/21(水) 17:37:56.60

講演会で機内モードにしまくってるからid変わりまくってすまん

**名無しなのに合格** · 2018/02/21(水) 22:16:47.19

なんで見た事あるような問題作ってドヤ顔できるんだろう？
不思議なんだけど…ｗ

**名無しなのに合格** · 2018/02/21(水) 23:40:46.19

>>62
こいつ草

**名無しなのに合格** · 2018/02/21(水) 23:44:35.99

>>62
>>1ではないがおそらくまだどこの大学でも出題されていない自作問題があるけど需要ある？

**名無しなのに合格** · 2018/02/21(水) 23:51:06.24

>>64
ある

**名無しなのに合格** · 2018/02/21(水) 23:58:59.89

>>65
1年以上前からよそのスレでも出しているがまだ誰も解けてないやつ
https://light.dotup.org/uploda/light.dotup.org511681.jpg

**名無しなのに合格** · 2018/02/22(木) 00:18:22.57

>>62
文1理56以外全部オリジナルなんだがなぁ、、、
まあここが一番解答率高いから出してるところある

>>66
いつもの人やね
何回かお会いしてるけど今回も難しそう

**名無しなのに合格** · 2018/02/22(木) 01:09:29.37

>>66
むずい

**名無しなのに合格** · 2018/02/22(木) 04:09:24.29

>>1の、いかにも上位駅弁や地方旧帝あたりで出そうです感がハンパないねｗ

東大とか京大になると、逆に問題文がもっとシンプルになったりする

**名無しなのに合格** · 2018/02/22(木) 09:07:37.43

>>69
わかる、地底感ぷんぷんしてる
正直1はかなり作るの上手いと思うわ

**名無しなのに合格** · 2018/02/22(木) 09:26:43.17

>>69-70
ありがとう
むしろ京大の問題目指してたつもりだから
もう少しシンプルになるよう頑張る

**名無しなのに合格** · 2018/02/22(木) 10:10:01.50

>>71
理系の3番の小問を削ると京大らしくなりそう

**名無しなのに合格** · 2018/02/22(木) 12:01:26.57

>>72
これ削るとさすがに解答厳しそうかなぁ
むかしm^3-2m+1が平方数となるmをすべて求めよって出したことあるから
そっちに差し替えた方がよかったかもね

**名無しなのに合格** · 2018/02/22(木) 13:50:04.53

>>69 >>72
君たちイメージだけでもの言ってない?
地底京大の問題解いたことある?

**名無しなのに合格** · 2018/02/22(木) 14:20:30.14

なんか荒れそうだから落としてくれた方がいいかな
>>66さん解きたい人だけがんばってくださいな

**名無しなのに合格** · 2018/02/22(木) 17:20:09.47

>>73
それ京大で出たの？

**名無しなのに合格** · 2018/02/22(木) 20:28:08.39

>>1
整数問題つまんね
こんなんコンピュータで作れそうな問題じゃん
どうせ答えから作った問題でしょ
必要条件によって解が狭められるんでしょ？
いい加減、もっと驚くような仕掛けがある問題作れないもんかね

やっぱ個人が作った問題って答えから作りました感が凄いな
2011年の阪大理系レベルの数学作れないもんかね？

**名無しなのに合格** · 2018/02/22(木) 21:31:40.57

>>76
昔俺が出した問題って意味で

>>77
p+2=qかつ3^p+3がqで割りきれ、3^q+3がpで割りきれるような
素数組(p,q)を求めよとかどうよ

**名無しなのに合格** · 2018/02/23(金) 09:05:00.23

もっかい上げてくれ