【集え数強】正多面体は面が正三角形、正四角形、正五角形のものしかないことを証明せよ

**名無しなのに合格** · 2018/03/28(水) 22:18:31.99

解けるやつおる？

**名無しなのに合格** · 2018/03/28(水) 22:36:51.24

つ数学板

**名無しなのに合格** · 2018/03/28(水) 22:42:41.85

一点に集う角の和が360度未満ってやつ
一点に集う面は最低3つ
これやろ?

**名無しなのに合格** · 2018/03/28(水) 22:43:20.59

>>1
正多面体の１つの頂点に正m角形(１つの内角をθとする)の面が n枚あるとすると、条件は
(1) n≧ 3 (2枚以下では立体にならない)
(2) θn<360° (360°以上になると凸性が無くなる)

m≧6ではθ≧120°となり(2)を満たさない。
従って正三角形正方形(正四角形) 正五角形に限られる。

**名無しなのに合格** · 2018/03/28(水) 22:47:37.81

>>4
それぞれ可能なものは
m＝ 3で n＝ 3、 4、 5
m＝ 4で n＝ 3
m＝ 5で n＝ 3
これらは実現可能である。 5つの正多面体。

**名無しなのに合格** · 2018/03/28(水) 22:48:24.86

>>4
すげぇ
ずっとオイラーの定理が云々とか考えてたわ

**名無しなのに合格** · 2018/03/28(水) 22:51:46.00

>>4
( m,n)＝(3,3), (3,4), (3,5), (4,3), (5,3)となる。

(3,3)は自己双対。正四面体。
(3,4) と (4,3) は双対。正八面体と正六面体。
(3,5) と(5,3) は双対。正十二面体と正二十面体。

**名無しなのに合格** · 2018/03/28(水) 22:52:43.56

はやいなぁ
正解
正6角形以上だと頂点をなさないからな