ハイ完←これ

**名無しなのに合格** · 2023/02/09(木) 03:44:22.25

3は神だけど1A2B微妙じゃね？

**名無しなのに合格** · 2023/02/10(金) 18:56:46.89

ハイ完1A2Bは
>>1が繰り返し主張するように
微妙な(≒おまり良くない)参考書なのか？
見ていくことにしよう

**名無しなのに合格** · 2023/02/10(金) 19:08:13.30

全体の合成
全44問。

離散数学 17問
・整数 6問
・場合の数と確率 6問
・数列 5問

図形 17問
・三角比と三角関数 6問
・平面座標 5問
・ベクトルと空間座標 6問

微分積分、方程式不等式 10問
・微分積分 5問
・方程式不等式関数 5問

**名無しなのに合格** · 2023/02/10(金) 19:11:52.80

1問ごとの構成

入試問題の提示
→自力で解く

アプローチ
→手がつかない場合のヒント

解答
→標準的な良い解答が載っている

フォローアップ
→別解や知識のまとめなど。

**名無しなのに合格** · 2023/02/10(金) 19:19:10.42

全体の構成も良く、各問の攻略法も丁寧で非常に良い。

問題は上位大学の標準レベルで上位大学への実戦演習、中堅大学への知識増強に使える。

**名無しなのに合格** · 2023/02/10(金) 20:00:23.18

確かに整数とか謎な問題多いよな。確率も変な解き方してるし。

**名無しなのに合格** · 2023/02/10(金) 20:01:50.63

その点、リアル入試数学の整数は結構網羅的。ハイ完とリアル入試数学合わせれば相補できそうやな。

**名無しなのに合格** · 2023/02/10(金) 20:04:11.42

>>6
こいつはスレ立て本人かな？
前も同じこと言ってたな

整数の問題変とか確率おかしいとか

**名無しなのに合格** · 2023/02/10(金) 20:42:02.09

>>6
>確かに整数とか謎な問題多いよな。

【3】お茶の水女子大
直角三角形の内接円と3辺の長さの関係
立式するのに図形的センスとか要らない。
①a²+b²=c² (三平方)
②(a+b+c)r/2=ab/2 (面積2通り)
③r=(a+b－c)/2 (内接円の半径)

後は整数問題。

(1) r=(a+b－c)/2∈ℤの証明
⇔a+b≡c mod2 ④
虱潰しで。
偶偶偶、偶偶奇、偶奇偶、偶奇奇
奇偶偶、奇偶奇、奇奇偶、奇奇奇
→①より
偶偶偶、偶奇奇、奇偶奇、奇奇偶
これらは全て④を満たす。

(2) ⑤abc/(a+b+c)∈ℤの証明
②より、a+b+c=ab/r
⑤⇔rc∈ℤ これは(1)より成り立つ

**名無しなのに合格** · 2023/02/10(金) 21:02:10.78

三角形の問題だが整数問題なので余弦定理や正弦定理は使わない。

a²+b²=c²⑥
r(a+b+c)=ab⑦
r=(a+b－c)/2⑧
⑦と⑧からrを消去すると⑥になる

一般にmod2でa≡a² なので
a²+b²≡c² ⇔a+b≡c (1)の答え

**名無しなのに合格** · 2023/02/10(金) 21:07:29.05

偶奇性(mod)に着目すると良い
という「応用の効く基本」を確認する良問としか言いようがない。

よい問題セレクトだ。

**名無しなのに合格** · 2023/02/10(金) 21:59:59.38

>>6
>確かに整数とか謎な問題多いよな。

整数問題の基本は
mod、倍数l、絞り込み、の3点だよな。

次は不等式関連の問題。
【4】金沢大
(1) x≧14の時, f(x)=x³－6x²－96x－80≧0を示す。
t=x－14 とおくとt≧0で
f(x)=f(t+14)=g(t)
=t³+36t²+324t+144≥144>0

(2) b=(9a²+98a+80)/a(a+1)(a+2)
=1－f(a)/a(a+1)(a+2)
(1)よりa≧14は不適。
従って1≦a≦13
分母は6のは枚数なのでf(a)も6の倍数になることが必要で
f(a)≡a³－2≡0 mod6よりa=2, 8
(aA, b)=(2, 13)、(8, 2)

**名無しなのに合格** · 2023/02/10(金) 22:07:07.37

「不等式で絞ってから虱潰し」という定石を使う問題たが一捻りある良問としか言えない問題。
最高の演習が出来るよい問題集といえる。

分母を因数分解すると連続3席数の積なので6の倍数になる、従って分子も6の倍数になる必要がありそれを使って声補が更に絞れる。

**名無しなのに合格** · 2023/02/10(金) 22:12:16.01

ふと思ったのは
>>1にとってハイ完1A2Bの整数問題は「難しすぎる」のではないか？

**名無しなのに合格** · 2023/02/10(金) 22:40:31.12

約数倍数関係は整数の基礎なのでフォローアップで例が挙げられている

例 n⁵－nは5の倍数になる。

フェルマーの小定理より
5∤aの時, a⁴≡1 mod5
よってa⁵≡a mod5 ①
5|aの時, a⁵≡a≡0 mod5 ②
①②より∀n∈ℤ、n⁵≡n mod5

例 ₙ₊ₖ₊₁Cₙ∈ℤより連続n個の整数の積はn！出割り切れる。

**名無しなのに合格** · 2023/02/10(金) 23:33:34.48

フォローアップの例は簡単すぎる問題とは限らないのが良い。

例北海道大
(1) ∀m∈ℤ、g(m)=pm/(m²－m－1)∈ℤ
m→∞の時, g(m)→0となるので
p=0、分母≠0
(2) f(x)=x⁴+ax²+bx－a－2、
∀m∈ℤ、f(m)/(m²－m－1)∈ℤ
m²+m+(a+2)+
(a+b+3)m/(m²－m－1)
(1)よりa+b+3=0かつa, b∈ℤ

**名無しなのに合格** · 2023/02/11(土) 00:40:49.68

>>6
確かに整数とか謎な問題多いよな。

【5】残業医大
x³－2x²+x－p=0, p=x(x－1)² ①
x²－x+q=0, q=x(1－x) ②
①②よりp=q(1－x) ③
pは素数、qは整数 ④
③④よりq=±1またはx=0, 2
x=0とすると①④に矛盾する
x=2とするとp=2、q=－2。
q=1とすると②は1=x(1－x)
x²－x+1=0、③はp=1－x∉ℝ
q=－1とすると－1=x(1－x)、
p=x－1∉ℚ

**名無しなのに合格** · 2023/02/11(土) 00:42:07.39

これなんか普通の定石「次数下げ」の良い練習問題だよな

**名無しなのに合格** · 2023/02/11(土) 00:52:25.29

P=x⁴－2x³－3x²－5x－7にx=2－√3を代入する。

いきなり代入してみると
(2－√3)⁴－2(2－√3)³－3(2－√3)²－5(2－√3)－7
=(7－4√3)²－2(26－15√3)－3(7－4√3)－17+5√3=7－9√3
もちろん普通に次数下げする問題だが。

**名無しなのに合格** · 2023/02/11(土) 01:12:03.38

xⁿ+aₙ₋₁xⁿ⁻¹+…+a₀=0、
∀i、aᵢ∈ℤの時, x∈ℚ⇒x∈ℤの証明

x=p/q (p∈ℤ、q∈ℤ⁺、pとqは互いに素)と置けて
pⁿ+qpⁿ⁻¹+…+a₀qⁿ=0
q|pⁿよりq=1、よってx=±p∈ℤ

③よりx∈ℚなのでx∈ℤとなる。

**名無しなのに合格** · 2023/02/11(土) 02:13:54.05

【6】山口大
格子点の問題。これも整数問題としてはやっておきたいテーマだよな

(1) 分母を払って
(1++3)y=x+4+2√3
⇔(y－x－4)+√3(y－2)=0
1と√3はℚ上線型独立なので
(x, y)=(－2, 2)

(2) y=mxとx=0に分けて考える
直線x=0は整数点∈ℤ²を通る。
y=±x/√3はO以外の整数点を通らない。
√3=±x/y∈ℚで矛盾する。

y=mxかO以外の整数点を通る時、m∈ℚ
tanα=mとおく。β=α±60
tanβ=tan(α+60)=(m+√3)/(1－m√3)
(1－m√3)y=(m+√3)x
y=mx、－my=x
y=－m²y⇔y=x=0
α≠π(2m－1)/2, β≠(2n－1)π/2、θ≠(2k－1)π/2

例 O、A(a, b)∈ℤ²、O≠A
(a－b√3)/2、(a√3+b)/2
a=b=0以外では成り立たない

**名無しなのに合格** · 2023/02/11(土) 11:24:11.26

α=³√(1+√(65/64))、
β=³√(－1+√(65/64))
a³=2－3a/4
4a³+3a－8=0わ、わ
a(4a²+3)=8
a>0よりa=1 2 4 8 1/2 1/4

γ=³√(1+√(28/27))、
δ=³√(－1+(28/27))
γδ=1/3
(γ－δ)³=γ³－δ³－3γδ(γ－δ
a³=2－a
(a－1)(a²+a+2)=0、a=1

例 x²+3x+m=0
α, β∈ℚ⇒α, β∈ℤ
α+β=－3、αβ=m
αとβは偶奇を異にする
よってmは偶数。
m=－x(x+1)－2x
x²+mx+7=0、x=α, β (α≧β)
αβ=7より1, 7、－7, －1
m=±8

例 cos20>0
cos3θ=4cos³θ－3cosθより
8x³－6x－1=0
x=1 1/2 1/4 1/8
よって有理数解を持たない

**名無しなのに合格** · 2023/02/11(土) 11:27:42.68

いい問題ばっかり載っていて実力がつくよな

**名無しなのに合格** · 2023/02/11(土) 13:34:36.88

【8】千葉大
(1) 0≦x₁<x₂<…<xₙ<xₙ₊₁≦1として一般性を失わない
∀i、xᵢ₊₁－xᵢ>1/nと仮定すると[0, 1]の長さがn×1/n>1となり矛盾。
よって∃i、0<xᵢ₊₁－xᵢ≦1/nとなる

(2) ω>0、ω∉ℚとする。
∀n∈ℤ⁺、∃l, m∈ℤ,
0<lω+m≦1/n
l∈ℤ⁺とするとlω>0かつlω∉ℚ
よって∀l, n、lnω∉ℤ
∀l, m、mω+m>1/nとする
[lω]=－mとしてLᵢ=[lᵢω]+mᵢ、
i≠jの時, |Lᵢ－Lⱼ|=[(lᵢ－lⱼ)ω]
Lᵢⱼ=|(lᵢ－lⱼ)ω+(mᵢ－mⱼ)|はi≠jの時,
0にはならないのでn+1点は全て異なる。n区間が全て1/nより大きいとすると区間[0, 1]が1より大きくなり矛盾。
0<l√2+m≦1/2
3点√2－1、2√2－2、3√2－4は全て異なる。∵⊿Lᵢⱼ=|(lᵢ－lⱼ)√2+(mᵢ－mⱼ)|
はi≠jの時, 0にはならないので同じ点は存在しない。

**名無しなのに合格** · 2023/02/11(土) 14:02:28.97

[]0, をn等分する。すなわち
[0, 1/n) [1/n, 2/n) … [(n－1)/n, 1]
n+1個のlᵢω+mᵢを用意するとそれらは全て異なり、全て無理数である。部屋割論法により少なくとも2つの点は同じ区間属する。

例小さい順にa₁、a₂、…、aₙ₊₁とする。区間の幅bᵢ=aᵢ₊₁－aᵢとする
bᵢがmodnで全て異なる時はその中にn|bᵢとなるものが存在する。
modnでbᵢ≡bⱼとなる時
n|bᵢ－bⱼとなる。

区間を考えず点で考えると
aᵢ≡aⱼ mod nとなるi、jの組が少なくとも1つ存在する。
一つ少ない数の部屋を用意して中に入れると必ず一部屋は2人以上入る。modの考え方

**名無しなのに合格** · 2023/02/11(土) 14:56:28.64

ハイ完の整数問題テーマ一覧

問題6問、補足問題9問の15問
演習量としてまあまあ十分。
必要なテーマは網羅されている
解説は丁寧で基礎事項へ帰着させる思考が身につく
別解も示してあり視野が広がる
復習がしやすい。ノートにまとめても良いし、マーカーなどで本に直接書き込んでも良い。

3 図形と整数の融合、mod
4 不等式で絞る、連続n整数の積はn!で割り切れる(整除性)
例 n⁵－nはnで割り切れる
例類題演習
5 方程式の共通解
例次数下げ
6 有理数、無理数、格子点
例格子点と正三角形
7 最小多項式、有理数と無理数
例有理数解、解と係数
例有理数解
例類題演習
8 部屋割論法、有理数と無理数
例類題演習
例部屋割論法、mod

**名無しなのに合格** · 2023/02/11(土) 15:34:44.33

n⁵－n=ₙ₊₂P₅+5n(n²－1)≡0 mod5

**名無しなのに合格** · 2023/02/11(土) 17:13:23.26

>>6
確率も変な解き方してるし。

これに関しても調べてみよう。

**名無しなのに合格** · 2023/02/11(土) 21:42:42.57

ハイ完の場合の数と確率は6問。

【9】東大の場合の数の問題。これを取り上げている問題集やテキストは多いよな。良問中の良問だ。

(1) n≧1の異なるホールをABCの異なる箱に入れる場合の数は3ⁿ。
(2) 区別のつかないn個のボールをABCの異なる箱に入れる場合の数は₃Hₙ=ₙ₊₂Cₙ=ₙ₊₂C₂=(n+2)(n+1)/2
(3) 区別のつくボールを区別のつかない箱に入れる場合の数
空箱2つ 3通り→1通り
空箱1個 N₁通り→N₁/6通り
空箱0個 N₂通り→N₂/6通り
(N₁+N₂)/6 +1=(3ⁿ－3)/6 +1
=(3ⁿ⁻¹+1)/2通り
(4) n=6m個の区別のつかないボールを区別のつかない3つの箱に入れる場合の数は

・3個同じaaa→1通り
・2個同じaab→0～3mで2mを除く3m通り
abc型(最小値で場合分け)
・a=2k、b+c=6m－2k、
b=2k+1～3m－k－1の3m－3k－1通り
k=0～m－1
m(3m+1)/2通り
・a=2k－1、b+c=6m－2k+1、
b=2k～3m－kの3m－3k+1通り
k=1～m
m(3m－1)/2通り
∴3m²+3m+1 通り

**名無しなのに合格** · 2023/02/11(土) 23:36:48.07

例
(1) ₉C₂=36
(2) ₃hH₁₀=₁₂C₂=66
(3) x+y+z+w=10、₄hH₁₀=₁₃C₃=286
(4) ₃hH₇=9C₂ㇸ36
ₙHₖ=ₙ₊ₖ₋₁Cₖ=ₙ₊ₖ₋₁Cₙ₋₁

例 nが奇数の時, (n－1)/2
nが偶数の時, (n－2)/2

例
x=k (k=0, 1, …, n)で切ると
S(k)=2k+1、よって(n+1)²
y=k (k=0, 1, …, n)で切ると
S(k)=2k+1、(n+1)²
{(n+1)(2n+1)－(n+1)}/2+(n+1)
=(n+1)²
{(2n+1)(3n+1)－(n+1)}/2
3n²+2n+n+1=3n²+3n+1
0, 2, 4, …, 2nのn+1個。

**名無しなのに合格** · 2023/02/11(土) 23:41:22.08

場合の数確率では実際に数え上げることが出来ることが重要でそのためのトレーニングがしっかり出来る良い構成。知識を増やすよりも「実際に解き切る」経験の積み重ねが実力を伸ばす。

変な解き方ではなかった。

**名無しなのに合格** · 2023/02/12(日) 04:07:47.87

【10】
W=10、R=20
n=110, 11, 1
124/11=11.3、11、32/3=10.7
(1) n－1回でW=3、R=n－4、
n回目にWが出る確率がp(n)
p(n)=(₁₀C₃×₂₀Cₙ₋₄/₃₀Cₙ₋₁)(7/(31－n))
=840×20!(n－1)!(30－n)!
/30!(n－4)!(24－n)!
(2)p(n+1)/p(n)=
n(24－n)/(30－n)(n－3)≧1
⇔n≦10、n=10, 11
…<p(9)<p(10)=p(11)>p(12)>…

**名無しなのに合格** · 2023/02/12(日) 05:11:40.87

超オーソドックスな問題。
別解もついてて完璧な構成。

例
I I D A I G A K U
→I3個、A2個、DGKUは1個
(1) DGKUは1/4!=1/24
IIIは6!×7×3!/9!=1/12
(2) III+IIA+II※+AAI+AA※
1－(1+3×2+3×4+1×3+1×4)/84
=29/42

例 P→A→Qは3×10通り
2×1、3×2
(3/8)×(1/4+2/8+3/16+1/8+3/16)
=3/8

最短経路を進むので左に向かったり下に進むことは無い。
すなわち常に上か右の二択。
上に到着したら確率は無くなる
右に到達したら確率は無くなる
A→Qは必ず到達するので確率は1である。
P→Aは上にも右にも到達しないので全ての経路は1/8で3通りあるから3/8

**名無しなのに合格** · 2023/02/12(日) 15:06:14.83

【11】すごろく

(1) x+y+z=5、x≧1 y≧1 z≧1
4C2=6通り、6/216=1/36
(2) x+y+z=15、x≧1 y≧1 z≧1
X=7－x、Y=7－y、Z=7－zとおくと
X+Y+Z=6、X≧1、Y≧1、Z≧1
5C2=10通り
x+y+z=10、x≧1、y≧1、z≧1
4+5+6+5+4+3=27通り。43/216
(3)・x+y+z=5→₄C₂=6通り○
・x+y+z=10→19通り○
x+y=5、z=5→4通り
x=5、y+z=5→4通り
・x+y+z=15→5通り○
虱潰し。366、456、636 654 663
30/216=5/36

**名無しなのに合格** · 2023/02/12(日) 17:27:05.56

例 abcからの5文字のWordでbcの冽を含まないもの

bcがどこで初めて出てくるかで場合分けして全体から引く
bc○○○→27通り
○bc○○→27通り
○○bc○→24通り
○○○bc→27－6=21通り
243－99=144通り
27×4－3－6=99。

xₙ=aₙ+bₙ+cₙ
aₙ₊₁=xₙ、bₙ₊₁=xₙ、cₙ₊₁=aₙ+cₙ
xₙ₊₁=3xₙ－bₙ、xₙ₊₂=3xₙ₊₁－xₙ
x₁=3、x₂=8、x₃=21、x₄=55、
x₅=144通り

例正十二角形
x+y+z=12、x≤y≤z 3x≤12よりx≤4
aaa→1通り→4通り、24/2/3=4倍
aab→4通り→48通り、24/2=12倍
abc→4+2+1=7通り→168通り
12種類、220通り。
12C3=2×110=220通り
24x+12y+4z=220、z=1、y=4
204x=168、x=7、x+y+z=12種類

