質問させて下さい

現在兄と2人暮らしで兄の扶養に入っています
私は家族の介護が終わってから心身共におかしくなり、内科で不安を落ち着かせる薬、胃薬、睡眠薬を処方してもらっている状態で仕事はしていません

兄もパワハラ等で4月いっぱいで仕事を辞める事になり、3ヶ月何もしないと言っています
ツテで次の職場は決まりそうですが3ヶ月休みたいそうです

この場合、保険は国保に切り替わると思うのですが扶養に入っていた私はどうなるのでしょうか？
兄が離職する場合、職場から書類を貰ってハロワに行って失業保険の手続きをし、市役所で何か手続きするのでしょうか？
私が代理でも出来ますか？

兄は何年か前にも仕事を辞めたとき「よくわからん」と言って次の職場が決まるまでの2カ月間何もせず、国保の請求書が来て「高い」と嘆いたり保険証なしの時期もありました
その頃は私は親の扶養に入っていたので保険証はありました

検索すると離職票をハロワに持って行く、市役所で国保の手続きや免除申請をするとありました
兄は多分行かないので私がやろうと思うのですが…