まさかこの問題が解けん受験生はおらんよな？

**名無しなのに合格** · 2017/11/06(月) 20:54:51.48

実数x、yに対して、|x|≦1 |y|≦1の時、不等式 0≦x^2+y^2-2x^2y^2+2xy√1-x^2√1-y^2≦1 が成り立つことを示せ

**名無しなのに合格** · 2017/11/06(月) 20:56:11.24

wakarn

**名無しなのに合格** · 2017/11/06(月) 20:59:05.80

1をわざわざなぜ√1と書くのか

**名無しなのに合格** · 2017/11/06(月) 20:59:08.33

簡単すぎて草生える

**名無しなのに合格** · 2017/11/06(月) 21:00:55.40

>>3
1-x^2までルートの中に入ってるんやないの

**名無しなのに合格** · 2017/11/06(月) 21:01:52.05

>>3
1-x^2と1-y^2は根号の中にある
わかりにくくてすまん

**名無しなのに合格** · 2017/11/06(月) 21:05:15.13

x^2+y^2-2x^2y^2+2xy*(√(1-x^2))*(√(1-y^2))ってことでええんやな？

**名無しなのに合格** · 2017/11/06(月) 21:06:13.97

>>7
そう

**名無しなのに合格** · 2017/11/06(月) 21:14:00.61

x=cosa
y=sina

**名無しなのに合格** · 2017/11/06(月) 21:14:41.68

>>9
なんでそうなるん

**名無しなのに合格** · 2017/11/06(月) 21:15:08.41

普通にわからん

**名無しなのに合格** · 2017/11/06(月) 21:16:12.54

>>9
やるやん

**けけけ** ◆wufGgBwAZq7r · 2017/11/06(月) 21:18:55.18

阪大の問題やっけ
三角関数に置換できやんかったら全然出来やんよな笑

**名無しなのに合格** · 2017/11/06(月) 21:24:43.19

>>12
こんなん基礎中の基礎だと思うけど…

>>10
こうするっていうお決まり。
u=x+y, v=xyって置くこともあるんじゃないかな？

**名無しなのに合格** · 2017/11/06(月) 21:28:12.09

すまん本当は問題が見にくいから数式見てない

**名無しなのに合格** · 2017/11/06(月) 21:32:57.87

x=r*cosaみたいにやらんのか？

**名無しなのに合格** · 2017/11/06(月) 21:52:48.08

>>10
ヒント、
1、xとyの絶対値
2、同心円

**名無しなのに合格** · 2017/11/06(月) 22:09:12.68

x^2y^2が2倍だから半分に分けてx^2+y^2にくっつけるとx^2(1-y^2)+y^2(1-x^2)
そうすれば全体が(a+b)^2の形になってることが分かる

こんな流れか

**名無しなのに合格** · 2017/11/06(月) 22:09:32.75

>>1
x=cosθ, y=cosφ (0≦θ<2π, 0≦φ<2π) と置ける。
(1) 0≦θ≦π, 0≦φ≦π の時。
与えられた不等式の真ん中の式=Aと置く。
A=cos^2θ+cos^2φ-2cos^2θcos^2φ
+2cosθcosφsinθsinφ
=1/2 -(1/2)cos(2θ-2φ)。よって0≦A≦1。

(2) π≦θ<2π, π≦φ<2π の時。
与えられた不等式の真ん中の式=Bと置く。
B=cos^2θ+cos^2φ-2cos^2θcos^2φ
+2cosθcosφ(-sinθ)(-sinφ)=A。
よってこの場合も成り立つ。
(1)(2)より与式は成り立つ(証明終)。