**名無しなのに合格** · 2023/02/12(日) 22:17:31.32

【14】条件付き確率
R₁R₂、R₃R₄、B₁B₂、Y₁Y₂、R₅B₃、B₄Y₃の6枚。
R□→5/12、RR→2/6=1/3
R□の時, RR、4/5
R□→B○→4/12×4/10+1/12×3/10
=19/120
R□→B○→□=R
RR→BB、RR→BR、RR→BY、
RB→BB、RB→BY
4×2+4×1+4×1+1×2+1×1=19
16/19

例 XXXX/(XXXX+□XXX)
10/(10+39)=10/49

**名無しなのに合格** · 2023/02/13(月) 00:24:22.37

【11】
右に3個、上に1個
aaadd+c→10×9=90
abddd+c→20×27=540
aacdd+a→30×9=270
bcddd+a→20×27=540
acddd+b→20×27=540

1980/6⁶=330/6⁵=55/6⁴
P(a)=1が1回も出ない
P(b)=2も3も1回も出ない
P(A∩B)=1－P(a∪b)
=1－(5/6)ⁿ⁻⁶－(2/3)ⁿ⁻⁶+(1/2)ⁿ⁻⁶
(55/6ⁿ⁻²)(6ⁿ⁻⁶－5ⁿ⁻⁶－4ⁿ⁻⁶+3ⁿ⁻⁶

**名無しなのに合格** · 2023/02/13(月) 14:38:40.74

例 R3、B2、Y1、W1、RBYの箱
少なくとも1色が一致する確率

P(A)はAが当たる確率(他は無関係)
P(R∪B∪Y)=P(R)+P(B)+P(Y)
－P(R∩B)－P(B∩Y)－P(Y∩R)
+P(R∩B∩Y)
=6/7－(6+3+2)/42+6/210
(180－55+6)/210=131/210

**名無しなのに合格** · 2023/02/13(月) 20:59:42.98

例 2－0、3－1、0－3、1－4にることは不可。13/2⁶=13/64

例 1～n、2≦k≦n+1
a₁<a₂<…<aₖ₋₁≧aₖ (k回目で終了)
aₖ₋₁=i、1≦aₖ≦i、k－1≦i≦n
Σ[i=k－1, n] (ᵢ₋₁Cₖ₋₂)×i
=(k－1) Σ[i=k－1, n] (ᵢCₖ₋₁)
=(k－1) Σ[i=k, n+1] (ᵢ₋₁Cₖ₋₁)
(k－1) ₙ₊₁Cₖ/nᵏ
(nₙCₖ₋₁－ₙCₖ)/nᵏ=(k－1)ₙ₊₁Cₖ/nᵏ

**名無しなのに合格** · 2023/02/14(火) 00:29:08.69

例
ab…aab→aₙ、ba…aaa→bₙ
bₙ₊₁=aₙ+bₙ=xₙ、aₙ₊₁=bₙ
xₙ₊₂=xₙ₊₁+xₙ
0、1、1、2、3、5より、5/64

例
f(m, n)=nf(m－1, n)+nf(m－1, n－1)

**名無しなのに合格** · 2023/02/14(火) 03:31:35.31

【13】確率漸化式
1点をPₙ、0点をQₙとする。
P₂=5/8、Q₂=1/4

8P₂ₘ=6－2P₂ₘ₋₁－6Q₂ₘ₋₁
4Q₂ₘ=2P₂ₘ₋₁+4Q₂ₘ₋₁
2P₂ₘ₋₁=1－Q₂ₘ₋₂
4Q₂ₘ₋₁=4Q₂ₘ₋₂+2P₂ₘ₋₂

これらを解いて
Q₂ₘ=1－5/4ᵐ+4/8ᵐ
P₂ₘ=5/4ᵐ－5/8ᵐ
P₂ₘ₋₁=10/4ᵐ－2/8ᵐ⁻¹
Q₂ₘ₋₁=1－10/4ᵐ+12/8ᵐ

**名無しなのに合格** · 2023/02/14(火) 16:28:32.71

図形関係に入る。
まずは三角比、三角関数。

【15】凸四角形。r=1としてよい
(1) AC=cとおく。
2×(1/2)csinα=(1/2)2csinβより
sinα=sinβ、α=β
(2) CE=ED=eとおく。
cos(2α)=3/5、2cos²α－1=3/5
cosα=2/√5、sinα=1/√5
余弦定理よりc=√(2+2cos2α)=4/√5
cesinθ=2esin(α－θ)より
2sinθ=cosθ－2sinθ
4sinθ=cosθ
17s²=1、s=1/√17

【16】
sin3θ+sinθ=3sin3θ×sinθ
θ≠0、60
12s³－4s²－9s+4=0
(6s²+s－4)(2s－1)=0、
s=1/2, (－1+√97)/12>√2/2>1/2
∴3個。

c/b+a/c+b/a=7/2
b/c+c/a+a/b=7/2
a+b+c=10
(c－b)cb+(b－a)ba+(a－c)cb
交代式は差積で割り切れる
a²－(b+c)a+bc=0
(a－b)(b－c)(c－a)=0
(1) a=c→✖
(2) (2, 4, 4)、(5/2, 5/2, 5)
(4, 16, 16)、(4√2, 4√2, 32)

**名無しなのに合格** · 2023/02/14(火) 22:09:03.27

【17】[0, π]、c²+4as+3a－2=0
(1) 解を持つ
(2) 2個の解を持つ
0≦θ<π/2→s:θ=1: 2
θ=π/2→s: θ=1: 1

1－s²+4as+3a－2=0
s²－4as+1－3a=0
4a²+3a－1=0、(a+1)(4a－1)=0
a=－1, 1/4
s²+1=4a(s+3/4) (0≦s≦1)

(1) 1/4≦a≦1/3
(2) a=1/4の時, 2個○
1/4<2/7の時, 4個
a=2/7の時, 3個
2/7<a≦1/3の時, 2個○
4a=4/3、a=8/7
(－3/4, 0)、(0, 1)、(1, 2)

例 x²－ax+b=0、0<x<1
x²=ax－b、常にb≦a²/4①が必要
1>b>0の時, b≦a²/4②
b≧1の時, b<a－1③
0≧bの時, b>a－1④
(2, 1)、(0, 0)、(1, 0)

**名無しなのに合格** · 2023/02/15(水) 02:20:34.75

例 x²+1≧0+1=1 x=0の時
(a+1/b)(b+2/a)=ab+2/ab+3
≧2√2+3 等号成立はab=√2の時

列 cosθ₁+cosθ₂+cosθ₃
=cosθ₁+cosθ₂－cos(θ₁+θ₂)
=2cos(θ₁+θ₂)/2cos(θ₁－θ₂)/2
－2cos²(θ₁+θ₂)/2+1
θ₁+θ₂を固定して考えると
≦2cosθ－2cos²θ+1
=－2(cosθ－1/2)²+3/2
cosθ=1/2すなわちθ₁=θ₂=θ₃=60
の時, 最大値3/2となる
再三角形。

例－1－√3－(√6－√2)c₂/4+(√6+√2)s₂/4=0
sin(2θ－15)=(√6+√2)/4
－15≦2θ－15<705
2θ－15=75、105、435、465
θ=45、60、225、240
π/4、π/3、5π/4、4π/3

**名無しなのに合格** · 2023/02/15(水) 08:26:04.25

例 √3c+s≦0、2π/3≦θ≦5π/3
c+s<1、π/2<θ<2π
例 x=1/2で3、x=√5で1/(3+2√5)
x=1の時, 4
例 7x²+y²+z²+2kxy－4xz≧0
(2x－z)²+(kx+y)²+(3－k²)x²≧0
－√3≦k≦√3
例 (t+1)²+1/t=t+2+2/t≧2+2√2
t=√2、x=√2+1
(t+1)(t+2)+1/t²=1+(3t+3)/t²
=1+3/t+3/t²=3(1/t+1/2)²+1/4
t=－2、x=－1の時, 1/4

**名無しなのに合格** · 2023/02/15(水) 17:50:03.40

【18】
(1) a=sinα、b=sinβ、c=sinγ
(2) sin²θ₁+sin²θ₂+sin²θ₃
=2－cosθ₊ (cosθ₋+cosθ₊)
=2－(x₊+x₋/2)²+x₋²/4
θ₁=θ₂の時、9/4+(cos2θ+1/2)²
cos2θ=－1/2、2θ=120、θ=60
α=β=γ=60の時, 9/4
(3) sinαsinβsinγ
=√(sin²θ₁sin²θ₂sin²θ₃)
≦(sin²θ₁+sin²θ₂+sin²θ₃)³ᐟ²/3√3
≦(3/2)³/3√3=3√3/8
等号成立はθ₁=θ₂=θ₃=60

**名無しなのに合格** · 2023/02/15(水) 20:24:53.58

【19】
P(c, s) 、A(0, 2)、B(0, －2)
(1) AP=(c, s－2)、BP=(c, s+2)
n₁=(2－s, c)、n₂=(s+2, －c)
(2－s)x+c(y－2)=0、x₁=2c/(2－s)
(s+2)x－c(y+2)=0、x₂=2c/(2+s)
(2) 0<θ<π/2、
x₁－x₂=(8sc/8－2s²)=4s₂/(7+c₂)
=4(s₂－0)/(c₂－(－7))
(cos2θ, sin2θ) 0<2θ<π、(－7, 0)
7: 1: 4√3、m=1/√3、
cos2θ=－1/7、
cosθ=√3/√7、sinθ=2/√7
=8/(√c－√(3/c)²+2√3)

**名無しなのに合格** · 2023/02/16(木) 01:37:19.41

【20】
(1) 和積変換公式より
cosnθ+cos(n－2)θ=2cos(n－1)θcosθ
n=1の時, cosθ→x
n=2の時, cos2θ=2cos²θ－1→2x²－1
n=k, k+1の時, 成り立つと仮定するとn=k+2の時,上式より
cos(k+2)θ
=2(cosθ)pₖ₊₁(cosθ)－pₖ(cosθ)
(2) p₂ₘ(x)=2xK(x)－G(x)
P(－x)=(－2x)K(－x)－G(－x)
=2xK(x)－G(x)
これは2m次の偶関数である。
奇数次も同様。
p₂ₘ₊₁(x)=2xG(x)－K(x)
P(－x)=(－2x)G(－x)－K(－x)
=－2xG(x)+K(x)=－P(x)
(3) 偶数次→a₀=(－1)ⁿᐟ²、a₁=0
奇数次→a₀=0、a₁=n(－1)⁽ⁿ⁻¹⁾ᐟ²

**名無しなのに合格** · 2023/02/16(木) 15:56:38.19

【21】
(x－m)²+y²=m²+1
y=－mx+3
(1) x²－2mx+m²x²+8－6mx=0
(1+m²)x²－8mx+8=0、x=α, β
D=2m²－(1+m²)>0、m²>1
m<－1、1<m
(2) α+β=8m/(m²+1)、
αβ=8/(m²+1)
N((α+β)/2, －m(α+β)/2+3)
X=4m/(m²+1)、Y=－4m²/(m²+1)+3
Y=4(m²+1)－1、－1<Y<1
(3－Y)/X=m、(Y－3)²/X+X=4(3－Y)/x
3－Y>0、Y+1>0
X²++(Y－1)²=2²、－1<Y<1

例 (x²+y²+x－1)+m(y－x－1)=0
y=0としてx²+x－1－mx－m=0
x²－(m－1)x－(m+1)=0
(β－α)²=(α+β)²－4αβ
=(m－1)²+4(m+1)=20
m²+2m－15=(m+5)(m－3)=0
m=3, －5
x²+y²－2x+3y－4=0
x²+y²+6x－5y+4=0

例 |(x+1)(x－2)|≦x+1
(－1, 0)、(1, 0)、(3, 0)
x=－1、1≦x≦3
(x+1)(x－3)<3|x－1|、x<－3、5<x

**名無しなのに合格** · 2023/02/20(月) 22:17:01.14

【22】
C: x²+y²=4、L: y=ax+1
(1) A (0, 1)は円Cの内部なので2点で交わる。
(2) P(x₁, y₁)、Q(x₂, y₂)
接線の方程式はx₀x+y₀y=4
x₁x+y₁y=4、x₂x+y₂y=4
y₁=ax₁+1、y₂=ax₂+1
－4ax+4y=4、(－4a, 4)
－∞<a<∞より直線y=4

**名無しなのに合格** · 2023/02/21(火) 02:25:48.65

【23】
0≦s≦1、0≦t≦1
x=s+t、y=s²、0≦x－t≦1
x－1≦t≦x、0≦t≦1、
xt平面上の平行四辺形領域
y=(x－t)²
m→t=x(0≦x≦1)、t=1(1≦x≦2)
y=0、y=(x－1)²
M=t=0(0≦x≦1)、t=x－1(1≦x≦2)
y=x²、y=1

x－1≦s≦x、0≦s≦1
xs平面上の平行四辺形
m→s=0、x－1、M→s=x、s=1

例逆に解ける。2s=x+y、2t=x－y
例 u²－xu+y=0、(u－x/2)²－x²/4+y=0
y=x²/4、y=0、y=x－1 包絡線

**名無しなのに合格** · 2023/02/21(火) 03:24:33.76

例 x²≦y≦1
(1) －1/4≦x+y≦2
(2) －3≦4x+y≦5

例 (x+y)²－4xy+2(x+y)+3=0
x+y+xyの最小値
x+y=s、xy=tとおく
s²+2s－4t+3=0⇔t=(s+1)²/4+1/2
u²－su+t=0、t≦s²/4
s=－3、t=3/2、s+t≧－3/2

例 (x－y)²+3y²≦1、
x－y=uとおくと
u²+3y²≦1 楕円の内部
x+2y=k
(k－3y)²+3y²－1=0
12y²－6ky+k²－1=0
D=9k²－12k²+12≧0、－2≦k≦2

**名無しなのに合格** · 2023/02/21(火) 12:52:32.12

例 √1199/3
例 Σ=6
(1, 0)、(－1/2, ±√3/2)
(c－1)²+s²+(c+1/2)²+(c+1/2)²
(s+√3/2)²+(s－√3/2)²

c²+(s+1)²+(s－1/2)²+(s－1/2)²
(c+√3/2)²+(c－√3/2)²

例 x≧0, y≧0, z≧0の時,
(x+y+z)(xy+yz+zx)≧axyz
z=0の時, (x+y)xy≧0は成り立つ。
z>0の時, x+y+z≧a/(1/x+1/y+1/z)
a≦9=n²、
相加平均=(x+y+z)/3=(Σx)/n
調和平均=1/((x⁻¹+y⁻¹+z⁻¹)/3)
=1/((Σx⁻¹)/n)=n/(Σx⁻¹)
Σx≧n²/(Σ(1/x))

**名無しなのに合格** · 2023/02/22(水) 00:38:06.55

【24】
x²+y²≦1
(1) s=x+y、t=xy
u²－su+t=0、D=s²－4t≧0
t≦s²/4、s²－2t≦1、t≧s²/2－1/2
t+ms=kとおく。(±√2, 1/2)
t=－ms+k (m≧0)
(√2, 1/2)の時, Max=1/2+√2m
Min=－(m²+1)/2 (0≦m≦√2)
－m=s、t=(m²－1)/2
1/2－√2m (m≧√2) 場合分け

【25】
(a, b)、(a, －b)、(－a, b)、(－a, －b)
a>0、b>0とする。
P(x, y)に対して
(x－a)²+(y－b)²+(x+a)²+(y+b)²
=(x－a)²+(y+b)²+(x+a)²+(y－b)²

P=AとするとAC²=AB²+AD² (1)
P=BとするとBD²=BA²+BC² (2)
P=CとするとCA²=CB²+CD² (3)
P=DとするとDB²=DA²+DC² (4)
(1)+(2)=(3)+(4)より
AB=CD、∴AC²=CD²+AD²
よって∠D=90。
同様に∠A=∠B=∠C=90
長方形になる

**名無しなのに合格** · 2023/02/22(水) 03:22:46.38

【29】
√(x－1)²+1/x² + √(x+1)²+1/x²
AP+BP=2aとおく。a>1
a²－b²=1
x²/a²+y²/(a²－1)=1
(a²－1)x⁴－a²(a²－1)x²+a²=0
2α+β+γ=0、β+γ=－2α
2αβγ+α²β+α²γ=0
2αβγ－2α³=0、βγ=α²
(β－γ)²=4α²－4α²=0、β=γ=－α
よってx=α, α, －α, －α
α⁴=a²/(a²－1)
－2α²=－a²、α²=a²/2、α⁴=a⁴/4
a²(a²－1)=4、a⁴－a²－4=0
a²=(1+√17)/2=2α²
P(√(√1+√17)/2, 2/(√(1+√17)))

**名無しなのに合格** · 2023/02/22(水) 22:34:15.06

例焦点 (0, 3) と準線y=0
r=1、(x, y)、r=y、
(y+1)²=x²+(y－3)²
放物線 8y－8=x²
(2) (0, 0)、r=5、(2, 0)、r=1
PO=5－r、PA=1+r
PO+PA=6=一定
楕円 (x－1)²/9+y²/8=1
(3) O (0, 0)、r=1、A (6, 0)、r=3
PO=r+1、PA=r+3
PA－PO=2
a²－b²=36、a+b=18、a=10、b=8
(4, 0)、(6, 8)、→(1, 0), (3, 8)
(x－3)²－y²/8=1 (x<3)
a=1、m²－n²=36、
m－n=2、m+n=18、m=10、n=8
x²－y²/b²=1、b=8

x²/a²－y²/b²=1
(±a, 0)、√(a²+b²)=f
(f, b)
a²=b²+f² 楕円
a²+b²=f² 双曲線

**名無しなのに合格** · 2023/02/23(木) 00:52:58.01

例屈折の法則
A (a,b)、B (p, q)、T (t, 0)
0≦a≦t≦p、b>0>q
AT+TBを最短時間で進む時のTの位置。sinθ₁=A'T/AT、sinθ₂=B'T/BT
f(t)=√((t－a)²+b²)/V₁
+√((p－t)²+q²)/V₂

f'(t)=(t－a)/√((t－a)²+b²)V₁
+(t－p)/√((p－t)²+q²V₂=0とおくと
(t－a)V₂√{(t－p)²+q²)
=(p－t)V₁√((t－a)²+b²}
∴B'T×AT×V₁=A'T×BTV₂
sinθ₁/sinθ₂=V₁/V₂

a α p
－ 0 +
↘ 0 ↗
よってt=αで極小かつ最小となる

**名無しなのに合格** · 2023/02/23(木) 03:12:15.45

【1】
f(x)=|x－a+2|－2|x－a－1|+1
(1) a=1の時, |x+1|－2|x－2|+1
x≦－1でx－4、－1≦x≦2で3x－2
2≦xで－x+6
(2) [0, 3]における最小値
x=a－2、a+1
x－a－3、3x－3a+1、－x+a+5、
2≦aの時, －a－3
－1/4≦a≦2の時, －3a+1
a≦－1/4の時, a+2

例 f(x)=Σ[k=1, n] |x－k|
nが偶数の時, [n/2, (n+2)/2]で
n－1+n－3+…+1=n²/4
nが奇数の時, (n+1)/2で
n－1+n－3+…+2=(n²－1)/4

