本番レベルの数学の問題セット作ったから解いてくれ
■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
文系(120分)
https://imgur.com/nYhQOp7.png
理系(180分)
https://imgur.com/27vjqrP.png
https://imgur.com/QTOhdEk.png
難易度は難関国立、早慶、国立後期レベル想定
5月ごろ出題したもののうち解答が来なかったものといくつか新規問題を追加
他に問題出そうと思っている人がいたら別にスレ立てるかこの問題の解答が全部出てからで 宮廷上位以外オーバーワークじゃね？
俺は取れるとことって合格するわ >>4
そう
>>5
明確な地雷は文3と理3
あとは全部行けると思う
というか理4と理6は実際の大学の過去問だから頑張って >>7
予備校講師だけど大学生なのに熱心でよくできてるね >>8
予備校講師の方でしたか
受サロは問題といてくれる割合が高くて
毎回この時期と夏休み前、受験前に問題出しに遊びに来てるんですよね >>9
これは結構捻って作った問題だから
多分問題集にはないと予想 理系の大門6は区分求積？
明日京大オープンなんやが、ためになりそうな数学の知識教えてくれ >>10
自分は模試の問題とか一問で何万ももらって面倒だなと思いつつ作るかんじなので頭が下がります >>12
(2)まではそうだね
>>13
区分求積がわかればもう答えは近そう
知識かー、通過領域のいろんなアプローチとか
押さえておくといいんじゃないかな
あとは問題にもあるけどフェルマーの小定理とかは
指数が絡む整数問題のいいヒントになりそう >>14
模試の問題作成とは憧れますね
自分は趣味で作ったのを発散してるだけなんで
そんな誉められたものでもない気がしますが >>17
おー正解
東工大1988年の問題でした
logをとるタイプの極限を経験したことあるかで差がでる (1)BC4:3がD AD7:2がP
(2)4:2:3
(3)7/8 理系2
(2)はnが1000以上では次の自然数のときとの差が1以下になって求める数は3000未満の自然数
n=1,2···999で一個ずつ数が対応して求める個数は2001個？なんか違う感じがする 理系5
最後の問題
1/2（x^2+x+1）*（4005x+29）
ですか？ >>19
あってる、三辺の比がそのまま面積比に
なってるので少しおしゃれにできたと気に入っている問題
>>20
考え方はいいとおもう
2000個だと思ったけどちょっと計算し直す
>>21
ちがう 2(1)真ん中をx-yとみて、(x^3-y^3)/(x^2+xy+y^2)と変形すれば自明
(2)n≧1000で300(x-y)＜1よりn＝1000からは緻密に整数値をとる
n≦999で300(x-y)＞1よりn＝1からn＝1000までは全く異なる数をとる
n＝1000で3000
よって2000個 >>22
-(x^2+x+1)*(1335x+653) >>23
想定解です、正解
ガウス記号の個数に関する問題
これは作った問題だが、類題は
2013名古屋大、1998東大、1995早稲田大
で出題されている、経験がないと難しい
1998の東大のガウスの問題は、マスターオブ場合の数でも
傑作問題として取り上げられており、一読の価値あり
文系より理系の方が誘導が減って難しく見えるが平均値の定理が使える分
恐らく理系の方が易しいと思われる >>24
正解
整式の平方で割ったあまりに関する問題
微分を思い付くかで非常に差がつく
類題を経験したことあるかどうかが大きいと思われる (1)pCm＝p!/m!(p-m)!で、分母にpの素因数なし
(2){(n+1)^p-(n+1)}-{(n^p)-n}
＝［Σ[m＝0→p-1](pCm)n^m］-1
＝Σ[m＝1→p-1](pCm)n^m これは(1)よりpの倍数
よって帰納的に示せる。
n^p-n＝n(n^(p-1)-1)よりnがpの倍数でないなら左辺pの倍数より、n^(p-1)-1はpの倍数
