【数学】xyz=1，x,y,z>0 の時、x^3+y^3+z^3≧x^2+y^2+z^2 を示せ [無断転載禁止]©2ch.net

[0001 名無しなのに合格 2017/09/20(水) 06:26:16.32 ID:eJUypr2g]

証明

[0002 名無しなのに合格 2017/09/21(木) 03:41:20.87 ID:FlsaD1ML]

Σ は巡回和とする
x ≧ y ≧z と仮定しても一般性を失わない
xyz ≧ 1 も踏まえて　x ≧ 1 ≧ z　が言える
Σ x ≧ 3 (xyz)^(1/3) = 3　（AM-GM）より
y - 1 ≧ 2 - x - z　に注意して
Σ x^3 - Σ x^2
　 = Σ x^2 (x - 1)
　≧ x^2 (x - 1) + y^2 (2 - x - z) + z^2 (z - 1)
　 = x^2 (x - 1) + y^2 { - (x - 1) + (1 - z) } - z^2 (1 - z)
　 = (x - 1) (x^2 - y^2) + (1 - z) (y^2 - z^2) ≧ 0

[0003 名無しなのに合格 2017/09/22(金) 16:13:58.40 ID:TUmjV2ww]

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