【2】
f(x)=ax²+bx+c、[0, 1]⇒|f(x)|≦1
f(0)=c、f(1/2)=a/4+b/2+c
f(1)=a+b+c
f'(0)=b=4f(1/2)－f(1)－3f(0)
(2) |f'(0)|≦4f(1/2)+f(1)+3f(0)≦8
+－+、－+－
f(x)=±(8x²－8x+1)
|a|－|b|≦|a+b|≦|a|+|b|
N→差≦N－差→N
≦和→N≦N→和

**名無しなのに合格** · 2023/02/28(火) 03:04:56.76

【26】
(1) QR<QP
なす角が小さい方が和は大きくなる
三角形は2辺の長さを固定するとそのなす角が大きい方が対辺は長くなる
(2) BE=sPQ、CD=tQR
BE=(aa+cc)/(a+c)、s=ac/(a+c)
cD=(aa+bb)/(a+b)、t=ab/(a+b)
b<cよりs<t
sQR<sQP<tQP
1/(1/a+1/b)

例 OI=OA+AI=a+bAB+cAC/(a+b+c)
=(aa+bb+cc)/(a+b+c)
傍心は－を付ける。∠A内だったらaに付ける。

**名無しなのに合格** · 2023/02/28(火) 03:59:35.06

【27】
(1) (a+b+c+d)²=(a+b)²+(c+d)²
(a+b)･(c+d)=0
(2) ABの中点SとCDの中点Tを結ぶ線分を直径とする円上を動く。
(3) S=Tとなると平行四辺形となる

例 2ap－a²－ab=0⇔ap=a(a+b)/2
a(p－m)=0、ABの中点Mを通りOAに垂直な直線
ap+a²≧0、点－Aを通り、OAに垂直な直線で区切られた領域のうち点Aを含む領域。
p²－ap－3a²/4=0、(p－a/2)²=a²
|p－a/2|=|a|、OAの中点を中心としOA/2の長さを半径とする円
p²－(a+b)p≦0、|p－(a+b)/2|≦|a+b|/2、ABの中点を中心として原点を通る円の内部で業界を含む。

**名無しなのに合格** · 2023/03/24(金) 05:06:20.74

A －1<x<2、B x≦k ∨ 6k≦x
A⊂B⇔B⇒A
k<6kよりk≧0
k≧2∨6k≦－1
p∧(q∨r)=(p∧q)∨(p∧r)
k≧2∨k≦－1/6
∴k≧2
k≦0の時、A=(－1, 2)、B=ℝ
∴k≦0
まとめてk≦0∨k≧2

**名無しなのに合格** · 2023/03/24(金) 05:45:21.04

(1) ∀x∈ℝ、f(x)≦M
Mを取らないかも知れない
(2) ∀x∈ℝ、f(x)≦M。
∧ ∃x∈ℝ、f(x)=M
Mを取り得る
(3) ∀m∈ℝ、m≦M⇒∃x∈ℝ、f(x)=m
Iを取り得るが他にもあるかも知れない
(4) ∀m∈ℝ、m≦M⇒∃x∈ℝ、f(x)=m
∧
∀x∈ℝ、f(x)≦M
つIのみである。他には無い。

**名無しなのに合格** · 2023/04/03(月) 20:50:39.50

**名無しなのに合格** · 2023/04/03(月) 21:32:04.64

∫s=－c
∫c=s
∫tanθ==－log|cosθ|
∫cotθ =log|sinθ|
∫sec²θ=tanθ
∫csc²θ=－cotθ

**名無しなのに合格** · 2023/04/15(土) 18:06:23.48

1
∑[k=1, n] 1/(2k-1)2k=
∑[k=1, n] 1/(n+k)
↓
∑[k=1, n+1]aₖ=
Sₙ+1/(2n+1)-1/2(n+1)

∑[k=1, n+1]1/(n+1+k)=
∑[k=2, n+2]bₖ=
Tₙ-1/(n+1)+1/(2n+1)+1/2(n+1)
-1/2(n+)=-2/2(n+1)+1/2(n+1)

数学的帰納法、剰余類、背理法
不等式≧0、集合の包含関係
係数比較、特別な値を代入して必要条件で絞る、恒等式は微分しても恒等式、領域による視覚化

n=1の時, 左辺=1/2=右辺で成り立つ。S₁=T₁。
n=の時, 成り立つと仮定すると
Sₙ=Tₙ。

**名無しなのに合格** · 2023/04/15(土) 19:31:05.90

1-1
a≧b>0、n>0の時,
(aⁿ-bⁿ)/n≦(a-b)(aⁿ⁻¹+bⁿ⁻¹)/2
∫[x=b, a] xⁿ⁻¹dx<台形

y=xⁿ⁻¹ (n≧3) はx>0において下に凸。y''=(n-1)(n-2)xⁿ⁻³>0

a=b>0の時, 成り立つ。
n=1の時, a-b≦a-bとなる。
n=2の時, a²-b²≦(a-b)(a+b)=a²-b²となる。
b>0よりa/b=tとおくと
2(tⁿ-1)≦n(t-1)(tⁿ⁻¹-1)=n(tⁿ-t-tⁿ⁻¹+1)
t≧1、n≧1を示せばよい。
2(tⁿ-1)≦n(tⁿ-t-tⁿ⁻¹+1)
f(t)=(n-2)tⁿ-n(tⁿ⁻¹+t)+n+2とおく
f(1)=n-2-2n+n+2=0
f'(t)=(n-2)tⁿ⁻¹-(n-1)tⁿ⁻²-1>0
f'(1)=0
f''(t)=(n-1)(n-2)(tⁿ⁻²-tⁿ⁻³)>0

**名無しなのに合格** · 2023/04/16(日) 10:09:31.26

1-2
a²-a+b²>0 ⇒
(m+na)²-(m+na)+n²b²≧0、
m, n∈ℤ

x=m+na、y=nb、x²-x+y²≧0
X=nA+e
n=0の時, X=e∈D₂
n≠0の時, A∈D₁⇒X∈D₂
XはAを原点中心にn倍した後、右に1だけ平行移動した図形を表す
n<0⇒X∈x≦0の部分 y軸の左側なので成り立つ。n≧2⇒幾何学的に明らか。n=1⇒(1, 0)を調べて成り立つことが確かめられる。

**名無しなのに合格** · 2023/04/25(火) 17:24:12.50

【32】
(1) 1、1、2、2、2、2、3、3、3、3、3 3=28
k+0.5<y<k+0.5→k
k(k-1)+1≦x≦k(k+1)→y=kが2k個
∑[k=1, 3]2k²=2+8+18=28
y²=(k±0.5)²=k²±k+0.25となることは無い。
(2) x=y²、1≦x≦2020
∑[k=1, 44]2k²+45×40
=2×44×45×89/6+1800
=44×15×89+6000=60540

**名無しなのに合格** · 2023/04/25(火) 17:31:22.21

k群はk²個の項を含む
1500
∑k²=n(n+1)(2n+1)/6≒n³/3=1500
n=16とすると
16×17×33/6=8×17×11=1496
第17群の第4項。
概算して微調整でOK。

**名無しなのに合格** · 2023/04/26(水) 01:55:00.49

【33】
(1) n=1の時, (1, 1/2)となる。
(2) n=2の時, (1/2, 1/8)
(aₙ, aₙ²/2)とすると
1/√bₙ₊₁=1/√bₙ+√2
aₙ=2√bₙ/2=√2bₙよりbₙ=aₙ²/2
1/aₙ₊₁=1/aₙ+1
逆数が等差数列。aₙ=1/n
cₙ₊₁=cₙ+1、c₁=1よりcₙ=n、aₙ=1/n

**名無しなのに合格** · 2023/04/26(水) 10:10:31.71

例4
1/√r₃=1/r₂+1/√r₁より
q₃=q₁+q₂、q₁=1、q₂=2より
q₃∈ℤ
q₀=1∈ℤ。

**名無しなのに合格** · 2023/04/26(水) 10:16:50.91

例3
内接円r=√6a/12
√6/3→√6/6と1/2倍になる
rₙ=(1/√6)(1/2)ⁿ

**名無しなのに合格** · 2023/04/26(水) 10:49:33.25

例1
aₙ=2ⁿ-1
A(n+1)+B=2An+2B+3n
A=-3、B=-3
aₙ=f(n)=2ⁿ
aₙ=2ⁿ-3n-3

A3ⁿ⁻¹
A3ⁿ=2A･3ⁿ⁻¹+3ⁿ、3A=2A+3、A=3
aₙ=3ⁿ
logaₙ₊₁=log3+2logaₙ、log3
bₙ=まlog3+2ⁿlog3=(2ⁿ-1)log3
aₙ=3^(2ⁿ-1)

aₙ=1/(2ⁿ-1)
α=2、Β=3、1, 5
aₙ=3ⁿ-2ⁿ

**名無しなのに合格** · 2023/04/26(水) 11:19:59.12

例2
n≥2、0<pₖ<1の時,
1-∑[k=1, n]pₖ<Π[k=1, n](1-pₖ)
n=2の時, 1-a-b<(1-a)(1-b)
⇔1-a-b<1-a-b+ab⇔ab>0より成り立つ。
nの時, 成り立つと仮定すると
P(n)<Q(n)
両辺に1-cを掛けると
Q(n+1)>(1-c)(1-S(n))=1-S(n)-c+cS
=1-S(n+1)+cS=P(n+1)+cS(n)>P(n+1)

**名無しなのに合格** · 2023/04/26(水) 12:12:19.81

1-S<Π(1-p)
1-p=qとおくと0<q<1
1-n+T(n)<Π⇔Π-∑+n-1>0
∑-Π>n-1、∑>Π+(n-1)
∑/n>(1-1/n)+Π/n
∑-Π-n+1>0

**名無しなのに合格** · 2023/04/26(水) 14:17:37.98

【34】
1、4、
2, 1、
4, -1
aₙ₊₁-kbₙ₊₁=l(aₙ-kbₙ)とおくと
2-4k=l、1+k=-kl、1+k=-k(2-4k)
4k²-3k-1=0、k=1, -1/4、l=-2, 3
aₙ-bₙ=(-2)ⁿ⁻¹(a₁-b₁)=-3･(-2)ⁿ⁻¹
aₙ+bₙ/4=3ⁿ⁻¹(a₁+b₁/4)=2･3ⁿ⁻¹

aₙ=(-3(-2)ⁿ⁻¹+8･3ⁿ⁻¹)/5
≡-3･3ⁿ⁻¹+8･3ⁿ⁻¹/5=3ⁿう
aₙ∈ℤより16|aₙ⇔16|5aₙ
⇔16|8･3ⁿ⁻¹-3(-2)ⁿ⁻¹
n≧5とすると16|8･3ⁿ⁻¹が必要だがこれは不可能。
n=1, 2, 3, 4を調べると
5、30、60、240
→1、6、12、48よりn=4のみ。

bₙ=(8･3ⁿ⁻¹+12(-2)ⁿ⁻¹)/5
≡8+12/5=4

**名無しなのに合格** · 2023/04/26(水) 14:49:32.30

例1
5, 3、5, 3、3, 5
aₙ+bₙ=8ⁿ、aₙ-bₙ=2ⁿ
aₙ=(8ⁿ+2ⁿ)/2、bₙ=(8ⁿ-2ⁿ)/2

**名無しなのに合格** · 2023/04/26(水) 15:40:50.73

例2
a₁=1/3、aₙ₊₁=aₙ/3+1
3ⁿaₙ∈ℤ ∧ 3ⁿ⁻¹aₙ∉ℤ
aₙ=3/2+(1/3)ⁿ⁻¹(-7/6)
=(3ⁿ⁺¹+7(-1)ⁿ)/2･3ⁿ
3ⁿaₙ=(3ⁿ⁺¹+7(-1)ⁿ)/2=偶数/2∈ℤ
≡(1+1)/2≡0/2=0 mod 2
3ⁿ⁻¹aₙ=(3ⁿ⁺¹+7(-1)ⁿ)/6
分子≡(-1)ⁿ=1, 2≢0 mod3
より∉ℤ

**名無しなのに合格** · 2023/04/26(水) 16:05:39.35

例3
Fibonacci数列
(1)
1, 1, 2, 3, 1, 0,
1, 1,
a₆₀≡0 mod4
(2) mod10で考える。
7, 9, 3, 1,
7, …より
7⁴⁰≡1 mod10

**名無しなのに合格** · 2023/04/26(水) 16:31:56.29

【35】
a₁=1、aₙ₊₁=3Sₙ/n
(1) 1、3、6、10、15、21
aₙ=1+2+…+n=n(n+1)/2
(2) n=1～6までは正しい。
n=kの時, 正しいと仮定すると
Sₙ=∑[k=1, n]k(k+1)/2=n(n+1)(n+2)/6
aₖ₊₁=3Sₖ/n=(k+1)(k+2)/2となりn=k+1の時も正しい。

**名無しなのに合格** · 2023/04/26(水) 16:50:31.35

例1
(1/2)(【/2-1/(n+1)(n+2))
=n(n+3)/4(n+1)(n+2)
√(n+1)-1
k･k!=(k+1-1)k!=(k+1)!-k!より
(n+1)!-1
k/2ᵏ=Sとおくと2S=∑
S=1/2+2/2²+3/2³+…+n/2ⁿ
2S=1+2/2+3/2²+…+n/2ⁿ⁻¹
S=1+(1/2)+(1/2)²+…+(1/2)ⁿ⁻¹-n/2ⁿ
=2-(1/2)ⁿ⁻¹-n/2ⁿ
=2-(n+2)/2ⁿ

**名無しなのに合格** · 2023/04/26(水) 17:20:22.30

例3
aₙ₊₁=(n+1)aₙ、a₁=1
aₙ=naₙ₋₁=n! (n≧1)
aₙ₊₁=n/(n+2)aₙ、a₁=1
aₙ=(n-1)/(n+1)×(n-2)/n××1/3
=2(n-1)!/(n+1)!=2/n(n+1)
naₙ₊₁=2(n+1)aₙ+n(n+1)、a₁=1
bₙ₊₁=2bₙ+1、b₁=1
bₙ=2ⁿ-1、aₙ=n(2ⁿ-1)
aₙ₊₁=(n+1)aₙ-n、a₁=1
aₙ=naₙ₋₁-(n-1)
aₙ-1=n(aₙ₋₁-1)=n!(1-1)=0よりaₙ=1
bₙ₊₁=bₙ-n/(n+1)!
bₙ=b₁-1+1/n!よりaₙ=1

**名無しなのに合格** · 2023/04/26(水) 18:07:14.00

例1
A=(2+√3)ⁿ=aₙ+bₙ√3
B=[(2+√3)ⁿ]=2aₙ-1
(2-√3)ⁿ=aₙ-bₙ√3となる
(-√3)ᵏにおいてkが偶数の時
符号は+、√は消える→+aₙ
kが奇数の時,
符号は-、√3が残る→-bₙ
ここで0<B<1、A+B=2aₙ∈ℤより
[A]= 2aₙ-1となる。

**名無しなのに合格** · 2023/04/26(水) 19:12:47.27

【36】
x²-x-1=0、Fibonacci数列
α+Β=1、αΒ=-1
α²+β²=1+2=3、α⁰+β⁰=2
(2) Lᵢ∈ℤ (i=0, 1, 2, n)の時,
Lₙ₊₁=αⁿ⁺¹+βⁿ⁺¹=(αⁿ+βⁿ)(α+β)
-αⁿβ-βⁿα→-αβ(αⁿ⁻¹+βⁿ⁻¹)より成り立つ。
(3) Lₙ=[αⁿ+1/2]
α=(1+√5)/2、β=(1-√5)/2
0<|β|<1より0<|β|ⁿ⁺¹<|β|ⁿ<1
すなわちβⁿのNorは単調減少。
nが偶数の時, Lₙ=αⁿ+βⁿ
0<βⁿ<1/2より-1/2<-βⁿ<0、
Lₙ-1/2<αⁿ<Lₙ 、Lₙ<αⁿ+1/2<Lₙ+1/2
∴Lₙ=[αⁿ+1/2]
-1/2<βⁿ<0の時, すなわちnが奇数の時, 0<-βⁿ<1/2、Lₙ<αⁿ<Lₙ+1/2
Lₙ+1/2<αⁿ+1/2<Lₙ+1
∴Lₙ=[αⁿ+1/2]となる。

まとめると-1/2<βⁿ<1/2 (n≧2)
∴-1/2<-βⁿ<1/2、各辺にLₙ+1/2を加えると
Lₙ<αⁿ+1/2<Lₙ+1
∴[αⁿ+1/2]=Lₙとなる。

**名無しなのに合格** · 2023/04/26(水) 20:39:59.15

相加平均≧調和平均より
Sₙ/n≧n/Tₙ、ST≧n²
n²個の項のうちn項は1
n(n-1)項は2√a×1/a=2の形なので
n×1+n(n-1)/2×2=n²となる。
等号成立はaᵢが全て等しい時
S=na、T=n/aよりST=n²
S<n ∧ T<nとするとST<n²となり矛盾

**名無しなのに合格** · 2023/04/26(水) 20:50:21.06

例1
1/a+1/b+1/c≧9/(a+b+c)
⇔S₃/3≧3/T₃⇔A₃≧H₃
1×3+6/2×2=9
等号成立はa=b=cの時

**名無しなのに合格** · 2023/04/26(水) 21:07:14.83

例2
a>2、b>2、c>2
abc>a+b+c+2
(a-2)(b-2)(c-2)>0
A=a-2、B=b-2、C=c-2とおくと
A, B, C>0、
与式⇔(A+2)(B+2)(C+2)>A+B+C+8
⇔ABC+2(AB+BC+CA)+3(A+B+C)>0
これは自明。

**名無しなのに合格** · 2023/04/26(水) 22:08:19.65

例3
a₁>0、a₂>0、b₁²-a₁c₁<0、
b₂²-a₂c₂<0の時,
(b₁+b₂)²-(a₁+a₂)(c₁+c₂)<0

a₁x²+2b₁x+c=0、x∉ℝ
a₂y²+2b₂y+c₂=0、y∉ℝ
(a₁+a₂)z²+2(b₁+b₂)z+(c₁+c₂)=0、z∉ℝ
y=f(x)は∀x、f(x)>0
y=g(x)も∀x、g(x)>0
ここでy=f(x)+g(x)を作ると
∀x、y>0であるから題意は成り立つ。

**名無しなのに合格** · 2023/04/26(水) 22:58:15.13

例3
(∑ab)²≦(∑a²)(∑b²)
コーシーシュワルツの不等式
(a･b)²≦|a|²|b|²
∑[i]∑[j](abⱼ-aⱼbᵢ)²≧0
等号成立a∥b∨a=0∨b=0

∑(aᵢx+bᵢ)²≧0⇔
(∑a²)x²+2(∑ab)x+(∑b²)≧0
D/4=(∑ab)²-(∑a²)(∑b)≦0

**名無しなのに合格** · 2023/04/26(水) 23:06:01.18

例4
拙論を否定すると
|Πsc|>(1/2)ⁿ
(1/2)ⁿ|Πsin(2x)|>(1/2)ⁿ
|Πsin2x|>1
これは不合理。

**名無しなのに合格** · 2023/04/27(木) 10:41:27.33

例1
a∈ℝ⁺、x²-3x-a²-a+2=0
D=9+4(a²+a-2)≧0
の下でx=(3±√D)/2の取り得る値の範囲
4a²+4a+1=(2a+1)²≧0
これは常に成り立つ。
x=(3±(2a+1))/2=a+2、-a+1
a+2>2または-a+1<1
x<1、2<x

