数学強い人来て

**名無しなのに合格** · 2018/03/16(金) 19:55:12.47

3辺の長さが全て有理数で、面積が1になるような直角三角形が存在しないことを示せ

まったく分かんない

**名無しなのに合格** · 2018/03/16(金) 19:56:15.83

ようわからんけど背理法使っとけやカス

**名無しなのに合格** · 2018/03/16(金) 19:58:12.32

背理法で
p^4+q^4=x^2
を満たす整数の組がないことを示せばいいとこまではやった

**名無しなのに合格** · 2018/03/16(金) 20:02:44.01

なんか言葉だけの面白い証明できそう

**名無しなのに合格** · 2018/03/16(金) 20:37:46.76

ヘロンの公式から導ける？かも？

**名無しなのに合格** · 2018/03/16(金) 20:51:53.85

とりあえず
「互いに素な自然数 m,n について
m^4 + 4n^4 が自然数の二乗にならないことを示せ」
までは持っていけた

**名無しなのに合格** · 2018/03/16(金) 20:55:37.98

斜辺を除く辺をq/p b/a それぞれ分母分子互いに素で背理法でとけるくね？

**名無しなのに合格** · 2018/03/16(金) 21:07:32.53

フェルマーの最終定理より～　で終わりじゃん

**名無しなのに合格** · 2018/03/16(金) 21:11:44.92

4p^2＋q^2が無理数であることを示せばいい（pとqは互いに素）

**名無しなのに合格** · 2018/03/16(金) 21:25:40.97

みんなと方針違いそうやけど多分とけたで

**名無しなのに合格** · 2018/03/16(金) 21:32:19.88

斜辺c,残りの辺a,bとすると
ab=2,a^2+b^2=c^2で、bを消去してa=p/q,c=r/sとして分母払うと、
q^4+4p^4r^2=p^2q^2s^2
<=>q^4=p^2(q^2s^2-4p^2r^2)
p,qは互いに素で、両辺の素因数くらべるとp=1すなわちaは整数
またaを消去すると同様にbも整数
ab=2より(a,b)=(1,2),(2,1)のみだがどちらもcは有理数にならず q.e.d

c有理数で置く必要なかったわ

**名無しなのに合格** · 2018/03/16(金) 21:39:10.22

てもう誰もいないか

**名無しなのに合格** · 2018/03/16(金) 21:40:55.63

>>11
なるほどなぁ

**名無しなのに合格** · 2018/03/16(金) 21:42:37.09

>>11
p=1でも整数かわかんなくね？

**名無しなのに合格** · 2018/03/16(金) 21:46:58.99

>>14
すまん、このままだったら意味不明やな
a=q/p,c=s/rだったわそれから下は間違ってないと思う

**名無しなのに合格** · 2018/03/16(金) 22:07:22.17

斜辺以外が無理数のとき面積は1にならない
3点O(0,0)A(p,0)B(0,q) (p,q>0,p,qは有理数 pq=2)を頂点とする三角形OABについて
AB=√(p^2+q^2)=√((p+q)^2-4)=√(p+q+2)(p+q-2) (=aとする)
p+q=n/m(n,mは自然数)とおくとp,qは
mx^2-nx+2m=0の解であるがこの方程式の有理数解は±1,±2に限る
このうちのいかなる組み合わせについてもaは0より大きい有理数になりえないからABは有理数にならない■
自信ないけど

**名無しなのに合格** · 2018/03/16(金) 22:33:51.27

>>11
1だけど「両辺の素因数比べるとp=1」のとこがよく分かりません

**名無しなのに合格** · 2018/03/16(金) 22:45:39.17

>>17
aは有理数だからp,qは互いに素な整数と置ける。r,sも同様。
右辺がpで割り切れるから左辺のq^4がpで割り切れるがpとqが互いに素なのでp=1しかありえない