合同式が苦手な俺にこの問題を教えてほしい

**名無しなのに合格** · 2017/11/27(月) 23:19:59.14

【nは自然数。n、n+2、n+4が全て素数となるのはn=3の時だけであることを示せ。】

n=1、3、偶数はどうでもいいんだけど
模範解答が

n=2k+3とする。
( i )k≡0(mod3)
(ii) k≡1(mod3)
(iii)k≡2(mod3)
不適ですね～

になってる
3を法とした理由を教えてほしい
というかどうやって「3を法にすればええやん！」って気付けるのこれ

**名無しなのに合格** · 2017/11/27(月) 23:23:38.04

nに小さい順に素数を代入して小手調べしていくと、n、n+2、n+4のいずれかが3の倍数になるんじゃないかって検討をつけられる

**名無しなのに合格** · 2017/11/27(月) 23:23:55.30

そういうもん因数分解出来なきゃ法で分けるという基本方針
法はなんでもいいんだけど多くの場合3,5で上手くいく
これはそういうもの
京大のp^q+q^pが素数なる素数p,qの問題も同じ
因数分解できないんだから何かで割れることを示すには合同式しかない
この場合も法が3だったはず

**名無しなのに合格** · 2017/11/27(月) 23:26:36.22

まずmod7とかだとガバガバなので(n≡1の時点で絞れない)
mod4の値を考えるとn≡1のときにガバる(順にmod4の値が1,3,1)
ならもう少しキツキツにしようとmod3を考える
n≡0,1,2のときいずれもmod3の値が１つ以上0になるからこれが適当

**名無しなのに合格** · 2017/11/27(月) 23:27:45.82

２，３，４，…と小さい順に試してうまくいったのを使う

**名無しなのに合格** · 2017/11/27(月) 23:32:00.13

>>2
必ず3の倍が入っていると気付く
↓
3の倍数は素数でない
↓
3を法として0になったらアウトだな

って感じ？

**名無しなのに合格** · 2017/11/27(月) 23:36:56.90

>>3-5
とりあえずそれっぽく法とればいいのか...そんなもんなのか....

**名無しなのに合格** · 2017/11/27(月) 23:42:53.96

困ったら3
ガチで

**名無しなのに合格** · 2017/11/27(月) 23:43:14.23

文系だけどMOD捨てたわ

**名無しなのに合格** · 2017/11/27(月) 23:43:33.24

俺は基本的に6を使う。(これはかなり使える定石)。

6m・・・6の倍数
6m+1・・・素数の可能性有り[1]
6m+2・・・2の倍数
6m+3・・・3の倍数
6m+4・・・2の倍数
6m-1・・・素数の可能性有り[2]

n=2は不適。n=3は満たす。
5以上の素数は上記[1][2]の形で表される。
n=6m+1の時, n+2=6m+3が不適。
n=6m-1の時, n+4=6m+3が不適。
よってn≧5の素数で条件を満たすものは存在しない(証明終)。

**名無しなのに合格** · 2017/11/27(月) 23:45:45.19

道筋立てて考えようとしてたら頭こんがらがってきたわ...
なんでkで合同式立てたんや
nとn+2とn+4で3を法にした合同式作るんじゃなかったっけ
あああもう！！！！ﾏｱｱｱｱｱｱｱｱｱｱｱｱｱｱｱ！狂ううう！！！

**名無しなのに合格** · 2017/11/27(月) 23:51:50.15

>>8
メモしちゃうから

>>9
俺も合同式使えたら整数楽になるだろうなって思って本格的に始めたら挫折しそうになってる

**名無しなのに合格** · 2017/11/27(月) 23:56:04.60

この思考回路でいいのですか？
どうもkで場合分けって発想に至らない...
まず①②③の表記方法がおかしい気がするけどまぁ...
https://i.imgur.com/dYf0G8U.jpg

**名無しなのに合格** · 2017/11/27(月) 23:58:32.04

>>10
そんな定石があったのか...メモさせて頂く
合同式使うのよりこっちが向いてるのかもしれない

**名無しなのに合格** · 2017/11/27(月) 23:59:57.59

>>10
この考察によれば「素数(初項≧5)の等差数列は公差が6の倍数になることが必要である」ことがわかる。

**名無しなのに合格** · 2017/11/28(火) 00:42:23.04

>>13
結局この流れでkの場合分けにたどり着くのが正しいか気になって寝れない

**名無しなのに合格** · 2017/11/28(火) 00:50:42.11

似た問題：a-b-8とb-c-8が共に素数となるような、素数a, b, cを求めよ。

**名無しなのに合格** · 2017/11/28(火) 01:10:58.24

>>17
これ合同式使えるんですかね...わがんね...

**名無しなのに合格** · 2017/11/28(火) 01:16:04.10

>>17
これ合同式使えるんですかね...わがんね...

**名無しなのに合格** · 2017/11/28(火) 01:40:02.59

素数pを使ってmod pを考えるのは基本
pを小さい順に試すのもありがち(例外としてmod 4 ,mod 9,mod 11も便利)
あとどうしても分からなかったら書き出すのも整数問題の定石
偶数はどうみてもダメで,
3,5,7,[9],11,13,[15],17,19,[21],23,[25],[27],...と書いてみれば3の倍数が現れてしまいダメだということが分かる