**名無しなのに合格** · 2023/04/27(木) 10:49:25.32

例2
a∈ℝ⁺、
x²-ax-a=0⇔x²=a(x+1)
a>0よりx≠0、x>0は全て取り得る
-1<x<0も全て取り得る。
-1<x<0、0<x

**名無しなのに合格** · 2023/04/27(木) 11:15:10.56

例3
a∈ℝ⁺、x²-ax+a²/2-1=0
D=a²-2a²+4≧0⇔-2≦a≦2
a>0より0<a≦2
x=(a±√D)/2
a=2cosθ (0≦θ<π/2)とおけて
x=cosθ±sinθ=(c, s)･(1, 1)
(c, s)･(1, -1)
1≦x≦√2、-1<x≦1
よって-1<x≦√2

**名無しなのに合格** · 2023/04/27(木) 11:39:10.07

例3
x²+xy+y²=1、x, y∈ℝ
yの実数解条件として
D=x²-4(x²-1)≧0
これ以外に条件は無いから
-2/√3≦x≦2/√3

**名無しなのに合格** · 2023/04/27(木) 12:19:46.75

例4
y=tx+t²、t∈ℝ
tの実数解条件、y≧-x²/4
包絡線
t²とtxを回収する
(t+x/2)²-x²/4=y
y=-x²/4+(x+2t)/4
y=-x²/4のx=-2tにおける接線の方程式
y=ax²、x=tにおける接線は
y=2atx-at² ⇔ a(x-t)²+y-ax²=0
y=ax²-a(x-t)²
a>0⇒下側、a<0⇒上側

**名無しなのに合格** · 2023/04/27(木) 12:32:26.15

例5
y=(2x+1)/(x²+1)
x∈ℝ、y=0、
y≠0の時、yx²-2x+(y-1)=0
D/4=1-y(y-1)≧0
y²-y-1≦0、(1-√5)/2≦y≦(1+√5)/2
(y=0も含める)

**名無しなのに合格** · 2023/04/27(木) 12:44:42.36

例7
x=t²+1、y=t⁴、t∈ℝ
t²≧0よりx=t²+1≧1
t²=x-1≧0をy=t⁴に代入すると
放物線 y=(x-1)² (x≧1)
存在条件込みで文字を消去する。
存在条件は残す。

**名無しなのに合格** · 2023/04/27(木) 13:44:42.73

【44】
a²x³+x-a=0
(1) x=1/2の時のaの値
a²/8+1/2-a=0、a²-8a+4=0
a=4±2√3
(2) a∈ℝ⁺の時, 実数解xの取り得る範囲
a(ax³-1)=-x
=a(ax³-1)=f(x)とy=-xとの交点
A (1/³√a, 0)、B (0, -a)
f(x)は単調相加関数だから第4象限に1つだけ解を持つ。
a→+∞でA→O、B→-∞
a→、+0でA→∞、B→O
a=1でA→1、B→-1
x³a²-a+x=0、a>0
x=0とすると-a=0、a=0となり矛盾
よってx≠0である。
D≧0∧α+β>0∧αβ>0
⇔1-4x⁴≧0∧1/x³>0∧1/x²>0
よって0<x≦1/√2

**名無しなのに合格** · 2023/04/27(木) 14:09:17.91

x²+y²+z²=1、
(1) 相加相乗平均の不等式より
³√x²y²z²≦(x²+y²+z²)/3=1/3
∴|xyz|≦1/3√3
等号成立はx=y=z=1/√3の時
x=y=z=-1/√3とすると最小値が求まる。M=1/3√3、m=-1/3√3
(2) コーシーシュワルツの不等式より
(x+y+z)²≦(1+1+1)(x²+y²+z²)=3×1
よってM=√3、m=-√3

(3) 9/2、6の時, xyzのMとm
t³-9/2t²+6t-a=0
極値の間。
y'=3t²-9t+6=3(t²-3t+2)=0、t=1, 2
2≦a≦5/2、M=5/2、m=2

**名無しなのに合格** · 2023/04/27(木) 15:58:48.60

【43】
x+y+z=1、0<x, y, z<1、
0<x+y+z=t<3
(1) △APR=x(1-z)S
△APR=△ABC×(AP/AB)(AR/AC)
=x(1-z)S
(2) △PQR=S-x(1-z)S-y(1-x)S-z(1-y)S
=(1-x-y-z+xy+yz+zx)S
t=x+y+zを固定した時の最大値を求める。xy+yz+zx=(x+z)(t-x-z)+xz
xの関数と見る。
=t(x+z)-(x+z)²+xz
-x²+(t-z)x-z²+tz
2x=(t-z)、2x+z=t
これはx=yを意味する。従って任意のxに対してこの値を取り得る。
z=t-2xでzを消去出来て
xy+yz+zx=x²+2x(t-2x)
=-3x²+2tx
6x=2t、x=t/3。よってx=y=z=t/3
の時, 、最大値を取る。
M(t)=(1-t+t²/3)S
x=0とすると-z²+tz
z=0として0、z=1として
(3) 2t/3=1、t=3/2の時, M=1/4
それぞれの中点の時。
最大値の最小値は1/4
最大値はS (t=0, 3の時)、これは取り得ない。
x=(t-z)/2よりx=yが導かれる
x消去の後、t=3/2が導かれる
x=y=z=1/2 即ち各辺の中点の位置
1-t-+(t-x-z)(x+z)+xz
x=0とすると1-t+(t-z)z=-z²+tz-t+1
z=0とすると1-t
t=1とすると0S。010→ACC
t=0とすると1S。
z=1とすると0。0t1→AQA
0t1、10t、t10、10tの巡回置換。
頂点が重なる時のみ, S=0S
頂点が全体としてABCと一致するときS=1S。
これらは除外されている。
PQR→AQA、BBR、PCC→0S
PQR→ABC、BCA→1S

**名無しなのに合格** · 2023/04/28(金) 00:38:30.38

【37】
f(x)=x³、g(x)=ax²+bx+c
(1/2, 1/8)で共通の接線を持つ。
h(x)=f(x)-g(x) [0, 1]
(1) y'=3x²、y=3x/4-1/4
y'=2ax+b=a+b=3/4、
a/4+b/2+c=1/8、a/2+b+2c=1/4
a/2-2c=1/2、c=a/4-1/4、
b=3/4-a
(2) 極値と端点
h=x³-ax²-(3/4-a)x+(1-a)/4
=(x-1/2)²(x+1-a)
h(α)=(2a/3-1)²(-a/3+1/2)
=-4/27(a-3/2)²(a-3/2)
=-4/27(a-3/2)³
引かずに足すことに注意。
h(0)=(1-a)/4、h(1)=(2-a)/4
h(0)<h(1)は常に成り立つ。
h(1/2)=0 (a<3/2の時)
h(α)=-4/27(a-3/2)³ (3/2<a<9/4)
α=2a/3-1/2
1≦aの時, h(0)=(1-a)/4
a≦1の時, h(1/2)=0
-0→1/16、-1/8→-5/16

**名無しなのに合格** · 2023/04/28(金) 11:07:11.50

f(x)=(x-1/2)²(x-(a-1))
f'(x)=3(x-1/2)(x-(2a/3-1/2))
f(α)=-4/27(a-3/2)³、f(1/2)=0
f(0)=(1-a)/4<f(1)=(2-a)/4
f(1/2)=0 (a<3/2の時)
f(α)=-4/27(a-3/2)³ (3/2<a<9/4)
1≦aの時, h(0)=(1-a)/4
a≦1の時, h(1/2)=0
-0→1/16、-1/8→-5/16

**名無しなのに合格** · 2023/04/28(金) 13:22:22.23

例1
y=x³+2ax²-3a²x-4、
y=ax²-2a²x-3a
f'(t)=3t²+4at-3a²、g'(t)=2at-2a²
f(t)=t³+2at²-3a²t-4、
g(t)=at²-2a²t-3a
3t²+2at-a²=(3t-a)(t+a)=0、t=-a, a/3
t³+at²-a²t+3a-4=0
(1) a³+3a-4=0、(a-1)(a²+a+4)=0、a=1
(2) a³/27+a³/9-a³/3+3a-4=0
5a³-81a+108=0、
(a-3)(5a²+15a-36)
a=1、3、(-15±3√105)/10

**名無しなのに合格** · 2023/04/28(金) 16:21:22.85

例2
f(x)=x³+3x²-6ax+1
[-1, 1]における最小値
f(1)=5-6a、f(-1)=6a+3、端点
f(1)<f(-1)⇔ a>1/6、
f(1)>f(-1) ⇔ a<1/6
f'(x)=3x²+6x-6a=0、
x²+2x-2a=0、x=-1±√D
D≦0、a≦-1/2の時, f(0)。
D=1+2a>0の時、
f(α)=3(2a+1)-2(2a+1³ᐟ² (-1/2<a<32)
<f(-1)は常に成り立つ
f(1)=5-6a=-3(2a+1)+8
f(α)=3t²-2t³、f(1)=-3t²+8 (0<t<2)
t³-3t²+4=(t+1)(t-2)²>0

(2a+1)(3-2√(2a+1) (-1/2≦a≦3/2)
6a+3 (a≦-1/2)
-6a+5 (3/2≦3/2)

**名無しなのに合格** · 2023/04/28(金) 17:22:46.79

例3
f(x)=x³-3x [a, a+1]
f'(x)=3x²-3=0、x=±1
(-1, 2)、(0, 0)、(1, 0, -2)
f(a)≧f(a+1)⇔
a³-3a≧(a+1)³-3(a+1)
3a²+3a-2≦0
(-3-√33)/6≦a≦(-3+√33)/6
a≦1≦a+1⇔0≦a≦1
f(a)≧-2⇔a³-3a+2≧0
(a+2)(a-1)²≧0、a≧-2で成り立つ
f(a+1)≧-2⇔a≧-3で成り立つ
よって
0≦a≦1の時, -2
(-3-√33)/6≦a≦0の時,
f(a+1)=a³+3a²-2
a≦(-3-√33)/6、1≦aの時,
f(a)=a³-3a
左に1だけ平行移動したもの
交点で下側に乗り換える
0≦a≦1ではb=-2に乗る
グラフをイメージする

**名無しなのに合格** · 2023/04/28(金) 18:34:51.45

【38】
(a, b)は曲線上または変曲点における接線上の点である。ただし変曲点は除く。
y=x³-x、変曲点は原点。
y=-x上の点(a, -a) a≠0
y'=3t²-1=1とおくとt=±√2/3
x=√2/3、y=-√2√3
y=x-4√2/3√3
±2√6/9、-x

(3a²-1)(3t²-1)=-1
b=a³-a、t³-t
y=(3a²-1)x-2a³
b=(3t²-1)a-2t³=a³-a
3t²a-2t³=a³
a³-3t²a+2t³=0
(a-t)²(a+2t)=0
a=-2t
(3t²-1)(12t²-1)=-1
36t⁴-15t²+2=0
(6t²5/4)²+7/16>0
D=225-288<0よりtは存在しない。

(a, a³-a)、y=(3t²-1)x-2t³
a³-a=(3t²-1)a-2t³=3t²-2t³=a³
a=t、-2t
変曲点を持つ3次関数のグラフの接線は同じ曲線の変曲点に関して対称である点の2倍の所で交わる
接点までの距離は交点までの距離の半分。距離と言ってもx座標で測る。

**名無しなのに合格** · 2023/04/28(金) 18:56:53.50

例
y=x⁴-2x³+x²+x-(ax+b)
=(x-α)²(x-β)²と置ける
複接線、二重接線
2(α+β)=2、α+β=1
α²+β²+4αβ=1、αβ=0、0と1
2α²β+2αβ²=a-1、a=1
α²β²=-b、b=0
交互に-+-+…
y=x

**名無しなのに合格** · 2023/04/28(金) 19:10:14.43

例
y=x³-2x²+x+2、y=x²+x-2
x³-3x²+4=(x+1)(x²-4x +4)=0
x=2、-1
3⁴/12=27/4
at³/6、at⁴/12、at⁵/30
a(β-α)ᵐ⁺ⁿ⁺¹m!n!/(m+n+1)!

**名無しなのに合格** · 2023/04/28(金) 20:34:49.37

【39】
y=x²、(x-a)²+(y-2)²=a²+4>0
x²-2ax+x⁴-4x²=0
yを消去
xに重解は無い
x=0、x³-3x=2a→①
①がx≠0の相異なる解を持つ
-2<2a<2 ∧ 2a≠0、
-1<a<1、a≠0
中心(a, 2)
(x-1)²+(y-2)²=5～x²
+(y-2)²=4

(x-a)²+(y-2)²=a²+4
(x-a-b)²+(y-2)²=(a+b)²+4
2bx=0
b>0としてx=0、y=0, 4
(0, 0)と(0, 4)は全ての円群が共有する。それ以外に共有点は無い。

**名無しなのに合格** · 2023/04/28(金) 20:54:42.78

例
0<t<1、y=tx-t²
y=x²/4-(t-x/2)²=x²/4-(x-2t)²/4
これはy=x²/4にx=2tで接する直線
包絡線。

**名無しなのに合格** · 2023/04/28(金) 22:07:51.06

例3
(a-b)(β-α)³/6
a(β-α)³/3
公式は使えない
(x²/2+x-x³/3)
(3+√5)/4+(1+√5)/2
-(1+3√5+15+5√5)/24
18+12-16
6+12-8
(7+5√5)/12

**名無しなのに合格** · 2023/04/29(土) 00:13:18.49

【40】
f(1)=∫[0, 1] |2t²-3t+1|dt
(2t-1)(t-1)
F(t)=2t³/3-3t²/2+t
2F(1/2)-F(0)-F(1)
=2(1/12-3/8+1/2)-(5/3-3/2)
=1/6-3/4+1-5/3+3/2え
=2-9+12-20+18/12=1/4

(2) [1≦x≦2、
f(x)=∫[0, 1] |2t²-3xt+x²|dt
(2t-x)(t-x)
2F(x/2)-F(0)-F(1)
2(x³/12-3x³/8+x³/2)-(2/3-3x/2+x²)
=x³/6-3x³/4+x³-2/3+3x/2-x²
=5x³/12-x²+3x/2-2/3
25/16-7/3+9/4-2/3=13/16
(3)
-1≦x≦3、0≦t≦1
-1≦x≦0の時, (t-x)(2t-x)=2t²-3tx+x²
x²-3x/2+2/3 [-1, 0] [2, 3]
1/3+3/4+2/3=7/4
19/3-15/4+2/3=13/4、足して5
93/16

≦x≦1の時
0≦t≦x/2、x/2≦t≦x、x≦t≦1
2F(x/2)-2F(x)+F(1)
(2t-x)(t-x)
2t³/3+x²t-3xt²/2

x³/12+x³/2-3x³/8=5x³/24→5x³/12
2/3+x²-3x/2→F(1)
x³/6→-x³/3
x³/12+2/3+x²-3x/2
1/48+1-3/4=13/48、73/12

**名無しなのに合格** · 2023/04/29(土) 00:45:20.70

例
∫ [x, x+2] |t-x²| dt
x²≦x⇔0≦x≦1の時,
t²/2-x²t→2x+2-2x²=-2x²+2x+2

x≦x²≦x+2⇔(x≦0∨1≦x)∧-1≦xの時, 2F(x²)-F(x)-F(x+2)
2(x⁴-x⁴/2)-(x³-x²/2)-(x²(x+2)-(x+2)²/2)
x⁴-x³+x²/2-x³-2x²+(x+2)²/2
x⁴-2x³-x²+2x+2
≦2⇔-1≦x≦0∨1≦x≦2

x+2≦x²⇔x≦-1∨2≦xの時,
x²t-t²/2→2x²-2x-2

**名無しなのに合格** · 2023/04/29(土) 02:03:24.92

【41】
P(x, x²)、A(0, a)、a>0
PA²=x²+(x²-a)²
x²=tとおくとt≧0
t+(t-a)²=t²+t-2at+a²
=(t-(a-1/2))²+a²-(a-1/2)²
t=a-1/2となる時, 最小値√(a-1/4)
a>1/2の時, ±√(a-1/2), a-1/2
a=1/2の時, 原点
a<1/2の時, t=0、原点。

-3/4、y=2tx-t²、t=±√3/2=±√(a-1/2)
3/4=a-1/2、a=5/4、r=1
x²+(y-5/4)²=1

√3/2-π/3+√3/4=3√3/4-π/3

**名無しなのに合格** · 2023/04/29(土) 02:07:21.79

例
a=r=1/2

**名無しなのに合格** · 2023/04/29(土) 11:27:06.35

例
(a, 1/2)、r=1/2
y=-x/2t+1/2+t²が中心を通る
0=-a/2t+t²、a=2t³
(t-a)²+(t²-1/2)²=1/4
(t-2t³)²+t⁴-t²=0
(1-2t²)²+t²-1=0
4t⁴-3t²=0、t=±√3/2
T (√3/2, 3/4)、A (3√3/2, 1/2)
9√3/32-π/12

**名無しなのに合格** · 2023/04/29(土) 12:20:34.22

【27】
|a+b+c+d|²=|a+b|²+|c+d|²
(a+b)･(c+d)=0
(2) a+bは全文ABを対角線とする平行四辺形の別の対角線
PQ⊥PR
AB、CDの中点をM, Nとすると
PM⊥PN
MNを直径とする円。
(3) MN=0すなわちM=N
よって平行四辺形になる。
M=Nの時, P=M=N。
M≠Nの時, P≠M∧P≠N⇒円弧
P=M⇒成り立つ
P=N⇒なりたつ

**名無しなのに合格** · 2023/04/29(土) 13:51:28.46

(1) 2ap-a²-ab=0
a(2p-a-b)=0
a･(p-m)=0
OA⊥MP
OAにMから下ろした垂線
(2) ap+a²≧0
a(a+p)≧0
(a+p/2)≧
|p|≦|p+2a|
-2OA=CとするとOCの垂直2等分線のO側の領域

(3) p²-ap-3a²/4=0
|p-a/2|=|a|
OAの中点を中心とする半径OAの円。
始点Oが固定されてないと解けない。
(4) p²-(a+b)p≦0
p(p-(a+b))≦0
OP･NP≦0⇔PO･PN≦0
2OM=ONとすると
ONを直径とする円の内部、周を含む。注意。

**名無しなのに合格** · 2023/04/29(土) 16:35:12.29

【28】
a, b, c≧0 A(a, 0) B(0, b) C(1, c)
(1-a, c)･(1, c-b)=1-a-bc+c²=0
(1) a-1=-bc+c²=c(c-b)、c=1/√3
∠B=30、∠A=60、∠C=90
cB=√3CA
0≦b≦4/√3、0≦a≦4/3、c=1/√3
1-a-bc+c²=0、a=4/3-b/√3
AB²=a²+b²=b²/3-8b/3√3+16/9+b²
=4b²/3-8b/3√3+16/9
=(2b/√3-2/3)²+4/3
a=0, b=√4/√3→M=4/√3
a=1、b=√3/3→m=2/√3

