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WordPressで動画を埋め込んだ際に、初回アクセス時に背景が真っ黒の再生ボタンに斜線が表示される問題が発生しているようですね。その後のリロードでは正しく表示されるとのことです。
この問題は、ブラウザのキャッシュに関連している可能性があります。初回アクセス時にブラウザは動画のデータをまだキャッシュしていないため、正しく表示されずにデフォルトの再生ボタンが表示されるのかもしれません。

以下にいくつかの解決策を提案します：

キャッシュの無効化: WordPressのキャッシュプラグインやサーバーのキャッシュ設定が問題の原因となっている可能性があります。一時的にキャッシュを無効にしてみてください。または、別のブラウザやプライベートモードでのアクセスを試してみてください。もし問題が解決されれば、キャッシュの設定を見直す必要があるかもしれません。

JavaScriptの遅延読み込み: 動画を埋め込む部分をJavaScriptで遅延読み込みする方法も試してみる価値があります。これにより、ページが完全に読み込まれてから動画が表示されるため、正しく表示される可能性が高くなります。

テーマやプラグインの競合: 他のテーマやプラグインとの競合が原因で問題が発生している場合もあります。一時的にすべてのプラグインを無効化し、デフォルトのテーマに切り替えてみてください。もし正常に表示されれば、問題の原因はプラグインやテーマにある可能性があります。

コンテンツデリバリーネットワーク (CDN) の利用: もしまだ試していなければ、コンテンツデリバリーネットワーク (CDN) を使用してみてください。CDNは、動画やその他のコンテンツを高速に配信するためのネットワークです。CDNを使用することで、動画の読み込みがスムーズになる可能性があります。

上記のいずれかの方法を試してみてください。また、WordPressのバージョンや使用しているテーマやプラグインの詳細な情報を提供すると、より具体的なサポートができるかもしれません。