nを4桁の自然数とし、f(n)=(nの各桁の平方の和)とする。 [無断転載禁止]©2ch.net

**名無しなのに合格** · 2017/08/30(水) 13:08:19.64

(1)f(2015)を求めよ。
(2)f(n)が5の倍数のときnの満たすべき条件を求めよ。
(3)5f(n)<nを示せ。
(4)n-5f(n)=700のとき、nを求めよ。

**名無しなのに合格** · 2017/08/30(水) 13:56:52.68

最後
1075

**名無しなのに合格** · 2017/08/30(水) 16:08:20.95

ある程度絞ったけど(2)答え方がわからない

**名無しなのに合格** · 2017/08/30(水) 16:15:17.52

俺が高校３の時にうけた駿台全国の問題ですねこれ

**名無しなのに合格** · 2017/08/30(水) 17:29:03.81

(1) は問題の設定を確認させるための設問だからともかく
(2)(3)が(4)の誘導になってるわけではないのであまり良い問題とは思えん

**名無しなのに合格** · 2017/08/30(水) 17:53:44.33

>>1
(2) A=｛1, 4, 6, 9｝, B=｛2, 3, 7, 8｝, C=｛0, 5｝
とした時,
nはAとBから同数取って作った4桁の整数(残りは全てC)である。

具体的にはAABB, ABCC, CCCC(の順列)。
(もっとシンプルにできるのか？)

**名無しなのに合格** · 2017/08/30(水) 17:59:50.69

>>6
出来なくね？

**名無しなのに合格** · 2017/08/30(水) 18:00:31.12

(1)30
(2)nの一の位が0か5
(3)略
(4)1075

**名無しなのに合格** · 2017/08/30(水) 18:04:27.72

>>4
そうだね
ただ二浪してる人なんて少ないからみんなからすれば初見の整数問題だと思う

>>5
(2)は(4)を解くときに文字が一つ減るし(3)は示し方次第で(4)にそのまま使える
例えば(3)はn-5f(n)>0を示せば良いのでn-5f(n)を平方の和に直しておくとnがどの時最小となるかが分かるからそれにより示せる。あとはこの平方の和の形にしたn-5f(n)を利用して(4)は容易に解ける。

**名無しなのに合格** · 2017/08/30(水) 18:08:52.93

>>8
(2) 反例：n=1122。

**名無しなのに合格** · 2017/08/30(水) 18:11:11.67

>>6
最初の３行だけならいいと思う
後の２行は、１０００の位が０になったらどうすんのよ？って突っ込まれそう

**名無しなのに合格** · 2017/08/30(水) 18:14:49.30

>>11
最後の2行は回答ではない。
※印でも付けておくべきだったかな。

**名無しなのに合格** · 2017/08/30(水) 18:15:39.25

おｋ

**名無しなのに合格** · 2017/08/30(水) 18:23:46.33

(2)の問題ミスってたああああああああああ
正しくは(2)n-5f(n)が5の倍数のときnの一の位が0または5になることを示せ

**名無しなのに合格** · 2017/08/30(水) 18:30:11.38

>>14
難しい方向に間違ってもらったおかげで頭のトレーニングになった。

昨日も英文解釈で似たような事があったのだが、
「結果としての良問」には本当に感謝します。

**名無しなのに合格** · 2017/08/30(水) 19:02:37.14

(2)は剰余で絞込み
(3)は範囲で絞込み
(4)は範囲剰余で絞込み
凄く誘導になってると思ったんだが
誘導になってないって言う人は、どんな解き方なんだろ

**名無しなのに合格** · 2017/08/30(水) 19:20:07.55

>>16
俺は(4)をこう解いた
n = 1000a + 100b + 10c +d とおく
条件を (a-100)^2 + (b-10)^2 + … = … と整理してしらみつぶし
(3)(4)はどっちか一方だけでじゅうぶんだろう
同時に問う必然性が感じられない

