積分に自信ニキ来て [無断転載禁止]©2ch.net
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f(x)=1/x の、x軸と直線x=1と直線x=aに囲まれた部分の面積の出し方(積分不可)
区間を無限等分してできる長方形の面積を出し、それらを全て足す方針。
まず区間1〜aをn等分する
n等分された一個あたりの長さをΔxとするとΔx=（a-1)/n
k番目のx座標はXk=1+{(n-1)(a-1)}/n
={n+(n-1)(a-1)}/n 
f(k)=1/Xk
=n/{n+(n-a)(a-1)}
なのでk個目の長方形の面積をSkとすると
Sk=Δx・f(k)
={(a-1)/n}・[n/{n+(n-a)(a-1)}]
=(a-1)/{n+(k-1)(a-1)}
Skの総和は
(a-1)・(k=1〜n){n+(k-1)(a-1)}
ここまで合ってますでしょうか
合ってたら続きをできるだけ途中式や理由を省かずに教えてください。 k番目のx座標はXk=1+{(n-1)(a-1)}/n
これ
Xk=1+{(k-1)(a-1)}/n
じゃね Sk=Δx・f(k)
={(a-1)/n}・[n/{n+(n-a)(a-1)}]
=(a-1)/{n+(k-1)(a-1)}
この部分の二つ目の式にkがいないのに三つ目にkがいるのはおかしい f(k)=1/Xk
=n/{n+(n-a)(a-1)}
これもおかしい
というか一つ前のXkと変わってる そもそも論としてまともにイコール繋げてないから正解は出ないと思うよ
式のたて方はあってる 立式はあっててもそれで計算を続けることはできるのかね
調和数列の和（公式なし）を求めるのと同じようなことになるんじゃね
区間を等分しないやり方ならぐぐれば見つかる >>7
そもそもこっからlog出てくる未来が想像つかない 区分求積使っていいなら普通にできるけどそれは普通ダメだもんなあ >>1
大体面積は積分で定義されてんのに積分使っちゃいけないなら答えが出るわけない。
それに長方形の面積を求めるのも積分してるんだしね。 >>10
長方形だけは認めてスタートしてるよ
後数列の和がたまたま計算できたらこのやり方もあり得る nを正の整数、r[n]=(b/a)^(1/n)とし、区間[a,b]を
[a,a*r[n]],[a*r[n],a*r[n]^2],[a*r[n]^2,a*r[n]^3],…,[a*r[n]^(n-2),a*r[n]^(n-1)],[a*r[n]^(n-1),b]
とn個の小区間に分割する。
このとき双曲線y=1/xとx軸、および2直線x=aとx=bで囲まれた部分の面積Sは
S[n]=Σ[k=1,n]1/(a*r[n]^(k-1))(a*r[n]^(k)-a*r[n]^(k-1))
のn→∞としたときの極限値である。
これを計算すると
S[n]=Σ[k=1,n](r[n]-1)=n(r[n]-1)=(e^((1/n)log(b/a))-1)/(1/n)
となる。
したがって
lim[n→∞]S[n]=log(b/a)
となる。
ここでlim[x→0](e^x-1)/x=1を使った。 f(x)=x^2みたいな簡単な函数でない限り、一般にリーマン和の計算ってのは難しい
実際にはどのような分割に対しても同じ極限値に収束することとかも言うべきかもしれないけど、高校の範囲ではこれで十分だろ ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
