自称数強の俺に数学の難問をぶつけて挫けさせるスレ
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プレゼント交換が一回でうまくいく確率。 参加人数は十分に多いものとする。 P_nは求められるけど、極限が難しいです。 取り敢えずP_n=n!Σ(k=0〜n)(-1)^k/2k! (0、0)が中心の半径aの円の内部に(a/2、0)が中心の半径a/2の円が接している。 接点をpとして半径a/2の円が滑らずにaの円内を動くとき、pの軌跡の長さを求めよ 1番分からないです。分かるひと解説よろしくお願い致します。2番解きます。すみません。 (2^n+1)/n^2が自然数になる時のすべてのn 1からn^2までの自然数からn個選んだとき連続整数のない確率をp_nとする。 p_nとそのn→∞での極限を求めよ。 >>14 1と3のみということは予測できますが、その証明ができません。 >>16 数オリのなかでも有名な難問だよ 考えてできるもんじゃない 見落としというより盛大な勘違いですね。どこでミスをしたのかは分からないです 単位円上に相異なる3点を取るとき、それが鋭角三角形となる確率を求めよ。 >>15 検討がつかないとで、次の問題に行きます。全く分かりません >>22 選んだ数を小さいものからa_1,..,a_nとすれば a_1≧1, b_(i+1)=a_(i+1)-a_i≧2 a_n≦n^2 みたいにできる 詳しくは言わないけどそうすると合計n^2個のボールを分けるしきりの問題みたいになる 一辺の長さ1の立方体について立方体の対角線を中心として立方体を回転させたときに現れる立体の体積を求めよ(93東工大、10京大) 開区間 I = (-1,1) で定義された関数 f (x) が次を満たしている x,y ∈ I に対し f (x) + f (y) = f ( (x+y)/(1+xy) ) x = 0 において微分可能で f ’(0) = 1 f (x) を求めよ >>23 なるほど。a_1〜a_2の範囲設定まではいけたのですが、そこからどうもっていくか分かりませんでした。ありがとうございます >>24 絶対計算間違えた…。673√3/81過程は充電がないので少しお待ちください >>25 fが偶関数であることと、f(0)=0ってとこまでしか分かりません 1からn^2までの自然数からn個選んだとき連続整数のない確率をp_nとする。 p_nとそのn→∞での極限を求めよ。 nは2以上の自然数とする。 選んだ数をa_1,...,a_nとする。 a_k∈ℕ, a_1≧1, b_(i+1)=a_(i+1)-a_i≧2(1≦i≦n-1), a_n≦n^2 を満たせばよい。 a_1=b_1とすれば b_k∈ℕ, b_1≧1, b_i≧2(2≦i≦n), Σ[m=1→n]b_m≦n^2 b_1=c_1, (b_i)-1=c_i(2≦i≦n)とすれば c_k∈ℕ, Σ[m=1→n]c_m≦n^2-n+1 を満たせばよい。 このような数列の数だけ条件を満たす選び方がある。 それはn^2-n+1個の横一列のボールの隙間n^2-n個の隙間からn-1個だけ選ぶ組み合わせに等しい。 よって(n^2-n)C(n-1)通り p_n=(n^2-n)C(n-1)/(n^2)Cn n=1では1 求めるべきはp_nではなくnp_nだったので訂正します 1からn^2までの自然数からn個選んだとき連続整数のない確率をp_nとする。 p_nとそのn→∞での極限を求めよ。 nは2以上の自然数とする。 選んだ数をa_1,...,a_nとする。 a_k∈N, a_1≧1, b_(i+1)=a_(i+1)-a_i≧2(1≦i≦n-1), a_n≦n^2 を満たせばよい。 a_1=b_1とすれば b_k∈N, b_1≧1, b_i≧2(2≦i≦n), Σ[m=1→n]b_m≦n^2 b_1=c_1, (b_i)-1=c_i(2≦i≦n)とすれば c_k∈N, Σ[m=1→n]c_m≦n^2-n+1 を満たせばよい。 x_k=c_k-1とすれば x_kは0以上の整数であってその和は(n-1)^2以下 よってn個のしきりと(n-1)^2個のボールを並び替えて左からx_1,x_2,...とする。 (n個のしきりで分けるとn+1個のグループに分かれるが、その一番右側は使わない それによりx_kの和は(n-1)^2以下となる) よってp_n=(n^2-n+1)Cn/(n^2)Cn ここから極限を求める >>34 それって数時間程度で解ける問題じゃない気がします そういえば目的が挫折することだというのを忘れてましたw m^3-2m+1が平方数となる整数mをすべて求めよ 数学の本というより、大学受験数学の問題集になってしまうのですが、ハイ理は結構好きです >>37 もうちょい細かく説明していただけますか?