**名無しなのに合格** · 2023/04/29(土) 17:01:08.24

例
a, b>0、A(a, 0), B(0b, b)
BC=R(60)BAより
C=B+(1/2+√3i/2)(a-bi)
=bi+a/2+√3b/2+i(-b/2+√3a/2)
(a/2+√3b/2, b/2+√3a/2)
(1/2)(a+√3b, b+√3a)
|(a, b)|=LとするとMC=(√3/2)L
OC=OM+MC=OM+(√3/2)(b, a)
(a, b)/2+√3(b, a)/2
=(a+√3b, b+√3a)/2

**名無しなのに合格** · 2023/04/29(土) 18:25:58.38

例
a=(1, 1, 1)、
b=(1, 4, -2)、
c=(-3, -6, 6)
|xa+yb+c|
原点Oとの距離の最小値。
a×b=(-6, 3, 3)∥(2, -1, -1)=nとする
n･x=n･aより2x-y-z=-6、6/√6=√6
x+y-3、x+4y-6、x-2y+6
(c･n)n/|n|²=-n=(-2, 1, 1)
x+y=1、x+4y=7、x-2y=-5
x=-1、y=2、L=√6

**名無しなのに合格** · 2023/04/29(土) 22:37:28.81

【29】
MはBCの中点、LはABを1: 2
NはOCをt: 1-t
PはAMとCL、QはOPとLN
a=1の正四面体。
(1) a+t(b/2+c/2-a)=c+s(2a/3+b/3-c)
1-t=2s/3、t/2=s/3、t/2=1-s
t=2s/3でtを消去すると
s=3/4、t=1/2
p=a/2+b/4+c/4(2a+b+c)/4
6ℤ5→√11/4
(2) s(a/2+b/4+c/4)
=L+uLN=(2a/3+b/3)(1-u)+utc
s/2=(1-u)2/3
s/4=(1-u)/3=ut、s/4=ut
1-u=3ut、u=1/(3t+1)
s=4ut=4t/(1+3t)
OQ=t/(3t+1)×(2a+b+c)=α√11
t/(3t+1)<1/4⇔4t<3t+1⇔t<1

(3) △QOC=△QAM
(√11/4-α√11)4√2/√33×√3/2
=α√11(√19/2√11)

(1/4-α)4√2=√2-4√2α=√19α
α=√2/(4√2+√19)=t/(3t+1)
√2(3t+1)=(√2+√19)t=√2
t=√2(√19-√2)/17=(√38-2)/17

**名無しなのに合格** · 2023/04/29(土) 23:27:17.47

【30】
-x+y+z=2、D(2, -1, 0)
(1) HD=(AD･n)n/|n|²
OH=OD+DH
=(2, -1, 0)-(4, -1, 0)･(-1, 1, 1)n/3
=(2, -1, 0)+(5/3)n
=(1, 2, 5)/3
(2) 2(-1, 1, 1)/3、r=2√2/√3=2√6/3
(3) DP最小⇔HP最小
PH=(3, 0, 3)/3、円の内部にある
(-2, 2, 2)/3+(2√3, 0, 2√3)/3
(-2+2√3, 2, 2+2√3)/3

**名無しなのに合格** · 2023/04/30(日) 00:36:23.28

【31】
BCDに関する対等性により
l=m=n
(l-1)、m, n
l, m-1, n、
l, m, n

(l-1)²+m²+²+(l-1)(m+n)+mn=
l²+(m-1)²+n²+l(m-1)(l+n)+lm
-2l+2m-m+l=0、l=m
同様にl=n、m=nとなるので
l=m=n
|BP|=|la+(l-1)b+lc|=√(6l²-4l+1)
2 l²+(l-1)²+2l(l-1)+l²=6l²-4l+1
Aの対称点P、Oの対称点Q
∠PBQのcos
q=(2/3)(a+b+c)
p=a+2(b/3+c/3-a)=(-3a+2b+2c)/3
BP=(-3a-b+2c)/3
BQ=(2a-b+2c)/3
cosθ=(-1-5/2)/9=-7/18

**名無しなのに合格** · 2023/04/30(日) 01:42:57.43

【37】
z⁵=1
z=cos(2π/5)k+isin(2π/5)k
k=0～4

z⁵-1=(z⁴+z³+z²+z+1)
z=1の時, z+1/z=2
0≠1の時, 両辺をz²≠0で割ると
z²+1/z²+z+1/z+1=0
t²+t-1=0、t=(-1±√5)/2

cos4π/5=(-1-√5)/4

**名無しなのに合格** · 2023/04/30(日) 01:59:05.69

例1
z⁶=-1、
(√3±i)/2、±i、(-√3±i)/2
z⁴=16R(120)
z=√3+i、-1+√3i、--√3-i、1-√3i
n乗根は必ず正五角形、正六角形、正四角形(正方形)になる。

**名無しなのに合格** · 2023/04/30(日) 02:14:12.79

例
6、-5、13、-5、6
6t²-5t+1=0、t=1/2、1/3
3x²-x+3=0、x=(1±√35i)/6
2x²-x+2=0、x=(1±√15)/4

**名無しなのに合格** · 2023/04/30(日) 10:17:57.95

例
x≧3とする
n=(1-α)(1-α²)…(1-αⁿ⁻¹)
αⁿ-1=(z-1)(z²-1わ=±1
n≧1でαⁿ=1
zⁿ-1=(z-α)(z-α)…(z-αⁿ⁻¹)(z-αⁿ)
と分解される。
一方zⁿ-1=(z-1)(zⁿ⁻¹+…+z+1)
と分解される。これらは等しいので
∴∑zᵏ k=0→n-1=Π(z-αᵏ) k=1→n-1
z=1とおいてn=Π(1-αᵏ) k=1～n-1
1-cos(2kπ/n)-isin(2kπ/n) k=1～n-1
=2sin²(kπ/n)-2isin(kπ/n)cos(kπ/n)
2sin(2kπ/n)(sin(kπ/n)-icos(kπ/n))
=2sin(kπ/n)R(kπ/n-π/2)
(n-1)π/2-(n-1)π/2=0、R(0)=1

**名無しなのに合格** · 2023/04/30(日) 10:35:41.00

例
距離の積z⁵=1の解として一般性を失わない。
|(z-α)(z-α²)(z-α³)(z-α⁴)(z-α⁵)|
=|z⁵-1|≦|-1-1|=2

**名無しなのに合格** · 2023/04/30(日) 11:27:21.75

例4
α、β=α+α²+α⁴
α ̄=α⁶、2π×6/7≡-2π/7
奇数でも偶数でも実軸対称である
β+β ̄=α+α ̄+α²+α ̄²+α⁴+α ̄⁴
=α+α⁶+α²+α⁵+α⁴+α³
(S+1)(α-1)=0、S=-1
α⁷-1=(α-1)(α⁶+α⁵+α⁴+α³+α²+α+1)

ββ ̄=(α+α²+α⁴)(α⁶+α⁵+α³)
=1+α⁶+α⁴+α+1+α⁵+α³+α²+1
0 6 4 1 0 5 3 2 0
3-1=2
z+z+2=0、z=(-1±√7i)/2
∴√7/2

**名無しなのに合格** · 2023/04/30(日) 23:35:43.99

例6
(z⁷-1)=(z-1)(z⁶+z⁵+z⁴+z³+z²+z+1)
=(z-α⁷)(z-α)…(z-α⁶)

α⁷=1、α≠1
∑ α²ᵏ/(1-αᵏ)
1-(1-α²ᵏ)→1-(1+αᵏ)(1-αᵏ)
1/(1-αᵏ)-()
通分する

x²(1-x²)(1-x³)→1-(1-x²)
→1/L-6+
x⁴(1-x)(1-x³)
x⁶(1-x)(1-x²)
1-(1-α²ᵏ)
-(6-1)=-5
1/(1-α)+1/(1-α⁶)
=1/(1-α⁻¹)=α/(α-1)
=1
1/(1-α²)+1/(1-α⁵)
=α²/(α²-1)=1
1/(1-α³)+1/(1-α⁴)
=α³/(α³-1)=1
3-5=-2

**名無しなのに合格** · 2023/05/01(月) 11:39:11.94

例
α, β, γは全て異なる。
全て0ではない。
積に関して閉じている。
|α|≦|β|≦|γ|としてよい
|α|<1とすると0<|α²|<|α|となるので
1≦|α|
|γ|>1とすると|γ²|>|γ|となり題意を満たさない。よって|γ|≦1
よって|α|=|β|=|γ|=1
偏角をα, β, γとする。
0<α≦2πとする
α, 2α, 3α, 4α
(1) α=2α⇒α=0
(2) 3α=α⇒α=180→不適
(3) 4α=α→0, 120, 240

**名無しなのに合格** · 2023/05/01(月) 11:58:19.29

例
(a, b)=1の時, ∃x, y、ax+by=1
1≦i<j≦bとして
a≦aj-ai<ab
aの倍数、a, 2a, …, a(b-1)はbで割り切れない
よって∀i, j, i≠jに対してai≢aj mod b
よって集合として{k}={ak}
∴∃k、ak≡1 mod b
∴∃y、ax=1-by
ax+by=1

**名無しなのに合格** · 2023/05/01(月) 13:49:56.55

【41】
積について閉じていることから
|z|=1が必要である
最小を|z|<1とすると|z²|<|z|
となり閉じない。
同様に最大を|z|>1とすると
||z²>|z|となり閉じない。よって全ての元は|z|=1になる。
z=R(2kπ/n)、k=1～nは1つの例である。α=R(2π/n)を含む場合はこれが必要かつ十分である。
0<α<2πとなるαは存在する。
α, 2α, …, nα (n≧1)
1≦i≦j≦nとすると
2α≦α(i+j)≦2nα
(n+1)α≦k≦2nα
∀k, ∃i、kα=iα+360n
α=360(n/(k-i))

kα=iα+360nとおけて
α=360n/(k-i)
αはn₁等分点である。n₁<n
するとn₁個で一周する。よって元の個数=位数はn₁であり位数n>n₁に反する。よってαᵏ k=1～nは全て異なりn等分点である。mod nでk=0～n-1
α, 2α, …, nαのうちi≠jに対して
(j-i)α=360nとするとα=360/n₁、
n₁<n隣矛盾。
(n+1)αはkαと等しいがk≧2とすると位数がｎ未満となり矛盾
よって(n+1)α≡α⇔ｎα≡0
α=2π/n、これが正数のうちで最小である。

**名無しなのに合格** · 2023/05/01(月) 14:52:28.96

【40】
△ABC、正△ABD、正△ACE
ABの中点をK、
ACのち中点をL、
DEの中点をM
kLの中点をN、
この時、MN⊥BC

Aを始点として考える。
K=B/2、L=C/2、M=(D+E)/2
N=(K+L)/2=(B+C)/4
AD=R(-60)AB
D=(1/2-√3i/2)B
E=(1/2+√3i/2)C
M=((1-√3i)B+(1+√3i)C)/4
N=(B+C)/4、BC=C-B
MN=N-M=(-√3iB+√3iC)/4
MN=(√3/4)R(π/2)BC

**名無しなのに合格** · 2023/05/01(月) 16:43:08.89

例
△ABC、□ABEF、□BCGH、
□CAIJは正方形。
中心をP, Q, Rとする。
AQPR、AQ⊥PR
Aを始点とする位置ベクトルで考える。
Q=B+BC(1-i)/2=((1+i)B+(1-i)C)/2
=(R(π/4)B+R(-π/4)C)/√2

P=B(1-i)/2、R=C(1+i)/2
PR=(R(π/4)C-R(-π/4))B√2
PR=R(π/2)AQ、これは長さが等しく垂直であることを示す。
PRはAQを90°回転しただけ。

**名無しなのに合格** · 2023/05/01(月) 20:31:20.29

【39】
1/(z+i)+1/(z-i)∈ℝ
z≠±i∧2z/(z²+1)∈ℝ
一般に、z∈ℝ⇔z=z̄
⇔z/(z²+1)=z̄/(z̄²+1)
⇔z̄²+z=z²z̄+z̄、z≠±i
(|z|²-1)(z-z̄)=0
|z|=1またはz=z̄ かつz≠±i
よって実軸または単位円周
但し±iを除く。
w=(z+i)/(z-i)
w(z-i)=z+i
w=1とするとz-i=z+i⇔i=0なり不可
z=i(w+1)/(w-1) ∧ w≠1, 0
(1) z∈ℝの時, z=z̄
(-w̄-1)/(w̄-1)=(w+1)/(w-1)

(-w̄-1)(w-1)=(w+1)(w̄-1)
-ww̄++1=ww̄+-1
2ww̄=2、|w|=1、w≠0, 1
|z|=|i(w+1)/(w-1)|=1 ∧ w≠1, 0
虚軸、原点を除く。
単位円、1を除く。
y軸+単位円\(1, 0)+(0, 0)

**名無しなのに合格** · 2023/05/01(月) 22:09:40.93

例1
∑zᵢ=i、|z|=1の時, ∑|z-zᵢ|²のMaxとMin
与式=∑|zᵢ|²+n|z|²-∑(zz̄ᵢ+zᵢz̄)
=∑|zᵢ|²+++nzi-z̄i
(a+bi)i-(a-bi)i
=ai-b-ai-b=-2b
b=-1の時,z=-i 最大、
b=1の時, z=i 最小

**名無しなのに合格** · 2023/05/01(月) 23:18:38.67

例2
|z|=1、w=(z-i)/(z-i-1)、z≠1+i
z=((1+i)w-i)/(w-1)、w≠1
((1+i)w-i)((1-i)w̄+i)=(w-1)(w̄-1)

ww̄+iw-iw̄=0
(w-i)(w̄+i)=1
|w-i|=1、w≠1
中心i、半径1の円。

**名無しなのに合格** · 2023/05/01(月) 23:50:30.82

例3
arg(z-i)-arg(z-1)=π
A(1)、B(i)、P(z)とすると
BPの偏角はAPの偏角+π
BP=kR(π)AP、k>0
この場合πも-πも同じ
線分AB、両端を除く。

arg(z+1)-arg(z-1)=π/4
A(1)、B(-1)とすると
BP=kR(π/4)AP、k>0⇔おける
見込む角が一定なので円弧を描く。中心-i、半径√2の円の実軸より下の部分。AとBは含まず。

**名無しなのに合格** · 2023/05/02(火) 00:22:42.01

例4
|α-1|=1、|β-i|=1
(1)α+β=cosα+cosφ+1+i(sinθ+sinφ+1)
中心は1+i、半径2の円周の内部。週を含む。

(α-1)(β-1)=R(θ)(R(φ)-1+i)
原点を中心とした半径1+√2の円の内部かつ半径√2-1の円の外部
但し周は含む。

**名無しなのに合格** · 2023/05/02(火) 01:09:38.54

例
|α|≦|β+γ|/2
2|α|+2|β|+2|γ|≦|α+β|+|β+γ|+|γ+α|
よりこの不等式は等式であり
2|α|≦|β+γ|≦|β|+|γ|
|α|≦|β|≦|γ|と仮定して一般性を失わない。すると|α|≦|β|かつ|α|≦|γ|であり|α|=|β|=|γ|となる。
|α+β|=|α|+|β|よりαとβは同じ向きである。よってα=β=γ。偏角が等しい。

**名無しなのに合格** · 2023/05/02(火) 03:45:12.00

【s8】
0, 1
zₙ₊₂=(2+i)zₙ₊₁-(1+i)zₙ
α=1+i
λ²-(1+α)λ+α=0、λ=1, α
zₙ₊₂-αzₙ₊₁=zₙ₊₁-αzₙ=z₂-αz₁=1
zₙ₊₂-zₙ₊₁=αⁿ(z₂-z₁)=αⁿ
izₙ₊₁=αⁿ-1
zₙ=-iαⁿ⁻¹+i

|(√2)ⁿ⁻¹R((n-1)π/4)-1|
|zₙ|≦4
|αⁿ⁻¹-1|≧|α|ⁿ⁻¹-1=(√2)ⁿ⁻¹-1
n=9で15、n=8で√113
n=7で√65、n=6で√41
n=5で5、n=4で√13
n=3で√5、n=2で1、n=1で0

**名無しなのに合格** · 2023/05/02(火) 12:23:29.91

例
長さ1/2倍
→(1, 0)→(1, √3)/4
→(0, 1)/4→(-√3, 1)/16
→(-,1 0)/16→(-1, -√3)64
→(0, -1)/64→(√3, -1)256
1+1/4-√3/16-1/16-1/64+√3/256
75/64-15√3/256
a/(1-r)=256a/255
20/17-√3/17
√3/4+1/4+1/16-√3/64-1/64-1/256
15√3/64+43/256
(4√3/17+5/17)i
20-√3、5+4√3/17

**名無しなのに合格** · 2023/05/02(火) 13:17:54.82

例
ax²+2bxy+cy²2+2dx+2ey+f=0
D=b²-ac>0⇒双曲線
=0⇒放物線、<0⇒楕円
a b d
b c e
d e f
ax+by+d bx+cy+e dx+ey+f
xx、xy、x1
yx、yy、y1
1x、1y、11
対称行列、ᵗA=A、固有値∈ℝ
固有ベクトルは互いに直交する
x²+xy+y²=3
1/4-1<0より楕円。
対称式なので図形を45°回転する
y=xに関して対称。
R(-45)=(1/√2)
1 1
-1 1
P=R(θ)p⇔p=R(-θ)P
逆変換して代入。
x=(X+Y)/√2、y=(-X+Y)/√2
X²+3Y²=6、
a=√6 長半径、b=√2 短半径
-45°回転するとy=xが短軸、y=-xが長軸

**名無しなのに合格** · 2023/05/02(火) 13:41:44.78

例
y=xtanθに関する対称移動
鏡映または折返し。S(2θ)
c s
s -c
P(1, 1)→Q(c2θ+s2θ, s2θ-c2θ)
0≦θ≦π/2 ⇔0≦φ≦π
(c+s, s-c)=√2(cos(φ-π/,4), sin(φ-π/4))=√2(cosx, sinx)
-π/4≦x≦, π/4
半円 x²+y²=2

**名無しなのに合格** · 2023/05/02(火) 15:41:25.48

【36】
9x²+2√3xy+7y²=60
D=b²-ac=3-63=-60<0より楕円。
P=R(θ)p⇔p=R(-θ)Pより
(cX+sY, -sX+cY)
9c²+7s²-2√3sc→6
9s²+7c²+2√3cs→10
18cs-14cs-2√3s²+2√3c²
2√3c2θ+2s2θ=4sin(2θ+π/3)

2θ+π/3=πとおくとθ=π/3
c=1/2、s=√3/2
a=1/10、b=1/6、θ=π/3
X²/10+Y²/6=1、(2c, 0)
2c=2+√10、c=1+√10/2
6x²+10y²=60、(x-2c)²+y²=4

