この数学の（２）わかるやついる？ [無断転載禁止]©2ch.net
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整式f_1(x),f_2(x),・・・,f_n(x),・・・を
f_1(x)=x
f_{n+1}(2x)=2f_n(x)+{f_n(x)}^2 (n=1,2,・・・)
で定義する．このとき，下の問いに答えよ．
(1)
f_n´(0)，f_n´´(0)を求めよ．
(2)
x≧0において不等式
f_n(x)≦f_{n+1}(x) (n=1,2,・・・)
が成り立つことを示せ．
https://suugaku.jp/thumb/183/2332/2017_3.png f_n'(0)=1
f_n"(0)=1-(1/2)^n-1 x≧0のとき f_n(x)≧0かつf_n(x)≦f_n+1(x)が成立することを数学的帰納法で示す。
n=1のとき
f_1(x)=x f_2(x)=(x^2/4)+x だから
成立 n=kのとき(k≧1)成立すると仮定
n=k+1のとき
f_k+2(x)-f_k+1(x)=2f_k+1(x/2)+{f_k+1(x/2)}^2-2f_k(x/2)-{f_k(x/2)}^2
整理すると
{f_k+1(x/2)-f_k(x/2)}{2+f_k+1(x/2)+f_k(x/2)}
仮定より正が言えてn=k+1のときも成立 ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