理解できないので。すみません https://i.imgur.com/bWwL3Pg.jpg 東工大2008年 いびつなサイコロがあり、1から6までのそれぞれの目が出る確率が1/6とは限らないとする。このサイコロを 2回ふったとき同じ目が出る確率をPとし、1回目に奇数 、2回目に偶数の目が出る確率をQとする。 (1)P≧1/6であることを示せ。また、等号が成立するた めの必要十分条件を求めよ。 (2)1/4≧Q≧1/2 - (3/2)Pであることを示せ >>45 あのスレにあったやつですよね。さっきから考えてるけど解けません n≧2を考える。 選んだ数字を小さい順に a_1,a_2,...,a_nとすれば、この数列のうち以下の条件をみたすものの数こそが連続整数のない組み合わせの数 a_kは全て自然数でなくてはいけない すなわちa_k∈N a_1≧1でなくてはいけない 数列に連続する整数が表れることはないから、階差数列は2以上の値をとらなくてはならない b_(i+1)=a_(i+1)_a_i≧2 (1≦i≦n-1) a_n≦n^2である a_1=b_1とすれば b_k∈N, b_1≧1, b_i≧2 (2≦i≦n), a_n=Σ[m=1→n]b_m≦n^2 なる数列{b_k}と{a_k}は1対1に対応するから、{b_k}の数を数えてもよい c_1=(b_1)-1, c_i=(b_i)-2 (2≦i≦n)とすれば c_kは0以上の整数 Σ[m=1→n]c_m≦(n-1)^2 となり、同様にこの{c_k}の数を数えてもよい (n-1)^2個のボールとn個のしきりを並び替え、しきりで分けられるボールの数を左からc_1,...,c_nとし、一番右のボールたちは考えない これによりc_kの和は(n-1)^2をこえない よって(n^2-n+1)Cn 全事象は(n^2)Cn通りであったから n=1での成立も確認して p_n=(n^2-n+1)Cn/(n^2)Cn 丁寧に説明して頂き、ありがとうございます。数列をa→b→cと変えたのは、1対1に対応しているからでしたか。なんとなく理解しました。ところで、(n^2-2n+1)Cnじゃないのですか? n^2-2n+1個のボールとn個のしきりを並び替える組み合わせは(n^2-n+1)Cnでしょ? 半径1の球面上に、直径rの円をどの2つも交わらないように5個描く。この時、rの最大値を求めよ。 p_nは積算により表されるから対数をとった極限を考えたいかもしれないが (1/n)Σ[an+b→cn+d]f(k/n) の形に変形できない よって他の方法をとる必要がある n≧2では約分できて (n^2-n)...(n^2-2n+2)  ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ (n^2)......(n^2-n+2) の形で表される 分母分子を見比べると分子はn小さいものを掛け合わせている よってほぼ(n^2-n)/n^2=(1-(1/n))をn回掛けたものとみなせるかもしれない これは正当化できるだろうか? n≧2では p_nは(k-n)/kをk=n^2-n+2からn^2にわたり掛け合わせたものとなる (k-n)/k=1-(n/k)はkについて単調増加するから {(n^2-2n+2)/(n^2-n+2)}^(n-1)≦p_n かつ p_n≦{(n^2-n)/(n^2)}^(n-1) である >>50 (2)は、左辺>中辺までしかできませんでした。 >>67 その極限は1/eでしょ 確率の極限は0〜1にしかならない とまあ、eなんて感じさせない単純な問題設定から確率1/eという美ね >>71 ああ、いいですね。ありがとうございました。 約数関数 σ{x}(n) は n (n∈N) の約数 d の x 乗の総和を表し、式では(画像)のように表される。 例えば、x=2, n=12 のとき、 σ{2}(12) = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 6^2 + 12^2 = 220 となる。 (1) σ{0}(n)はnに対してどのような値を表すか。 (2) σ{1999}(2000)を1999で割った余りを求めよ。 (3) 素数pについて σ{0}(p), σ{1}(p)をそれぞれ求めよ。 (4) 数列{7, 14, 28, 56, 112, 210, 420, ...} の一般項を約数関数を利用して求めよ。 0から1の実数をランダムに選ぶとき その期待値を求めよ >>74 セーフですよ 1つ目の円を真上から見て、その他4つを配置する感じでいったらいいかもです 最近受けた模試で、結果が返ってきたのでは、59でした。 