6x²-10(x-2c)²=20
4x²-40cx+40c²+20=0
x²-10cx+5(2c²+1)=0
(x-5c)²=15c²-5
D/4=25c²-10c²-5≧0、c≧√3/3

x=√10cosθ、y=√6sinθ、
0≦θ≦π/2、t>0
L²=f(θ)=(√10cosθ-2t)²+6sin²θ
=g(c)=4c²-4√10tc+4t²+6 (0≦c≦1)
4(c-√10t/2)²+6-6t²
c=√10t/2と、なる時 m=6-6t²=4
t=1/√3、c=√10/2√3は適する。
2t=1.2、√10c=2.9、√10=3.2
√10t/2>1⇔t>2/√10の時
m=g(1)=-4√10t+4t²+6=0
2t²-2√10t+3=0
t=(√10±2)/2
tt²=14-4√10/4=3.5-√10<0.4より不適。∴t=(√10+2)/2は題意を満たす
幾何学的にも妥当。
2t=√10+2、t=(√10+2)/2

**名無しなのに合格** · 2023/05/02(火) 16:45:54.55

例
r=cos(θ+π/4)=c/√2-s/√2
x²+y²=x/√2-y/√2
円 (x-1/2√2)²+(y+1/2√2)²=(1/2)²
r=1/(1+c)、c≠-1、(c, s)≠(-1, 0)
r+x=1
r=1-xよりx≦1
x²+y²=(1-x)²、y²=1-2x、x≦1/2
放物線 x=-y²/2+1/2
x=-r、y=0
r<0として単なる媒介変数表示と考えられる。

**名無しなのに合格** · 2023/05/02(火) 18:02:42.98

例
r>0、0≦θ<2πとする。
r=1+cosθ、r≧0より任意のθに対して矛盾しない。
r=1+c⇔r²=r+xまたはr=0、
(x²+y²-x)²=x²+y²
心臓形。カーディオイド。
r=1+cosθ
f(θ)=f(2π-θ)=f(-θ)ならばx軸対称
g(θ)=g(π-θ)はy軸対称
0≦θ≦π/2⇒r≧0
π/2≦θ≦π⇒r≦0
π≦θ≦3π/2⇒r≧0
3π/2≦θ≦2π⇒r≦0

r>0では動径と同じ向き、
r<0では動径と逆の向き。
θは1234、rは1432の順番に動く。
四葉線
r=sin2θ=2sinθcosθ
0≦θ≦π/4で単調増加。0≦r≦1
π/4≦θ≦π/2で単調減少。
r³=sin2θ=2sc=2xy
(x²+y²)³=4x²y²
r(θ)=r(π/2-θ)
θ→3π/2-θ、θ→5π/2-θ
θ→7π/2-θ

**名無しなのに合格** · 2023/05/02(火) 22:09:04.46

【35】
0<a<1
a²(x²+y²)=(x²+y²-x)²
ar=r²-rc、r=a+c=a+cosθ
(1+a, 0)、(0, a)
(1-a, 0)、(0, 0)、(0, -a)
r<0では逆向きになる
(2) x切片、y切片、概形
(3) a=1/√3、最大最小
1→2の途中→O→4→1→O→3→4
0→ + θ₁→ － θ₂→ +
θ₂=2π-θ
1+a→a→0→1-a→0→-a→1+a
a²(x²+y²)=(x²+y²-x)²
(x+yy')=3(x²+y²-x)(2x+2yy'-1)

y'=0の時、a²x=(x²+y²-x)(2x-1)
x/3=2x³+2xy²-y²-3x²+x
6x³+6xy²-3y²-9x²+2x=0

(6x-3)y²=9x²+2x-6x³=x(-6x²+9x+、る2)
9x²-3(9x²+2x-6x³)≧0
x=0、3x²-9x²-2x+6x³
=6x³-6x²-2x=x(3x²-3x-1)
r=cosθ+1/√3
θは残してよい、rは消去する
x=c²+c/√3=(c+1/2√3)²-1/12
M=1+1/√3、m=-1/12
y=sc+s/√3
y'=c²-s²+c/√3=0とおくと
2c²-1+c/√3=0、2√3c²+c-√3=0
c=(-1±√)/4√3
(√3c-1)(2c+√3)=0
c=1/√3、s=√2/√3の時
M=√2/3+√2/3=2√2/3
または-√3/2、s=1/2
√3/4+3/6=5√312

**名無しなのに合格** · 2023/05/03(水) 23:41:04.58

3
P(x)はn次以上の多項式、
Q(x)=(x+1)ᵏP(x)とする。
Q(x)のn次以下の係数が全て整数
⇒P(x)のn次以下の係数は全て整数

P(x)のn次以下を∑[i=0, n] aᵢxⁱとする。P(x)のn+1次以上の項は問題とは無関係なので全て0閉じて考えてよい。
(x+1)ᵏ=∑ₖCⱼx^j
Q(x)の定数項はa₀、
k≧nの時, x^iの係数は、
a₀ₖCᵢ+a₁ₖC₁+…+aᵢₖC₀∈ℤ
n=1の時, (a₁x+a₀)(x+1)ᵏ
=
(x+1)P(x)=(x+1)∑aₘxᵐ
=∑aₘxᵐ+∑aₘxᵐ⁺¹
=a₀+(a₀+a₁)x+(a₁+a₂)x²+…+
(aₙ₋₁+aₙ)xⁿ+aⁿxⁿ⁺¹∈ℤ
a₀, a₁, …, aₙ∈ℤよりk=1のときは題意を満たす。
kの時成り立つと仮定すると
すなわちQ(x, k)=(x(x+1)ᵏ⁺¹P(x)のn次以下の係数が全て整数と仮定する。b∈ℤᵢ⇒aᵢ∈ℤ∧cᵢ∈ℤを仮定する
Q(x+1)=(x+1)Q(x)=∑bₘxᵐ(x+1)
=b₀+(b₀+b₁)x+…+(bₙ₋₁+b)xⁿ+bₙxⁿ⁺¹
cₘ∈ℤよりbₘ∈ℤなのでaₘ∈ℤとなる。よってk+1の時も成り立つ。
[1][2]により∀n, k∈ℤ⁺に対して題意は成り立つ。n次以下の項の係数が全て整数である多項式全体の集合をℤ[x]とする。
(1) Q₁∈ℤ[x]⇒P∈ℤ[x]は成り立つ。
(2) Qₖ∈ℤ[x]⇒P∈ℤ[x]がなりたつと仮定するとQₖ₊₁P∈ℤ[x]の時
Qₖ₊₁⇔(x+1)Qₖ∈ℤ[x]
⇒Qₖ∈ℤ[x]が示せて、(2)よりP∈ℤ[x]となる。乗って(1)(2)により題意は成り立つ。

**名無しなのに合格** · 2023/05/04(木) 02:56:45.45

∑cx=(∑bx)(∑ax)
b∈ℤである
c∈ℤならばb₀=1より
c₀=a₀b₀=a₀∈ℤとなる
c₁=a₀b₁+a₁b₀=a₀b₁+a₁∈ℤより
k<nのとき
これを繰り返すことにより
i≦kならば
a₀bᵢ+a₁bᵢ₋₁+…+aᵢb₀であるから
aᵢ∈ℤ
a₁bₖ+a₂bₖ₋₁+…+aₖ₊₁b₀よりaₖ₊₁∈ℤ
aᵢbₖ+aᵢ₊₁bₖ₋₁+…+aₖ₊ᵢb₀よりaₖ₊ᵢ∈ℤ
となり成り立つ。
k≧nならば
a₀bᵢ+…+aᵢb₀となる。この場合も同様にaᵢ∈ℤなる。
n=4、k≧nの時、k=4としてよい
a₀b₄+a₁b₃+a₂b₂+a₃b₁+a₄b₀
k=3のとき、4次の係数は
a₁b₃+a₂b₂+a₃b₁+a₄b₀となる
a₀b₄が登場しないが
a₀, …, a₃∈ℤが示されているので
a₄∈ℤも示せる。
a₀b₀、a₀b₁+a₁b₀
a₀b₂+a₁bᵢ+a₂b₀
a₀b₃+a₁b₂+a₂b₁+a₃b₀
aₙ₋ₖbₖ+aₙ₋ₖ₊₁bₖ₋₁+…+aₙb₀

**名無しなのに合格** · 2023/05/08(月) 04:20:40.83

【34】

PF=√5/2PH⇔4PF²=5PH²
4x²+4(y-√5)²=5(y-4/√5)²=(√5y-4)²
4x²=y²-4
双曲線 x²-y²/4=-1
漸近線はy=±2x
直角双曲線xy=a>0について証明する。
T(t, a/t)、P(p, 0)、Q(0, q)とすると
S=pq/2
T→T'(s, a/s)に対してs=kt (k>0)
とおけてa/s=a/ktとなるから
x軸方向にk倍、y軸方向に1/k倍の拡大をした変換でありこの変換よって添え曲線は不動である。
これは接点の移動によりPはk倍の位置、Qは1/k倍の位置に移されたことを意味する。従って△の面積は不変である。接線は接線に移り、接点は接点に移る。
漸近線の方向に着目したParameter表示
x=s-t
y=2s+2tとおくと
x²-y²/4=-2st-2st=-1
s -t
2s 2t
detA=2st+2st=4st=1なので面積は不変。
Cに関して考えることでC'で考えても良いことは
面積比、|detA|は面積拡大率や体積拡大率を表す、同一直線または平行な直線上の線分比、内分比や外分比は保存される
2次曲線の種類は不変
角度は出せない。
(1, 2)と(1, -2)の面積は2+2=4
単位面積は4、
st=1/4→S=4/2=2となる。

**名無しなのに合格** · 2023/05/08(月) 15:07:05.82

例
(x, y)=s(a, b)+t(a, -b)
=(a(s+t), b(s-t))、4st=1
xy=1で考える。
(1/2, 1/2)∈C
この時, 明らかに中点。
k倍でPもk倍なので中点
1/k倍でQも1/k倍なので中点
よって中点は中点に、接点は接点に移るので題意は成り立つ。
(1, 0), (0, 1)→(a, b), (a, -b)
detE=1×1=1、detA=2a×b=2ab
S=(1/2)(2ab)=ab
とやってはいけない。面積比は良いが線分長や角度は保存されない。座標で解く。
p=(a, b), q=(a, -b)を基本ベクトルとする座標系で(1, 0)、(0, 1)
よってk√(a²+b²)×(1/k)√(a²+b²)
=a²+b²=一定
(3) S=1/4×2ab=ab/2=一定

**名無しなのに合格** · 2023/05/08(月) 16:56:24.25

【34】
PF=|r|、F(0, √5)、l: y=4/√5
PF=√5/2PH
FP=rより
x=rcosθ、y=rsinθ+√5
OP=OF+FP
(x, y)=(0, √5)+r(cosθ, sinθ)
|r|=(√5/2)|rsinθ+1/√5|
√5sinθ/2+1/2=±r
r=1/(-√5sinθ±2)
極方程式。rには絶対値を付ける
最終的には2個ある。

a²x²+y²=1、y=a(x+2)
a²x²+a²(x+2)²-1=0
2a²x²+4a²x+4a²-1=0
D/4=4a⁴-8a⁴+2a²≧0
0<a<1/√2
(2) a²x₀x+y₀y=1 (A) T(x₀, y₀)
(3)
接点をP(s, t)、Q(u, v)とすると
a²sx+ty=1 (B)
a²ux+vy=1 (C)
(B)と(C)の交点はR(X, Y)なので
a²Xx+Yy=1
これはBとCを満たす
直線PQはy=a(x+2)
a²Xx+Yy=1
2a³Xx+2ay=2a
-ax+y=2a
X=-1/2a²、Y=1/2a、0<a<1/√2
放物線 X=-2Y²、Y>1/√2
Rは極、PQは極線

**名無しなのに合格** · 2023/05/08(月) 17:25:48.62

【33】
楕円C、直線L
LとCの相異なる2交点をP、Q
C: x²/a²+y²/b²=1
判別式条D₁>0の下で
2点P、Qにおける接線の交点R
逆に言うとRからCに2本の接線RPとRQを引く。
これも判別式条件D₂=0の下で。
R(X, y)を極、直線PQを極線と言う。
L=PQは極線だったということ
初めに引いたLの通る点は関係ないことになることに注意。
L: (X/a²)x+(y/b²)y=1
これと直線cx+dy+e=0を係数比較すると
c=-eX/a²、d=-eY/b²
⇔X=-a²c/e、Y=-b²b/e
b=1とし、c, d, eを適当に設定しておくと軌跡は放物線になる。

**名無しなのに合格** · 2023/05/08(月) 20:43:58.93

【31】
準円
楕円 x²/a²+y²/b²=1
に点Pから2本の接線が引けてその接線どうしが直交する時の点Pの軌跡は
円 x²+y²=a²+b²
になる。円 a²+b²=17+8=25=5²
円: x²+y²=5²

**名無しなのに合格** · 2023/05/08(月) 20:52:27.78

例
x軸方向に2倍する1次変換を施すと
楕円: x²/4+y²=1は
円: x²+y²=4となる。
この時、題意の面積はπ×4/4-1/2×4
=π-2
面積は2倍になっているので元の図形の面積はπ/2-1
a倍、b倍変換で単位円: x²+y²=1は
楕円: x²/a²+y²/b²=1となる。

**名無しなのに合格** · 2023/05/08(月) 21:09:08.24

例
楕円: x²/a²+y²/b²=1の
準円は x²+y²=a²+b²
これは楕円の直交2接線の交点の軌跡であるから題意の長方形は準円の内接長方形であり対角線の長さは準円の直径であり、常にこのような長方形は存在する。
2√(a²+b²)

**名無しなのに合格** · 2023/05/08(月) 21:53:13.61

例
x²/4+y²=1の準円は
x²+y²=a²+b²=4+1=5=(√5)²
x軸、y軸の交点すなわち原点は準円上の点である。楕円の中心(a, b)は原点から距離√5の点でありa²+b²=5を満たす。bの最小値は1であり最大値は2である。軌跡はx²+y²=5、1≦x≦2
x²+4y²=4、0≦θ≦π/2
r²c²+4r²s²=4
r²=4/(c²+4s²)=4/(1+3s²)
0≦s≦1より0≦3s²≦3
1≦r²≦4、1≦r≦2
θ=0でr=2、θ=π/2でr=1
結論として中心から最大距離は長軸方向、最短距離は短軸方向となる。

**名無しなのに合格** · 2023/05/08(月) 21:55:19.58

例
x²/4+y²=1の準円は
x²+y²=a²+b²=4+1=5=(√5)²
x軸、y軸の交点すなわち原点は準円上の点である。楕円の中心(a, b)は原点から距離√5の点でありa²+b²=5を満たす。bの最小値は1であり最大値は2である。軌跡はx²+y²=5、1≦x≦2
x²+4y²=4、0≦θ≦π/2
r²c²+4r²s²=4
r²=4/(c²+4s²)=4/(1+3s²)
0≦s≦1より0≦3s²≦3
1≦r²≦4、1≦r≦2
θ=0でr=2、θ=π/2でr=1
結論として中心から最大距離は長軸方向、最短距離は短軸方向となる。

**名無しなのに合格** · 2023/05/08(月) 23:14:13.54

【30】
直円錐の
底面と平行=円→楕円→
母線と平行=放物線→双曲線→
軸と平行=双曲線
0→楕円→60=放物線→双曲線
断面は30なので楕円
d=(1, 0, √3)、A(2√3, 4√2, 10)/3
(1) OAのd上の正射影ベクトル
H=(OA･d)/(d･d)d=√3d=(√3, 0, 3)
cosθ=12/4×2√3=√3/2、θ=π/6

OX･d=√3/2OXd
(x+√3z)²=3(x²+y²+z²)
円錐面の方程式にz=√3を代入すると
(x+3)²=3(x²+y²+3)
2x²+3y²-6x=0
2(x-3/2)²/(9/4)+y²/(3/2)=1
これは楕円である。

軸60°、母線30°～90°、底面30°

**名無しなのに合格** · 2023/05/09(火) 00:02:58.28

例
A(0, 0, 1)、(1, 0, 0)、C(1, 0, 1)
AB=(1, 0, -1)、AC=(1, 0, 0)
AB･AC=1=√2cosθ、θ=45
(x+1)²=(x²+y²+1)
2x=y² 放物線
x²-y²=1 双曲線
E、軸-45、母線45→放物線
E'、軸0、母線45→双曲線

**名無しなのに合格** · 2023/05/09(火) 00:46:25.81

例
A(1, 0, 3)、中心B(0, 0, 1)、半径1
AB=(-1, 0, -2)よりcosθ=2/√5
AX=(X-1, y, z-3)、
AX･AB=AXAB2/√5より
(1-x-2z+6)²=4((x-1)²+y²+(z-3)²)
z=0として
(x-7)²=4(x-1)²+4y²+36
3x²+6x+4y²=9
(x+1)²/4+y²/3≦1、z=0
楕円の内部、周を含む。

軸、-63.4
母線=軸±26.6

底面=0、母線=63.4、軸=90
切断面=26.6
よって楕円

**名無しなのに合格** · 2023/05/09(火) 02:17:36.57

【33】
a>b>0、Pは第2象限にある
接線lと平行な直線mとの交点A (第1象限)
m⊥n、nとmの交点をBとする
Fを右側の焦点、FPとmとの交点をCとする。
(1) OA･PB=ab
(2) PC=a
P(acosθ, bsinθ) π<θ<π
xcosθ/a+ysinθ/b=0
⇔y=-bxcotθ/a
⇔bcosθx+asinθy=0
x²/a²+x²cot²θ/a²=1
x=asinθ、y=-bcosθ
A(asinθ, -bcosθ)となる。
OA=√(a²s²+b²c²)
PB=abcos²θ+absin²θ=ab

a(ac-f)(x-f)=-b²cosθx
-fx-cf+cf²=0
x=-c+cf、
y=-bcx/as=bc²(1-f)/as
as²: c²(1-f)

(ac-f)²+b²s²=
a²c²+a²-b²c²-2acf
f²c²+a²-2acf=(cf-a)²

PF=a-fcosθ
bxcosθ+aysinθ=0
bxcosθ+aysinθ=ab
abcos²θ+absin²θ=ab
ab-bcf
(a-cf)a/(a-cf)=a

**名無しなのに合格** · 2023/05/09(火) 02:47:08.70

x²+y²=a²
x=acosθ, y=asinθ
これは極座標表示である。θは偏角。
x²/a²+y²/b²=1
x=acosθ、y=bsinθ
これは極座標表示ではない。θは偏角ではない。離心角
b²r²cos²θ+a²r²sin²θ=a²b²
r=ab/√(b²cos²θ+a²sin²θ)
外接円の偏角に等しい。
a>b>0として
y軸方向にb/a倍すると縮小して
P(ac, as)→Q(ac, bs)となる。
x²/3+y²=1
x=√3cosθ、y=sinθとすると
θ=60の時,P(√3/2, 3/2)→
Q(√3/2, +3/2)∥(1, ) →45