**けけけ** ◆wufGgBwAZq7r · 2017/11/06(月) 22:11:58.48

>>9
良く見たら間違ってて草
xとyは独立してるぞ
問題文見ずにパターンと認識して間違い晒すのはおもろい

**名無しなのに合格** · 2017/11/06(月) 22:13:05.16

x=1,y=1の場合とかどうないすんのや？

**名無しなのに合格** · 2017/11/06(月) 22:13:05.84

あとは(a+b)^2をコーシーシュヴァルツで上から(x^2+1-x^2)(y^2+1-y^2)で抑えれば終わり

**けけけ** ◆wufGgBwAZq7r · 2017/11/06(月) 22:14:27.01

>>19
0≦θ≦π、π≦φ<2πの時と
π≦θ<2π、0≦φ≦πの時は？
場合分けした理由が気になる

**名無しなのに合格** · 2017/11/06(月) 22:15:17.81

>>19
付け足し。

(3) 0≦θ≦π, π≦φ<2πの時。
(4) π≦θ<2π, 0≦φ≦πの時。

(3), (4) どちらも、不等式の真ん中の式=Cと置くと
C=1/2 -(1/2)cos(2θ+2φ)となり,
0≦C≦1となる。

(1)～(4)により示された(証明終)。

**名無しなのに合格** · 2017/11/06(月) 22:16:47.04

>>23
場合分けした理由は、場合分けしないと一つの式で表せないから。

**けけけ** ◆wufGgBwAZq7r · 2017/11/06(月) 22:18:06.88

>>25
√外すときに値の正負で式が変わるもんな！
早とちりしてすまんかったせ

**名無しなのに合格** · 2017/11/06(月) 22:18:16.49

>>19
θとφは0以上π以下に制限しても問題なし
むしろπから2πまでの部分は全くの無駄

**名無しなのに合格** · 2017/11/06(月) 22:20:25.98

>>24
よさげやなあ

**名無しなのに合格** · 2017/11/06(月) 22:24:16.14

>>27
より一般的に証明したのだから良いのではないか？

**名無しなのに合格** · 2017/11/06(月) 22:24:24.25

問題見にくい

**名無しなのに合格** · 2017/11/06(月) 22:26:43.84

コーシー使えばええんちゃう
見にくいから見てないけど

**名無しなのに合格** · 2017/11/06(月) 22:27:43.45

>>29
0<=θ<=πで考えるのとπ<=θ<=2πで考えるのとは全く同じ
一般的でもなんでもない

**名無しなのに合格** · 2017/11/06(月) 22:30:04.70

>>32
まあいいや。今後も変数は0≦≦<2πで場合分け前提に一般的にやるよ。
行き詰まったら問題を見て制限するわ。

**名無しなのに合格** · 2017/11/06(月) 22:31:52.62

-1≦x≦1 ⇔ x=cosθ (0≦θ≦π) と置ける。

**名無しなのに合格** · 2017/11/06(月) 22:33:16.19

阪大文系2015大問1？
実際受けたけど頭真っ白で思いつかなかったわ

**名無しなのに合格** · 2017/11/06(月) 22:36:04.17

数学はuniquely determinedでconciseであるべきだからね
verboseな記述は避けねばならない

**名無しなのに合格** · 2017/11/06(月) 22:45:29.86

まさかの良スレ

**名無しなのに合格** · 2017/11/06(月) 22:56:07.13

素直に解いてほしいって言えよっ

**名無しなのに合格** · 2017/11/07(火) 01:15:21.70

わいシブンブン、理系クラスにも関わらず第一手目がわからず死亡

ちな偏差値60の学校で数3は16点とったわ

**名無しなのに合格** · 2017/11/07(火) 01:25:08.31

>>17
二変数に縛り付けたら示せなくね？
sin a、cos bで置くならわかるけど

**名無しなのに合格** · 2017/11/07(火) 07:08:53.87

阪大のA問かB問やんクッソ簡単やったで

**名無しなのに合格** · 2017/11/07(火) 07:50:50.61

懐かしい問題やな
思いついたら簡単やけどcos(t),sin(t)みたいに同じ角でおいてミスる人が多い印象
あとはu=x+y,v=xyでおいてやろうとしてもできるけど、確か数3の微分が必要になったりめんどくさかった覚えがある
文系はたぶんほぼできなかったやろなこれ

**名無しなのに合格** · 2017/11/07(火) 08:46:50.00

>>40
間違えてると思う

**名無しなのに合格** · 2017/11/07(火) 08:58:25.32

>>19>>24の別解
不等式の真ん中の式をAと置く。
(1) 0≦[x√(1-x^2)+y√(1-y^2)]^2+(x^2-y^2)^2
である。右辺を展開して0≦A。
(2) 0≦(1-x^2-y^2)^2である。両辺に
4x^4y^4-4x^4y^2-4x^2y^4+4x^2y^2を加えて
4(xy)^2(1-x^2)(1-y^2)≦
[(xy)^2+(1-x^2)(1-y^2)]^2
∴2|xy|√(1-x^2)√(1-y^2)≦1-x^2-y^2+2x^2y^2
∴A≦1
(1)(2)より示された(証明終)。

**名無しなのに合格** · 2017/11/07(火) 09:06:44.16

一年河合塾で浪人したけど、早慶クラスで早慶に行けたのは1割未満,
去年MARCHに受かった人なら15%、ニッコマ受かった人で5%、
それ以下ならほぼ無理だ

**名無しなのに合格** · 2017/11/07(火) 09:12:45.60

>>44の(1)に気づいてベクトルでやろうと思ったが直感的に増減が分からずそのままではA≦1が示せなかった
(θが増加するにつれてrも増加する)。

**名無しなのに合格** · 2017/11/07(火) 12:29:44.34

>>18だけどおそらく最も簡単な解答

相加相乗平均の不等式より，任意の正数 a,b, c, d に対して
0 ≦ (ac + bd)^2 ≦ (a^2 + b^2)(c^2 + d^2)
が成り立つ．ここで，
a = x, b = √(1 - x^2),
c = √(1 - y^2), d = y
とおけばよい．Q.E.D.

**名無しなのに合格** · 2017/11/07(火) 12:34:09.22

ミス
a,b,c,dは実数