(3)しりまへん
(4)背理法 そのような素数の全ての積をΠとする。R＝(3Π)^2+3Π+1は3で割りきれず、3k+2型の整数でも割りきれず、3k+1型の整数でしか割りきれない
だからRは3k+1型の素数のみの積で表される
どんな3k+1型の素数もΠの約数であったことを考えるとRは3k+1型の素数でも割りきれない
これは矛盾 理系3
1 pCmはpを因数に持って、(1+x)^pの係数なので整数
2 k^p-k+{pC(p-1)*k^(p-1)+…+pC1*k}
よって1より証明終了
n^p-n = n{n^(p-1)-1}
nがpの倍数でないので証明終了
4 素数は6で割って1か5余りである
6で割って1あまりの素数をBnとし有限とすると
2*3*B1*B2*…*Bn +1 は素数であり、6で割って1あまり
よって矛盾し無限に存在する
3はわからなかった
4は議論あまいだろうか 理５
(1)ω^3=1(ω≠1)をωについて解くと
ω=1±√3i/2となる。
これをaω＋b=0に代入すると
a×1±√3i/2＋b=0 よって、(a-b)±√3i×a=0となる。
a,bが実数であるから、複素数の相等より、
a=b=0となる。 [3] (3) 行きますので、>>1さん解答少し待ってください。 >>27
やっぱり(3)がきついよね
試験場ではその答え方がいいとおもう
答えてある部分は模範レベルにきれい
>>28
4の証明が間違い
2*3*B1*B2*…*Bn +1が6で割って5余る数しか約数に持たない可能性を否定していない
>>30
その複素数の相当の部分を示せって作為だった
こちらはω=b/aで実数と実数でない複素数が繋がり矛盾って想定解 [3] (3) 以下の解答において扱う文字は全て整数とし, 合同式はmod3とする。
f(n)=n^2+n+1と置くと,
任意のnに対してf(n)≡0または1である。[1]
今, 3m+2の形の因数を持つとすると
(3m+2)3a≡0
(3m+2)(3a+1)≡2・・・×
(3m+2)(3a+2)≡1
のいずれかに分解される。
上記の2番目は[1]に反するので不適。 >>33
しか持たない可能性をってのは書き間違い
6で割って5余る数のみの積となる可能性を否定しないといけないだな >>35
(3m+2)3a≡0
(3m+2)(3a+1)≡2・・・×
(3m+2)(3a+2)≡1
ちょっとこの式が何を意味しているかわからないんだけど >>36
あー確かに適当な素数×素数+1は素数じゃないな
素数無限の証明適当に丸暗記しちゃってたわ
基礎の理解すら出来てなくて恥ずかしい >>38
文2,3
理3(3),4
>>39
あの証明はインパクト強いからしゃーない
本番前に間違えられてよかったねと言う感じ [3] (3)
(3m+2)3a≡0の時。n=3b+1と置けて
(3m+2)a=3b(3b+1)+1
するとaは3c+2の形に限られる。
従って(3m+2)(3c+2)≡1。
これは次の場合に帰着される。 >>40
よし解いてみる
[3] (3)
(3m+2)(3a+2)≡0の時。n=3bと置けて
9ma+6m+6a+4=9b^2+3b+1
⇔3ma+2m+2a+1=3b(3b+1)
ここでbと3b+1は偶奇を異にするので
その積は偶数。従って右辺は偶数であり
左辺も偶数となるのでm, aはともに奇数となることが必要である。 >>41
解答書いてる途中だったかすまん
>>42
がんばって
それはなかなか気に入ってる問題 理5
x^2＋x＋1=0を解くとx=1±√3i/2・・・①
①を２乗するとx^2=1∓√3i/2・・・②
また、①×②でx^3=1・・・③となる。
ここで③より、x^2017=x^3^2×2^5×7＋1=x ,x^29=x^3^3＋2=x^2である。
よって、f(x)=x^2017＋x^29＋1=x^2＋x＋1となる。
したがって、f(x)はx^2＋x＋1で割り切れる。 >>45
