代数方程式の解の公式のうち、3次方程式のものと、4次方程式のものは比較的容易に発見された。
この調子なら、5次方程式の解の公式も導き出せるのではないか？と中世の多くの数学者は思った。
しかし、アーベルとガロアによって一般の5次方程式は代数的に解けないことが証明された。
このことから、一般の5次正方行列には固有値が存在しないことが云える。
ガロア理論によると、多項式の最小分解体に関するガロア群が可解群であることと、方程式が代数的に解けることが同値なのである。
あとはガロア群を求めることが出来れば、個々の方程式が代数的に解けるかどうかを判定できるのである。
(一箇所怪しいところがあるぞ。)