半径R,密度ρの球の慣性モーメントを求めよ。
尚、
物体Vの慣性モーメントは、回転軸からの距離r(⊆V)、密度ρを使って
∫ρ・ r^2 dV
で計算できる
[証明]
球の回転軸をz軸にとる。
>>768の微小面積dsを使えば、微小体積dVは
dV = ds * dr = (r dθ) * (r sin θ dφ) dr
また、原点から距離 rの位置にある微小体積の回転軸からの距離は r sin θ
よって、
慣性モーメント ∫ρ r^2 dV = ∫∫∫ (r dθ) * (r sin θ dφ) dr (r sin θ)^2
= ρ∫_0^R r^4 dr∫_0^π (sin θ)^3dθ ∫_0^2Pi dφ
=8 π ρ R^5/15

球の質量をMとして与えられた場合、
ρ=M/(4/3 πR^3)を使って、
8πR^5/15=2MR^2/5 となる