整式のxなのかx=ωなのかわからんところがいくつか
ω^3=1は問題文で与えられてるからそれ使ってもいい気が
バツにはしないけど丸はつきにくい解答だと思う
その解答だとf(ω)=ω^2+ω+1という情報しかわからない
求められているのはf(x)=g(x)(x^2+x+1)と表記できることを示すこと >>49
文2正解、馬鹿正直に元のグラフを考えるとえらいことになる
(1)の意図を捉えることができれば、うまく解答ができる
文系に出題するには１対２の対応があり少しハードかもしれないけれど
理系に出題されたとすればちょうどいい問題になりそう
文3ほぼ正解、一つ聞きたいのは
a(b^2-a-3)=1からa=1,b=√5をどのように導いたか あー整数×整数=1だからかなるほど
a=1,-1かなそしたら
俺が解答書いたときはユークリッドの互除法使ってm-1とm^2+m-1が互いに素を先に調べたよ
>>49の解答もきれいでよくできていると思う
この問題の連続する平方数の間の数は平方数ではないこと
言われてみれば当たり前のことだが、試験場だと気づきにくい
このことを知っていると解ける問題が結構増える
例えば今年の北大の1番なんかはこの事実で簡単に解答が作れる 何度も連投すまんけど>>49に文3の感想教えてもらえたらうれしい 大門3の4
素数を小さい方から順に
p1,p2,p3...と定める。
2と3を除いて素数である必要条件は6で割って余りが1または5である
ところで6で割った余りが1となる素数が有限個だと仮定するその最大の値をpnとおくと
（1～n）Πpk=Lとして
LとL+1は互いに素である
L+1はp1～pnのいずれの素数も含んでおらず、L+1は素数である。…①
L≡0（mod6）ことから
L+1≡1 （mod6）…②
①と②よりL+1は6で割った余りが1となる素数であり、仮定は成り立たない。
以上より6で割った余りが1となる素数は無限個ある >>54
3は分かりませんでした
1、2はわざわざ書くほどではないと思ったので略しました >>54
①のところに「1～pnのいずれより大きな」を追加してください 何投もすみません^^;
解答が下手くそで気になって書き直しました
大門3の4
素数を小さい方から順に
p1,p2,p3...と定める。
2と3を除いて素数である必要条件は6で割って余りが1または5である
ところで6で割った余りが1となる素数が有限個だと仮定するその最大の値をpnとおくと
（1～n）Πpk=Lとして
LとL+1は互いに素である
L+1はp1～pnのいずれの素数も含んでおらず、L+1は1～pnのいずれより大きな素数である。…①
L≡0（mod6）ことから
L+1≡1 （mod6）…②
①と②よりL+1はpnよりも大きな6で割った余りが1となる素数であり6で割った余りが1となる素数の最大がpnであることに矛盾し、仮定は成り立たない。
以上より6で割った余りが1となる素数は無限個ある >>58
どこが間違ってるか具体的にしてもらえるとありがたい
自分は正しいと思って解答作ったから >>50
よかった
a,bは非負整数で、整数同士の掛け算で1になってるということは、a=1,b^2-a-3=1が成り立つはずって感じです
今思えばkが素数かどうかの議論はいらなかったですね。
掛け算の形に持って行くのはテンプレ的思考でできるけど、m-1とm^2+m-1が違う数だからk=abと置くっていう思考は難しいんじゃないかと思いました >>57
Lがpn<k<Lを満たす6m+5型の素数の積にならないのはなぜ？
>>60
なるほど、aは非負整数で議論してたのか
解答をよく読めていなかった
感想もありがとう、やる気でる >>64
それは甘いでしょう
6k+1型の数が6l-1型の素因数を持たないは偽
例えば25は5の倍数になっている >>66
pnとL+1の間にある素数でL+1が割りきれないのはなぜ？
6k+1型の素数の有限性は仮定したが6k-1型の素数の有限性は仮定していない たとえば2*3*5*7*11*13+1は59*509で素数ではなく