**名無しなのに合格** · 2023/05/09(火) 03:26:46.54

x²/a²-y²/b²=1
x=asecθ、y=btanθとおく。
(asecθ-f)²+b²t²
=a²sec²θ+a²+b²-2afsecθ+b²t²
=f²sec²θ+a²-2afsecθ
=(fsecθ-a)²
よつてL=fsecθ-a
a-fcosθ、f/cosθ-a
f=√(a²-b²)、f=√(a²+b²)
p>0として、F(0, p)、y=-p
x²+(y-p)²=(y+p)²
x²=4py、y=(1/4p)x² 放物線
a→1/4p
P(t, t²/4p)とおくと
t²+(t²/4p-p)²=t²+t⁴/16p²+p²-t²/2
t²/2+t⁴/16p²+p²=(p+t²/4p)²
よってL=t²/4p+p
FP=PHより|y座標|+|準線|

**名無しなのに合格** · 2023/05/09(火) 20:29:21.87

例2
x=sinh(t)=(eᵗ-e⁻ᵗ)/2とおくと
u²-2xu-1=0、u=x+√(x²+1)
t=log(x+√(x²+1))
t=dx=cosh(t)dt
cosh²t-sinh²t=1より
1+sinh²t=cosh²t
I=∫cosh²tdt=∫(e²ᵗ/4+e⁻ᵗ/4+1/2)dt=
e²ᵗ/8-e⁻²ᵗ/8+t/2
=(1/2)x√(x²+1)
∫√(x²+A)dx=(1/2)(x√(x²+A)+Alog(x+√(x²+A)))+C
∫dx/√(x²+A)=log(x+√(x²+A))+C

s(1, 1)+t(1, -1)とおけて
4st=1
s-1/4sとおけばよい
s→s/2としてt=1/2sでもよい
s-1/4s、s/2-1/2s=(1/2)(s-s⁻¹)
x²+1=(1/)(s+s⁻¹)
dx=(1/2)(1+s⁻²)ds
∫(1/2)(s+s⁻¹)(1/2)(1+s⁻²)ds
=(1/4)∫(s+2s⁻¹+s⁻³)ds
=(1/4)(s²/2+2logs-s⁻²/2)
=(1/2)x√(x²+1)+(1/2)
x²-y²=1、x=√(y²+1)>0
x=s/2-1/2s、2sx=s²-1
x>0⇒s=x+√(x²+1)>0
s>0⇒右側の枝。yは任意。
s>0⇒x>0

**名無しなのに合格** · 2023/05/09(火) 21:23:14.18

x²-y²=a²、a>0
y=asinhtとおくとdx=acoshtdt
I=∫a²cosh²tdt
=(a²/4)(e²ᵗ+e⁻²ᵗ+2)dt
=(a²/8)(e²ᵗ-e⁻²ᵗ)+a²t/2
=(1/2)x√(x²+a²)+a²/2log()
2x=aeᵗ-2ae⁻ᵗ
eᵗ=x±√(x²+a²)、t=log(x+√x²+a²)
I=(1/2)(x√(x²+a²)+a²log(x+√x²+a²)
x=tanθとおくとI=∫dx/cosθ
dx=dθ/cos³θ=cosθdθ/cos⁴θ
u=sinθとおくとdu=cosθdθ
du/(1-u²)²

**名無しなのに合格** · 2023/05/10(水) 00:15:19.44

4
fₚ(n)≡nᵖ mod 10
(1) f₂(n)、n²≡0, 1, 4, 9, 6, 5
(2) f₅(n)=f₁(n)⇔n⁵≡n¹ mod 10
Fermatの小定理より
(2, n)=1の時, n≡1 mod 2
(5, n)=1の時, n⁴≡1 mod 5
それ以外の場合でも
n²≡n mod 2 ∧ n⁵≡n mod 5
∴n⁵≡n mod 10
(3) f₁₀₀(n)、n¹⁰⁰
(2)よりn¹⁰⁰≡n²⁰≡n⁴
(1)よりn²≡0, 1, 4, 9, 6, 5
n⁴≡0, 1, 6, 5

**名無しなのに合格** · 2023/05/10(水) 00:52:52.88

n⁵-n=n⁵-5n³+4n+5n³-5n
=ₙ₊₂P₅+5(n³-n)≡0 mod5
100→20→4
n⁴≡1 mod 5
n≡1 mod 2
1234567860→
1496569410

n⁴≡1 mod 5 ⇒n⁴≡1, 6 mod 10

12346789→5と0以外
16166161→1と6
13589→偶数以外

0→0、1→1、5→5、6→6
恒等置換

9→1→9→1→
4→6→4→6→
互換

3→9→7→1→3→
2→4→8→6→2→
8→4→2→6→8→
7→9→3→1→7→
巡回置換(逆置換2個)

0、1、5、6
91、46、
2486、
8426、
3971、
7931、

**名無しなのに合格** · 2023/05/10(水) 01:12:19.30

a∈ℤ⁺、p∈P、gcd(a, p)=1とする
1≦i<j≦p、1≦j-i≦p-1
∴ ∀i, j、a(j-i)≢0 mod p
よって{ai}と{i}はmod pで一致する
aiの値は色々(p種類)あるが、mod pで0～p-1に一致するということ。
ダブりなく、漏れもない。
1対1に対応する。全単射。
Πai≡Πi mod p i=1からp-1
Πi≢0 mod pより
aᵖ⁻¹≡1 持つp
素数は自分より小さい数では1以外に割り切られることはない。
1で約分することはなく、1で割り切れても1とnは互いに素という定義から外れないので1は無視してよい。すると2からp-1までかけた
Πiはpと互いに素である。
pは自分自身以外に割り切られることはない。pが割り切るのも約分可能なのもpの倍数だけである。
つまりgcd(a, p)=1とはaはpの倍数ではない、と同値。

**名無しなのに合格** · 2023/05/10(水) 01:48:39.70

5
a₁≧…≧aₙ≧0、∑aₖ=1、
∀m (1≦m≦n)、
1/n≦∑[k=1, m] aₖ≦1

数列{aₖ}は非負の広義単調減少、
数列{∑aₖ}は非負の広義単調相加である。
従って1≦m≦nの時,
∑[k=1, m]≦∑[k=1, n]=1が成り立つ。
左側の不等式を示すには1/n≦a₁を示せば十分である。
背理法で示す。
a₁<1/nと仮定する。数列{aₖ}は広義単調減少であるから
na₁≧∑[k=1, n] kₖ=1
よって1>na₁≧1より1>1となり不合理。よってa₁≧1/nであることが示された。
また∑[k=1, 1]≦∑[k=1, m]aₖより
1/n≦a₁≦∑[k=1, m]となる。

**名無しなのに合格** · 2023/05/10(水) 02:24:31.55

{aₖ}は広義単調減少な非負数列
{∑aₖ} (k=1～m)は広義単調相加な非負数列である。1≦m≦n
S=∑aₖ=1、k=1～n

m/n≦∑aₖ≦1=S (1)
あるmで不等式(1)の左側が成り立たないと仮定する。すると
m/n>∑aₖ (2)
となる。na₁≧S=1よりa₁≧1/n
よって∀m、
1～mでm/n未満
平均は1/n未満
m+1～nで(n-m)/nより大きい
足して1になる。
平均は1/nを超える。
これは{aₖ}の単調減少性に反する。

あるいはaₘ<1/nなので
aₖ (k=m+1～n)<1/nでなければならない。すると
S<m/n+(n-m)/n=1=Sとなり矛盾する。
初めのm人 1～m
後のn-m人 m+1～n

**名無しなのに合格** · 2023/05/10(水) 17:57:17.83

1～mを集合A、残りを集合Bとする。n=1の時またはm=nの時はB=∅となる。Bの元の個数をqとおく。すなわちq=n-mである。
x: aₖは広義単調減少列で各項非負
y: Sₙ=1
z: 不等式m/n<Sₘ≦Sₙ
A={a₁, a₂, …, aₘ}
B={aₘ₊₁, …, aₙ}

(1) 一般に、xよりSₘ≦Sₙである。
m=nの場合を含む。yよりSₘ≦1
(2) B=∅の時, m=nとしてzは
1≦1≦≦1となり成り立つ。
(3) B≠∅の時, xより
∀m、bₖ=aₖ-aₘと定めると
b₁≧b₂≧…≧bₘ≧0≧bₘ₊₁≧…≧bₙとなりTₘ/m≧0、Tₚ/p≦0である。全体の平均は1/n-bₘ
Sₘ/m≧1/n≧Sₚ/p
A≧BでaA+bB=1とする。
A-1/(a+b)=Aa+bA-aA-bB=b(A-B)/(a+b)≧0

Sₘ/m-Tₙ₋ₘ/(n-m)
≧Sₘ/m-aₘ₊₁=(aₖ-aₘ)/m≧0
k=1～mでaₖ-am≧0
Aがa人、Bがb人の時, 全体はa+b人が(aA+bB)/(a+b)=C
A≧Bの時, A≧C≧Bを示す。
A-C=A(a+b)-aA-bB=b(A-B)≧0
(Sₘ/m)がm個、Tₙ₋ₘ/n-mがn-m個
全体は1/nがn個。
Sₘ/m-1/n→nSₘ-mSₙ
mSₘ+(n-m)Sₘ
-mSₘ-mTₙ₋ₘ
=(n-m)Sₘ-mTₙ₋ₘ
=(n-m)Sₘ-m(1-Sₘ)
=nSₘ-mSₙ
=(n-m)Sₘ-mTₙ₋ₘ
≧(n-m)Sₘ-m(n-m)aₘ
=∑[k=1, m] (n-m)(aₖ-aₘ)≧0

**名無しなのに合格** · 2023/05/10(水) 18:36:39.70

∫√(x²-a²)dX
x=acoshtとおくとdx=asinhtdt
a²∫sinh²tdt=a²∫(1/4e²ᵗ+1/4e⁻²ᵗ-1/2)dt
=a²(e²ᵗ/8-e⁻²ᵗ/8-t/2)
=(1/2)x√(x²-a²)-a²/2()
2xe=ae²+a
e=x±√(x²-a²)/a
x+√(x²-a²)/a
eᵗ･e⁻ᵗ=1よりどちらでもよい
t>0とするとeᵗ>1、1>e⁻ᵗより
eᵗ>e⁻ᵗ
a²/2log(x+√(x²-a²))
x√(x²-a²)/2、log(x+√(x²-a²))
x=(eᵗ+e⁻ᵗ)/2

x√(x²+A)/2+Alog(x+√(x²+A)/2+C
A≠0

**名無しなのに合格** · 2023/05/10(水) 18:52:24.56

∫√(x²+A)dx=(1/2)x√(x²+A)
+(A/2)log(x+√(x²+A))+C A≠0
A=0とすると
∫xdx=x²/2+C、x²/2+Cで成り立つ
よってA=0、A≠0を問わず成り立つ
∫dx/√ (x²+A)=log(x+√(x²+A))+C A≠0
A=0とすると
∫dx/x=log2x+C=logx+Cなのでx>0でA=0でも成り立つ。
∫dx(x²-a²)=(1/2a)log|(x-a)/(x+a)|+C
a0=とすると∫dx/x²=-1/x+C
∞log1=∞×0で不定形になるので不可

**名無しなのに合格** · 2023/05/10(水) 23:58:53.45

6
f: E₁→E₂
楕円C: x²/4+y²=1
E₁: Cの第1象限(0≦x≦2, 0≦y≦1)
E₂: Cの第3象限(-2≦x≦0, -1≦y≦0)
正則な1次変換でないと平面全体が原点を通る直線または原点のみに退化してしまうので題意を満たさない。よってfは正則1次変換である。A=abcdとおくと
(1) ad-bc≠0 が必要である。
この1次変換によって平面全体は平面全体に移り、異なる2点は異なる2点に移る。
E₁上の2点(2, 0), (0, 1)はそれぞれ
(2a, 2c), (b, d)に移る。
(2) 題意よりa, b, c, d≦0
(3) a²+4c²=1、b²+4d²=4
(1, √3/2)は(a+√3b/2, c+√3d/2)に移るから
(4) a²+√3ab+3b²/4+4c²+3d²+4√3cd=4

ab+4cd=0
aまたはbが0 ∧cまたはdが0となることが必要である。
a=0とするc=-1/2
c=0とするとa=-1
b=0とするとd=-1
d=0とするとb=-2
ad-bc≠0より
0, -2, -1/2, 0
-1, 0, 0, -1

**名無しなのに合格** · 2023/05/11(木) 00:51:33.01

7
単位円 A(1, 0)と動点P
(1) PA²+PB²+PC²=一定となるBとC
(2) PA+PB+PCの最大最小

B(-1/2, +3)、C(-1/2, √3/2)とすると
(c-1)²+s²+2(c+1/2)²+(s-+3/2)²+(s-√3/2)²
=-2c+2+2+2c+2=6=一定となる。
√(2-2c)+√(2+c+√3s)+√(2+c-√3s)

PA+PB=2sinθ₁+2sinθ₂
=sinx+√3cosx=2sin(x+π/3)
PA+PB: √3～2増加
PC: √3～2増加
M=24、m=2√3

**名無しなのに合格** · 2023/05/11(木) 01:13:57.72

g: C→D: x²+y²=1
gはx軸方向の1/2倍の拡大変換
D→Dは合同変換なので回転または鏡映に限る。回転は0°または+180°
鏡映はy=-x
よって、-1、0、0、-1=-E
または0、-1、-1、0
g⁻¹R(π)g=-1、0、0、-1=-E
g⁻¹S(3π/4)g=0、-2、-1/2、0

**名無しなのに合格** · 2023/05/11(木) 04:50:57.64

9
連続関数f(x)、x≧0とする
x+∫f(t)dt=∫(x-t)f(t)dt (1)
x+∫f(t)dt=x∫f(t)dt-∫tf(t)dt
ここでxはxで微分可能であり
∫fと∫tfは微分可能なxの関数てあるから両辺をxで微分出来る
1+f(x)=∫f(t)dt
x=0としてf(0)=-1
右辺はxで微分可能であるからf(x)もxて微分可能である。
両辺をxで微分するとf'(x)=f(x)
y'--y=0、(ye⁻ˣ)'=0、y=Ceˣ
f(x)=-eˣ
(1)に代入すると
x-∫eᵗdt=∫(x-t)f(t)dt=-x∫eᵗdt+∫teᵗdt
x-e+1=-x(e-1)+(x-1)e+1=x-e+1
f(x)はx≧0で連続でx>0で微分可能な関数である。f(0)は存在するがf'(0)は存在を仮定出来ない。

**名無しなのに合格** · 2023/05/11(木) 23:13:33.17

10
∀n∈ℤ⁺, ∀m∈ℤ、
m²-(a-1)m+an²/(2n+1)>0 (1)
となるa∈ℝ
定数を分離する。
m²+m>a(m-n²/(2n+1))
c=n²/(2n+1)>0である。(2)
(2)より、a≦0とするとm=0, -1が(1)を満たさないのでa>0が必要。
y'=2m+1より
y=(2t+1)(m-t)+t²+t=(2t+1)m-t²
m=t²/(2t+1)すなわちm=nにおける接線となる。
この間ならば放物線との交点は
-1<m<0となり整数点を含まない。
0<a<2n+1
f(m)をParameterを含まないmの関数、aを直線の傾き、n²/(2n+1)を直線のx切片と考えるこたが出来る。この直線はa=2n+1とするとm=nにおける放物線の接線となる。

**名無しなのに合格** · 2023/05/12(金) 01:10:56.10

11
x²=f(x)(x²+ax+b)+rₙx+sₙ
A x²+ax+b=(x-α)(x-β) α>β>0
B ∀n、rₙ<rₙ₊₁

(1)β-1<(α/β)ⁿ⁻¹(α-1)
⇔βⁿ-βⁿ⁻¹<αⁿ-αⁿ⁻¹
αⁿ=αrₙ+sₙ、βⁿ=βrₙ+sₙ
(α-β)rₙ=(αⁿ-βⁿ)
sₙ=αⁿ(α-β)-αⁿ+βⁿ/(α-β)
=α(αⁿ-βⁿ)
rₙ<rₙ₊₁⇔αⁿ-βⁿ<αⁿ⁺¹-βⁿ⁺¹
(2)
α=0⇒αⁿ=αⁿ⁺¹
0<α<1⇒αⁿ⁺¹<αⁿ
α=1⇒αⁿ=αⁿ⁺¹
α>1⇒αⁿ⁺¹>αⁿ

βⁿ⁺¹-βⁿ<αⁿ⁺¹-αⁿ
cとc→✖これだけは駄目。
cと1→○
d→○
0<β<α<1の時,
βⁿ⁺¹-βⁿ<αⁿ⁺¹-αⁿ
⇔β-1<αtⁿ-tⁿ=(α-1)tⁿ (t>1)
右辺→-∞ (n→∞)なので十分大ききnに対しては成り立たない。

α+β=-a、αβ=b
β>α>0⇒βⁿ-αⁿ=βⁿ⁺¹-βαⁿ<βⁿ⁺¹-αⁿ⁺¹
D=a²-4b>0
α+β=-a>0⇔a<0
αβ=b>0
よってb<a²/4 ∧ a<0 ∧ b>0から
0<-a/2<1∧f(1)>0
⇔-2<a<0∧b>-a-1を除く。
(この部分だけは境界を含む(端点は除く))
(-2, 1)は放物線の接点(除く)
(-1, 0)はb=0との交点(除く)

**名無しなのに合格** · 2023/05/12(金) 12:27:32.50

9
|x³+ax²+bx+c|≦|x³| (1)
x=0として|c|≦0⇒c=0
x≠0の時, (1)⇔|x²+ax+b|≦|x²|
x=1として|1+b+a|≦1 (2)
x=-1として|1+b-a|≦1 (3)
(2)(3)より
|1+b|+|a|≦1
よって-1≦a≦1∧-2≦b≦0が必要である
x=±1/100とすると
|x²+b+ax|≦|x²|∧|x²+b-ax|≦|x²|
∴ 0≦|1/10000+b|≦1/10000
∧0≦|a|≦1/100
x→+0とするとa→0∧b→0となる。従ってa=b=c=0

**名無しなのに合格** · 2023/05/12(金) 12:36:11.38

x=0の時, |c|≦0よりc=0
x≠0の時, 両辺をx³≠0で割ると
∀t∈ℝˣ=ℝ\{0}、|bt²+at+1|≦1
ここでt=1/x
b≠0⇒t→∞とすると左辺→∞となり矛盾。よってb=0
|at+1|≦1
a≠0⇒t→∞とすると左辺→∞となり矛盾。よってa=0
従ってa=b=c=0が必要でこの時
|x³|≦|x³|となるがこれは自明である。

**名無しなのに合格** · 2023/05/12(金) 17:44:13.49

1
pは奇素数、k=(p-1)/2
(1) 0²、1²、2²、…、k²はmod pで全て異なる。
(2) 0≦a≦k、0≦b≦k、
∃a, b∈ℤ、a²≡1-b² mod p
(3) 0<m<p、∃m、∃c, d, e∈ℤ、mp=c²+d²+e²