**名無しなのに合格** · 2017/08/30(水) 19:31:53.73

>>17
なるほどー
サンガツ

**名無しなのに合格** · 2017/08/30(水) 19:45:54.35

>>17
その平方の和に直した結果a=1→b=0→...みたいにどんどん求まってく
いきなり(4)がくるとみんな戸惑うんじゃないかな

**名無しなのに合格** · 2017/08/30(水) 19:48:32.26

>0の証明だから(a-100)^2+(b-...の発想が出るわけでいきなり(4)が出されるとみんなが戸惑うんじゃないかなってこと

**名無しなのに合格** · 2017/08/30(水) 20:01:51.72

いきなり(4)だけでいいよ。
実際、誘導関係なく「一の位は0または5」はすぐにわかる。

**名無しなのに合格** · 2017/08/30(水) 20:24:40.86

(1)f(2015)＝2^2+0^2+1^2+5^2=30
(2)n-5f(n)＝5k n＝5(f(n)+k)
(3)5f(n)≧nを満たす4桁の自然数ｎが存在すると仮定
1620＝5f(9999)≧5f(n)≧n
1000≦n≦1620でf(n)が最大になるn=1599
5f(n)≦5f(1599)＝5(1+25+81+81)＝940<1000≦n
よって矛盾
(4)n-5f(n)＝700
n＝700+5f(n)≦700+1620＝2320
2000≦n≦2320でf(n)が最大になるn=2299
5f(n)≦5f(2299)＝850
n-5f(n)≧1150

**名無しなのに合格** · 2017/08/30(水) 20:56:55.54

センスの欠片もない解答ですまない

1000≦n≦1999
n-5f(n)＝700
n＝5f(n)+700≦5f(1995)+700＝5・188+700＝1640
1000≦n≦1640
nは5の倍数
f(n)≦f(1595)＝132
n＝5f(n)+700≦1360
f(n)≦f(1295)＝111
n＝5f(n)+700≦1255
1200≦n≦1255でn＝5f(n)+700≦5f(1255)+700＝975
よって1000≦n≦1195
n＝1000+10a　1000+10a＝5(a^2+1)+700 a^2-2a-59＝0　×
n＝1100+10a 1100+10a＝5（a^2+2)+700 a^2-2a-78＝0 ×
n＝1005+10a 1005+10a＝5(a^2+26)+700 a^2-2a-35＝0 a＝7
n＝1105+10a 1105+10a＝5(a^2+27)+700 a^2-2a-54＝0 ×

1075

**名無しなのに合格** · 2017/08/30(水) 21:53:32.75

1000≦n≦1195のあとは

b=1だと不都合だからb=0(>>6氏のレス参照)
1000≦n=5f(n)+700<1100だから
60≦f(n)=1+0+c^2+d^2<80
よって候補は1080と1075
あとは十分性チェック
これじゃあかんか？

**名無しなのに合格** · 2017/08/30(水) 22:12:39.57

>>1
(3) n=1000a+100b+10c+d
(a, b, c, dは1桁の整数で, a≧1)と置ける。
n/5-f(n)
>200a+20b-a^2-b^2-c^2-d^2
=10100-(a-100)^2-(b-10)^2-c^2-d^2
≧10100-9801-(b-10)^2-c^2-d^2
≧299-100-c^2-d^2
>199-99-d^2
>100-100
=0。

**名無しなのに合格** · 2017/08/30(水) 22:19:25.89

>>24
>>14

**名無しなのに合格** · 2017/08/31(木) 00:20:33.44

1000a+100b+10c+d

nが5の倍数なので、dはCの要素。よってABCC型かCCCC型
n=5f(n)+700≦5*max(f(9855),f(5555))+700=1675
a=1。aはA要素。よってABCC型
n=5f(n)+700≦5*max(f(1355),f(1585))+700=1275
さらにn=5f(n)+700≦5*max(f(1255),f(1085))+700=1150
b≦1かつ（bはAの要素ではない）のでb=0
よって(a,b)は(1,0)であり、(c,d)は(2,0)(2,0)(7,0)(8,0)(2,5)(2,5)(7,5)(8,5)のいずれか

1000≦n=5f(n)+700<1100より
60≦f(n)<80　これを満たす(c,d)は(8,0)(7,5)
n=1080のときNG
n=1075のときおｋ

**名無しなのに合格** · 2017/08/31(木) 01:16:08.45

>>27
おー！
「元の(2)」を無理やり誘導として使った訳ね。
お見事。

**名無しなのに合格** · 2017/08/31(木) 01:34:47.32

ほとんど>>22のおかげや
>>6も使ったけど、誘導がなくてもこの作業はやってただろうし

**名無しなのに合格** · 2017/08/31(木) 11:09:48.18

>>4
確かに見たことあるわ

**名無しなのに合格** · 2017/08/31(木) 12:00:37.60

開成に受かる小6なら解けるな。