xに対する方程式、 (a+1)sinx+(a-1)cosx=a が0≦x<2πで、唯一つ解を持つような、aの値を全て求めよ。 >>91 よってaは必ず2つの解を持つため、題意の解は存在しない。というのが僕の答えです。 https://i.imgur.com/KgmSpdd.jpg >>93 ええと、0がプラス寄りかマイナス寄りかで答えが真逆になるからじゃないですか? >>77 すみません間違えました。1/2ですね。区分求積で。 >>95 こんなことを申し上げるのは心苦しいんだけど、 言葉の定義を確認すると良いよ。 というか、定義を疎かにしてると本番痛い目にあうかもしれない。 xに関する方程式だから、xが解を1つ持つようにする。 その答案だと、aの方程式として考えてしまっている。 >>98 最下段の図でaの値を動かしたとき、y=aとx=f(x)との交点が方程式の解になります。そうすると、y=aの直線をどれだけ上下に動かしても交点は2つになってしまうので、xが唯一の解を持つことはないというのが、私の考えでした。 なので、いったん定数と変数を分離するためにaについて解き、それをfとしました。 一面を固定して1を書く→向かい合う面の数字は7通り。→固定した面と辺を共有する面と向かい合う面と辺を共有する面とで分ける方法は6C3=20通り→円順列より、前者も後者も2通りの数字の振り方→分けたものの組み合わせは3通り→7×20×2×2×3=1680 てな感じです。 >>102 いいね 直径5の円の内部(と辺上)にいくつか点を打つ、しかしすべての点と点の距離は2以上とする (1)点を10個打つことはできない。示せ (2)点を9個打つことはできない。示せ (2)はかなり難しいよ さいころを2nこ同時に転がすとき、出た目の和が7nになる確率を求めよ >>91 問題間違ってね? (a+1)sinx+(a-1)cosx=2a っしょ >>108 なるほど、問題が違いましたか。確かに解がないのは違和感がありました。 △ABCの重心をGとし、外心をOとする 線分GA、GB、GCの垂直二等分線が、 互いにA_1、B_1、C_1で交わるとき、 Oは△A_1B_1C_1の重心であることを証明せよ >>62 直感的に6つと同じの正六面体配置なんだけど、証明がきつい サイコロを3回振って出た目を順にn_1,n_2,n_3として次の方程式(*)を考える x^3-n_1x+(-1)^(n_1)n_3=0・・・(*) (1)(*)が相違なる3つの実数解を持つ確率 (2)(*)が自然数の解を持つ確率 をそれぞれ求めよ 開区間 I = (-1,1) で定義された関数 f (x) が次を満たしている x,y ∈ I に対し f (x) + f (y) = f ( (x+y)/(1+xy) ) x = 0 において微分可能で f ’(0) = 1 f (x) を求めよ m^3-2m+1が平方数となる整数mをすべて求めよ 東工大2008年 いびつなサイコロがあり、1から6までのそれぞれの目が出る確率が1/6とは限らないとする。このサイコロを 2回ふったとき同じ目が出る確率をPとし、1回目に奇数 、2回目に偶数の目が出る確率をQとする。 (1)P≧1/6であることを示せ。また、等号が成立するた めの必要十分条件を求めよ。 (2)1/4≧Q≧1/2 - (3/2)Pであることを示せ の(2) 半径1の球面上に、直径rの円をどの2つも交わらないように5個描く。この時、rの最大値を求めよ。 円周率が3.05より大きいことを示せ 約数関数 σ{x}(n) は n (n∈N) の約数 d の x 乗の総和を表し、式では(画像)のように表される。 例えば、x=2, n=12 のとき、 σ{2}(12) = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 6^2 + 12^2 = 220 となる。 (1) σ{0}(n)はnに対してどのような値を表すか。 (2) σ{1999}(2000)を1999で割った余りを求めよ。 (3) 素数pについて σ{0}(p), σ{1}(p)をそれぞれ求めよ。 (4) 数列{7, 14, 28, 56, 112, 210, 420, ...} の一般項を約数関数を利用して求めよ。 http://o.5ch.net/103b1.png の(4) 以上が分からなかった問題です。誰か解説できる方いませんか? 文字ちっさ!すみません。見えづらいですかね。自分でも再挑戦しようとおもうのですが、基本的に新しいのを解いていこうと思います。 ⑴1が111…1と連続して1がならぶ数字のうち、2017で割り切れるものが存在する事を示せ ⑵周期関数の和は周期関数か? 一昨日までは数学さぼってて結構きつかったけど、今日は慣れてきました。あと一問やってみようかと思います。 一辺の長さが1の正方形の紙を1本の線分に沿って折り曲げたとき二重になる部分の多角形をとする. Pが線対称な五角形になるように折るときPの面積の最小を求めよ. 東工大 >>25 東北大 条件でググれば解説しているサイトが見つかる >>125 なるほど。東北大 関数方程式で出てきました。誘導付き問題だったのですね。悔しい! >>112 A_1B_2C_3は三角形ABC上の点ということでよろしくでしょうか >>127 GAとGBの交点をA1みたいな感じだから 辺上かはわからないとおもう 問題よく読まないとだめですね。ご指摘ありがとうございます。 >>131 ハイ理終えてからはy軸を右に向けるようにしてます。それまではy軸は向こうに向けてました。 >>124 計算力がきつすぎです。今日はもう終わりにします。お疲れ様でした。 >>112 あ、間違えた、こっちの問題でした。計算量多すぎです。 円周率3.05って正12角形と円の面積で行けないか? >>138 東大の問題ですよね。以前解いたことがあっていいかなと思って解いてませんできた。 底面が半径1の円、高さが1の円錐を倒した状態で転がした時、円錐が通る部分の体積を求めよ >>141 完全に勘違いしてました。p,qを変えたら同じ平面上に描かないとだめですね。 >>144 答えが自分と一致したので合ってると思います >>112 A、B、Cの座標をコサインサインで設定してがっつり計算しようとしたら、心が砕けました。他のやり方があるのでしょうから、または計算を簡略する方法があるのでしょうから、分かる方は解説よろしくお願いします。 >>117 やってみますが、イオンで思考力問題精講探してくるので、時間がかかるかもです。まあ、田舎なので売ってないでしょうけど…。 >>117 式にn_2が組み込まれていないのですが、(-1)^n_2ですか? >>121 周期関数が分からなかったので、とりあえず(1)だけ解きました。あとで調べておきますね。 https://i.imgur.com/rCUtnB8.jpg >>153 i)n=1のとき、私は肉体的にはハゲていないが、頭をかいているうちに出血して、ハゲの可能性を見たことがある。また、このハゲー!!と罵られる可能性は秘めているため、私の中にハゲが潜在しているといえるので、成り立つ。 ii)n≦kでなりたつとする。 k+1人目の人類は、k人の遺伝子によって創られるため、k+1人目もハゲである。よって成り立つ。 i)ii)より、全ての人類はハゲであることが、数学的帰納法によって証明された。 人生帰納法を使った問題でした。考えれば考えるほど埒があかなくなる難問です。これは捨て問といえるでしょう。 >>124 一応できました。線対称であることは確かなのですが、必要条件が示せませんでした。 >>154 俺が知ってるのは、 髪の毛が一本の人はハゲで良いであろう ここで髪の毛がk本の人をハゲであると仮定する。 ハゲに髪の毛を一本加えたところでハゲはハゲなので、k+1本も当然ハゲ 帰納的に髪の毛が何本でもハゲ 今日まででだいぶフォルダが潤いました。ありがとうございます。解決できてない問題について答えられる方を、24時まで待とうと思います。 >>161 解答ありがとうございます!なるほど、互いに素を示して証明していくわけですね!すっきりしました。 この問題、m=100、平方数に999の二乗や、m=1000、平方数に9999などを代入してみると、妙な類似性があったのでどつぼに嵌まってしまいました。 他の問題で解説できそうなものなどありませんか? >>164 難しすぎですね。平面幾何が苦手な自分には重い問題でした。 2≧a+b+c+d≧1 a b c dは全部0以上の実数 → → → → r=(2 1 ) s=(1 4 ) t=(3 3 ) u=(4 3 ) → → → → → p=ar+bs+ct+du の動く領域を図示せよ 解けたら教えてくれよな 2≧a+b+c+d≧1 a b c dは全部0以上の実数 → → → → r=(2 1 ) s=(1 4 ) t=(3 3 ) u=(4 3 ) → → → → → p=ar+bs+ct+du の動く領域を図示せよ ベクトルがおかしい 訂正 ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
read.cgi ver 07.5.4 2024/05/19 Walang Kapalit ★ | Donguri System Team 5ちゃんねる