(1) 0≦i<j≦kとする。
1≦j-i≦k<p∧1≦j+i<2k-1<pより
j²-i²≢0 mod p⇔i²≢j² mod p
(2) mod pで1になる組合せ
(1, 0=2k+1), (2, k), (3, 2k-1)、…, (k+1, k+1)を考える。これはk+1通りある。
・k+1∈(1)の時, k+1+k+1≡1となる
・k+1∉(1)の時, 1～kを含むk通りの組合せの1つに必ず入る。
よって∃i, j、i²+j²≡1 mod p
(3) (2)より
∃i, j, ∀α、i²+j²≡α mod p
となることを示す。
(1, α)、(2, α-2)、…、(k+1, α-k-1)を考える。これは0～2kの異なる値が全て1回ずつ現れる。
1～k+1の中にαがある場合は
(1, α-1)、…、(α, α-α)、(α+1、α-α-α-1)、…、(k+1, α-k-1)となる。
i+j≡α mod p ⇒ j=α-i+np
よって次のように構成出来る
・∃α、∃i, e、i²+e²≡0 mod p∧
(i²,ej²)≡(α, 0-α)となる。
・∃c, d、c²+d²≡α mod pとなる。
・よってc²+d²+e²≡α+0-α=0 mod p
⇔∃m、c²+d²+e²=mpとなる。

0～p-1=2kの2k+1通り余りの種類は有り得る。
a²の余りはk+1通り、1-b²の余りもk+1通りあり、それらが全て異なると仮定すると余りは2k+2通りになり不合理。よって少なくとも1つは他の余りのどれかと一致する必要がある。それらの組を取ると
a²-(1-b²)=mp。a²+b²≡1 mod p

**名無しなのに合格** · 2023/05/12(金) 19:49:00.61

pは奇素数でp=2k+1とおく。
0², 1², …, k²
0≦i<j≦kとする。
1≦j+i≦2k-1<2k+1=p
1≦j-i≦k<p
j²-i²=(j+i)(j-i)≢0 mod p
⇔ i²≢j² mod p
(2) ∃a, b、a²+b²≡1 mod pを示す。
1になる組合せは次のk+2組ある。
(1, 2k+1)、(2, 2k)、(3, 2k-1)、
…、(k+1, k+1)
17 26. 35 44
全部で奇数個の場合は最後、同じ数を2個用意する。
もしk+1を含めばそれを2個取れば良い。この場合は(p+1)/2を含むか含まないかで場合分け。含めば終わる。含まなければ部屋割論法で終わる。
x²+x²≡k+1+k+1=p+1≡1 mod p
もしk+1を含まなければ上の1～kのk組に0²～k²のk+1個が入るから少なくとも1組は出来ることになる。k+1人をk個の部屋に入れれば少なくとも2人が入る部屋が少なくとも1つ存在する。部屋割論法。
(3) ∃a, b, c、a²+b²+c²≡0 mod p
を示す。
∃x, y、x²+y²≡0 mod p
となることを示す。
()
1, 2k)、(2, 2k-1)、…、(k+1, k+1)
のk組
16 25 34
0²～k²のk+1個は1～kのk組のうちの少なくとも1つの組に入る。
全部で偶数個の場合は綺麗に部屋割論法が使える。
この時,∃α, ∃i, jに対して
i²≡α、j²≡-α mod pとなる。
今∀α, ∃c, dに対してc²+d²≡α mod pとなることを示す。
(1, α-1)、(2, α-2)、…、(α, α-α)、…、
αが偶数の時は最後(k+1, α-k-1)のk+1通り、(α/2, α/2)を含む。です
αが奇数の時は最後(k+1, α-k-1)のk+1通りある。((p+α)/2, (p+α)/2)
を含む。
よってαの偶奇を問わずk+1組ある。0², …, k²がα/2(αは偶数)または(p+α)/2(αは奇数)を含めばそれを2個取れば良い。
それらを含まなければk個の部屋にk+1人を入れることになるので必ず1つの組に入る2数が存在する
それらをa, bとし-αとなるものをcとするとmod pで
a²+b²≡α∧c²≡-α
よってa²+b²+c²≡0 mod p
よって∃m, a, b, c、a²+b²+c²=mpとなる。

**名無しなのに合格** · 2023/05/12(金) 22:18:30.42

1
n≧2、f(x)=xⁿ+px+q、
(1/2)∫₋₁¹f(x)²dx
x²ⁿ+p²x²+q²+2pxⁿ⁺¹+2qxⁿ

nが偶数の時、
∫₀¹(x²ⁿ+p²x²+q²+2qxⁿ)dx
=1/(2n+1)+p²/3+q²+2q/(n+1)
=(q+1/(n+1))²-1/(n+1)²+1(2n+1)
q=-1/(n+1)、p=0の時, 最小値は一意に決まり1/(2n+1)-1/(n+1)²
=n²/(n+1)²(2n+1)

nが奇数の時,
1/(2n+1)+p²/3+q²+2p/(n+2)
p=-3/(n+2)、q=0の時, 一意的に最小値が決まり1/(2n+1)-3/(n+2)²
(n-1)²/(n+2)²(2n+1)

**名無しなのに合格** · 2023/05/12(金) 23:25:31.86

多項式関数の定積分
偶関数と奇関数の公式
nが偶数か奇数かで場合が変わる。偶奇性は見た目ではわからないので場合分けをする。するしかないという点に注意する。最小値は一意に決まる。即ちpとqの値は一意に決まる。nは答えが書きやすいよえに場合を分けて、まとめられるものはまとめる。

**名無しなのに合格** · 2023/05/13(土) 02:07:54.88

2
f(x)=x⁴+x³+x²/2+x/6+1/24
g(x)=x⁵+x⁴+x³/2+x²/6+x/24+1/120
(1) ∀x、f(x)>0となる
f(x)=(x²+x/2+1/6)²
-x²/4--1/36-x²/3+x²/2+1/24
-x²/12+1/72

x²(x²+x+1/3)+1/6(x+1/2)²
≧0、>0+≧0であり
同時に0になることは無いので>0である。x=0, x=-1/2, x=-1/2
でそれぞれ最小になりそれらよりxが小さい時は最小値よりも大きい値を取る、x<-1での振る舞いを見るとx≦-1/2では-1/96+1/120<0で成り立つ

(2) 唯一つのαが存在し、-1<α<0、f(α)=0となる
g'(x)=xf(x)+1/120
(1)より∀x、f(x)>0であるから
x>0でg(x)>0、x=0でg(0)=1/120>0
g(-1)<0よって中間値の定理により少なくとも1つの解x=αを-1<α<0に持つ。

x²(x²+x+1/3)+1/6(x+1/2)²
x²(x²+x+1/3)+1/6(x²+x+1/4)
x²t+x²/3+t/6+1/24
t(x²+1/6)+x²/3+1/24

g'(x)=5x⁴+4x³+3x²/2+x/3+1/24
=x²(5x²+4x+9/10)+3x²/5+x/3+1/24
(3/5)(x+5/9)²-1/27+1/24>0
(1/2)(x+1/3)²-1/18+1/24

**名無しなのに合格** · 2023/05/13(土) 02:34:01.17

2
f(x)=x⁴+x³+x²/2+x/6+1/24
(1) f(x)=x²(x²+x+1/3)+(1/6)(x+1/2)²
=x²((x+1/2)²+1/12)+(1/6)(x+1/2)²
=AB+CとおくとA≧0∧B≧1/12∧C≧0でありABとCが同時に0になことは無いので∀x、f(x)>0であることが示された、

g(x)=x⁵+x⁴+x³/2+x²/6+x/24+1/120
g(0)=1/120∧g(-1)=>11/30<0
中間値の定理により開区間(-1, 0)に少なくとも1つの実数解を持つ。
g'(x)=5x⁴+4x³+3x²/2+x/3+1/24
=x²(5x²+4x+9/10)+(3/5)(x+5/18)²+5/216
A≧0∧B≧1/10∧C≧0であり
ABとCが同時に0になることは無い。よって∀x、g'(x()>0てあり g(x)は狭義単調増加関数であるこ⇔が分かった。従ってg(x)=0野実数解は-1<α<0となるα唯一つである。

**名無しなのに合格** · 2023/05/13(土) 04:05:37.59

4
f(m, n)=1/2(((m+n-1)²+(m-n+1))
(1)f=100
m=9、n=6
n-1=Nとおくと(m+N)²+(m-N)
=m²+m+2mN+N²-N
=m(m+1)/2+N(N-1)/2+mN
(2) a²+b=c²+d
-a<b≦a、-c<d≦c⇒a=c、b=d
(a-1)²≦a(a-1)<a²+b≦a(a+1)<(a+1)²
よってa²+bは平方数になることはない。従ってa=cが成り立ちb=dが成り立つ。

(3) ∀k、f=kは唯一つの解を持つ
a=m+n-1、b=m-n+1とおくと
a-b=2n-2≧0、a+b=2m>0より(2)の条件を満たす。従って∀k、2k=a²+bとおける時、a, bは一意に定まる。a, bに対してm=(a+b)/2
n=1+(a-b)/2+1として一意に定まる。よって任意に与えられたkに対して題意を満たすm, nが一意に定まる。

**名無しなのに合格** · 2023/05/13(土) 20:37:17.78

3
m∈ℤ⁺、1≦k≦m、0≦aₖ≦k、
[aₘ, aₘ₋₁, …, a₁]ₘ=
!aₘ×m!+aₘ₋₁×(m-1)+…+a₁×1!
aₘ≠0とする。

∀x∈ℤ⁺、∃m∈ℤ⁺、
xは(m+1)!では割れないがm!で割れる時、すなわちm!≦k<(m+1)!の時,
aₘ=1～mが一意的に定まる。
0≦x-aₘ≦m!-1<m!となるので
aₘ₋₁を一意的に定めることが出来る。これを繰り返すと
1≦α<2!となればa₁=1
ならなければa₁=0で与えられたx∈ℤ⁺に対してaₘ～a₁が一意的に定まることが示された。
x=∑[k=1, m] aₖ×k!=[aₖ]ₘ

(1)[m, m-1, …, 1]ₘ=[1, …, 0]ₘ₊₁-1
m×m!+(m-1)×(m-1)!+…+1×1!+1
=1+1+2×2+3×3!+…+m×m!
2!+2×2!+…=3!+3×3!+…
=4!+4×4!+…=5!+…
…
=k!+k×k!=(k+1)!であるから
=…=m!+m×m!=(m+1)!となる。
(2)

**名無しなのに合格** · 2023/05/13(土) 21:01:32.22

帰納法の仮定に表記法の一意性まで組み込んでおく。
冪乗による表記法
10進法
∀x∈ℤ≧0に対して
x=aₘ×10ᵐ+aₘ₋₁×10ᵐ⁻¹+…+a₀×10⁰
と一意的に表記することが出来る

∀k∈ℕ₀、∃m∈ℕ₀に対して
10ᵐ≦k<10ᵐ⁺¹ ☆ となる。
aₘ×10ᵐ、1≦aₘ≦9
aₘ=10とすると10×10ᵐ=10ᵐ⁺¹となり桁が1つ上がる。すなわち☆に反する。
aₘが決まると残りのx-aₘm!に対して同じことを繰り返す。
10ᵐ⁻¹≦x-aₘm!<10ᵐ
となればaₘ₋₁=1～9の1つに一意的に決まり、そうでなければaₘ₋₁=0としてaₘ₋₁が0～9のうちの1つに一意的に決まる。こうして桁を下げていくと0≦a₀<9となりa₀が0～9の1つに一意的に決まる。
するとx=[aₘ, aₘ₋₁, …, a₀]₁₀と
m+1桁に一意的に決まる。

**名無しなのに合格** · 2023/05/13(土) 21:09:19.50

二進法であっても同じである。
∀x∈ℕ₀、∃m∈ℕ₀に対して
2ᵐ≦x<2ᵐ⁺¹となる。
aₘ=1となる。x-aₘ×2ᵐに対して同様の操作を行い、各桁の数を決めていくと
x=[aₘ, …, a₀]と一意的に表せる。
x=aₘ×2ᵐ+…+a₀×2⁰とm+1桁で一意的に表記出来る。

**名無しなのに合格** · 2023/05/13(土) 22:24:38.94

冪乗以外でも階乗でも一意的に桁で表記出来る。
∀x∈ℕ₀、∃m∈ℕ₀に対して
m!≦x<(m+1)!となる。
aₘ=1～mの1つに一意的に決まる。aₘ≠0である。
0≦y≦m!-1となりaₘ₋₁=0～m-1が一意的に決まり桁が下がる。これを繰り返すと[aₘ, aₘ₋₁, …, a₁]と一意的に決まる。桁数は冪乗と異なり階乗の場合はm桁である。
2ᵏ
0≦a₀≦1、2≦a₁≦3、4≦a₂≦7、
…、2ᵐ≦aₘ≦2ᵐ⁺¹-1
と隙間なく非負整数を埋め尽くすので漏れがないのは明らかである。
10ᵏ
0≦₀≦9、10≦a₁≦99、
100≦a₃≦999、…、
10ᵐ≦aₘ≦10ˣ⁺¹-1
0≦a₁≦1、2≦a₂≦5、6≦a₃≦23、24≦a₄≦119、…、
m!≦aₘ≦(m+1)!-1と隙間なく非負整数を埋め尽くすので一意的に任意の非負
整数を階乗による桁数表示出来る。
基底→2ᵏ(k=0～m), 10ᵏ(k=0～m),
k!(k=1～m)。基底として0!=1をとると1!=1と0!=1の区別が無いために表記の一意性がなくなる。0!は必要無い。
10=1×3!+2×2!+0×1!=[120]
7=1×3!+0×2!+1×1!=[101]
0=0×1!=[0]

**名無しなのに合格** · 2023/05/14(日) 01:17:20.26

0²～k²
a²+b²+0²≦2k²<p²
a²+b²+c²≦3k²<(2k+1)²を示す。
k²+4k+1≧6>0より成り立つ。
一方a²+b²+c²≡0 mod pより
∃m, 0<m<pに対して
a²+b²+c²=mpとなる。
∀pに対して1²≡1 mod p
でありこの式は左辺=1²に対して一意的に成り立つ。(2)のa, bは
a²+b²≡-1 mod pを満たす。
∀a², b², c²∈Aに対して
a²+b²+c²<p²が成り立つので
a²+b²+c²が0以外のpの倍数2なることを示せば十分である。
(2)により∃a, b、a²+b²≡-1 mod p
となるのでc=1とすれば
a²+b²+c²≡0 mod pとなる。
左辺=mpとおけて、0<m<pである。
(0, 2k)、(1, 2k-1)、(2, 2k-2)、…、(k, k)
異なるとは書いていないので複数が同じものであってもOK。但し000は不可。

**名無しなのに合格** · 2023/05/14(日) 13:20:27.00

1
n≧3、f(x)=x²+7、
∃a、2ⁿ|f(a)
f(a+2ⁿ⁻¹)はf(2ⁿ⁺¹)の倍数
(2) ∀n、∃a、2ⁿ|f(a)となる。

2ⁿ|(a²+7)⇒2ⁿ⁺¹|f(a)∨2ⁿ⁺¹f(a+2ⁿ⁻¹)
・a²+7=N･2ⁿとおける。aは奇数であることが必用である。Nは正整数
Nが偶数ならば2ⁿ⁺¹で割り切れる
Nが奇数ならばf(a+2ⁿ⁻¹)=(a+2ⁿ⁻¹)²+7
=N･2ⁿ+2ⁿa+2²ⁿ⁻²
=(N+a)2ⁿ+2ⁿ⁻³･2ⁿ⁺¹
ここでN+aは偶数なので2を因数に持つ。n≧3なので2ⁿ⁻³は正整数てある。よってこの時、2ⁿ⁺¹の倍数となる。
(2) 帰納法
n=1, 2, 3の時, a=1とすれば成り立つ
n=k≧3の時, 成り立つと仮定すると
n=k+1の時, 2ᵏ|f(a)を満たすaに対して
・f(a)が2ᵏ⁺¹で割り切れればそのaをbとする。
・f(a)が2ᵏ⁺¹で割り切れない時,
b=a+2ⁿ⁻¹とおくとf(b)=(a+2ⁿ⁻¹)²+7=a²+7+2ⁿa+2²ⁿ⁻²
=(N+a)2ⁿ+2ⁿ⁻³2ⁿ⁺¹(aは奇数でNも奇数、n≧3より2ⁿ⁻³は正整数)
となり2ᵏ⁺¹で割り切れる。
よって∀k∈ℕに対して成り立つ。

**名無しなのに合格** · 2023/05/14(日) 17:34:23.06

2
f(x)=x²+ax+b、a, b∈ℤ
∃α∈ℚ、f(α)=0
(1) α∈ℤ
α=p/q p∈ℤ∧q∈ℕ∧(p, q)=1
p²/q²+ap/q+b=0
p²+apq+bq²=0
bq²=-p(p+aq)、p²=-q(ap+bq)
bはpの倍数。q=1となるしかない。よってα=p∈ℤである。

(2) ∀m∈ℤ、∀n∈ℕ、
f(m), f(m+1), …, f(m+n-1)の中にnの倍数が存在する。
{m+k}≡{k} mod n
すなわちx=m, m+1, …, m+n-1はmod nで全体として0, 1, 2, …, n-1となる。a, bともに0～n-1であると仮定して一般性を失わない。

m+k≡α

∃α、f(α)=0よりf(α)≡0 mod n
∀α, ∃k、k≡α mod n
∴f(k)≡f(α)≡0 mod n

(n+α)²+a(n+α)+b
=n²+2αn+an+f(α)
=n(n+2α+a)+f(α)
=n(n+2α+a)+0≡0 mod n

**名無しなのに合格** · 2023/05/14(日) 18:27:19.61

∃α∈ℤ、f(α)=0となる。
f(x)=x²+ax+b
この時, f(m+0), f(m+1), …、f(m+n-1)の中にnの倍数が存在する。
nの倍数⇔nで割って余りが0
⇔f(x)≡0 mod n

∀α、α=nβ+k 0≦k≦n-1とおける
(nβ+k)²+a(nβ+k)+b=0
n(nβ²+2βk+aβ)+(k²+ak+b)=0
⇔f(α)=0⇒f(k)≡0 mod n
が示された。
集合A={m+0、m+1、…、m+n-1}は全体として
集合B={0, 1, …, n-1}とmod nで合同である。
漏れが無くダブりも無い。
従ってα≡k mod nとなるkが集合Bの中に唯一つ存在する。
このkに対してf(k)≡0 mod nであるから上の議論により
集合Aの唯一つの元m+iに対して
f(m+i)≡0 mod nとなる。
αがどこにあろうとも集合Aがどこにあろうともmod nで考える限り集合Bの上で考えてよい。
Xがnの倍数⇔X≡0 mod n
の同値関係を利用して解ける。
0≡0 mod nは任意の正整数nに対して成り立つ。
a≡b mod n ⇔n | a-b
0, 1, 2, …, n-1
0
0, 1 mod 2
0, 1, 2 mod 3
全ての整数mは1で割り切れるので
mod 1では全ての整数は0になる。
5≡2 mod 3のように集合Bの中にない整数に対しては値が変わる。
1≡0 mod 1である。0だけは∀n∈ℕに対して集合Bの元となる。
∃α∈ℤ、f(α)=0⇒
∃m+i∈B、f(m+i)≡0 mod n
∃m+i∈B、f(m+i)≡0 mod n
⇔∃k∈A、f(k)≡0 mod n