実際の13と30031の間にある6k-1型の数の積になっている 寝る前に理3ヒントを
t^2+t+1が3で割って2余る数で割りきれたとする
この時t^2+t+1は3k+2型の素因数を持つ
t^(3k+1)について何が言えるか？ p=(有限個しかないと仮定した3k+1型素数すべての積)+1とでもしてπ=p^2+p+1と置けば、πはより大きい3k+1型素 >>69
なんで3k+2型の素因数を持つことになる？
ある3k+2型の自然数を約数に持つだけではないん？ 3k+2型約数の素因数分解をp[1]…p[n]としたとき、法3でこれが2と合同だから少なくともあるp[i]が3k+2型でなければならない
だから結局素因数について同じことが言える >>71
証明略したけど素因数に3の倍数があればその数は3の倍数
したがって3k+2型の数の素因数は3m+1か+2型
3m+1型の素因数しか持たない数は3で割って1余るので
3k+2型の数は必ず3m+2型の素因数を持つ 今解けてないのは理3(3)と4
実は4は今年の問題なんだけど解いたことある人いないかな？ >>73
あってると思う、想定していた解と本質の部分が同じ
t^2+t+1を割り切る整数3m+2(mは非負整数)が存在したとする
このときt^2+t+1は3l+2(lは非負整数)という形の素因数を持つ(>>73)
tが3l+2の倍数であると仮定すると、
t^2+t+1≡1(mod 3l+2)
となり、t^2+t+1が3l+2の倍数であるとこに矛盾するので、tは3l+2の倍数ではない
このとき、(2)よりt^(3l+1)-1は3l+2の倍数である
つまり
t^(3l+1)≡1(mod 3l+2) …(*)
が成り立つ
ところで、t^2+t+1≡0(mod 3l+2)より
(t-1)(t^2+t+1)≡0(mod 3l+2)
左辺はt^3-1であるから
t^3≡1(mod 3l+2)
が成り立つ
このことと(*)より、
1≡t^(3l+1)≡t(t^3)^l≡t(mod 3l+2)
これとt^2+t+1≡0(mod 3l+2)を合わせて考えると、
0≡t^2+t+1≡1+1+1=3(mod 3l+2)
となる
これは3が3で割って2余る素数で割り切れることを意味しており矛盾する
有名問題である
以前、千葉大学において6k-1型の素数の無限性の証明が出題された
これはチャート式にも載っており、難問のダイヤマークがついている（この千葉大の問題も解く価値あり）
本問はこの問題よりもさらに難しい論証を行わなければならず、試験場では真っ先に捨てるべきと思われる
しかしながらとても面白い問題で一度触れておく価値があるであろう
(3)でt^2+1を考えることにより、4k+1型の素数の無限性も同様にして証明できるので、チャレンジしてみてほしい
(2)まではフェルマーの小定理の証明である
東大、大阪大、埼玉大、富山大など多くの大学で出題されている必ず触れておかなければならない問題である
指数に関連する整数問題ではフェルマーの小定理を知っておくととても見通しが良くなることも多い
残ってるのは4番 本質は変わらないけど途中の(a^2+a)のあたり式変形が違う V(θ)=π(θ+3sin(θ)+sin(θ)cos(θ))/2とかかな >>82
正解、お疲れ様でした
今年の福井大の過去問である
非医での出題であったが中々骨があったので出題した
三角関数の和積の変換公式や被る部分がある回転体の体積など
結構気を遣って解答する部分が多く大変である
ただ、積分が得意な人はぜひ取っておきたい問題でもある >>84
それっぽいね
でも近いところまで出てるからすぐ直りそう >>82
α+β/2でsinxとsin(x-θ)が一致ってどうやって示せばいいのか誰か教えて sinxと-sin(x-θ)＝sin(θ-x)が等しいから後は(1)と同じじゃね ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
