式だけでも書き直しとこう。気持悪い。
一箇所日本語の間違い残したから、35歳は俺の証明を採点してくれ。
原点Oを中心とした単位円の円周上に点Pと点Qを置き、x軸とOPのなす角をa,x軸とOQのなす角をbとする。
点Pの座標はcos(a),sin(a)、点Qの座標はcos(b),sin(b)になる。

三平方の定理より、PQ^2=(cos(b)-cos(a))^2+(sin(b)-sin(a))^2
展開し、cos(x)^2+sin(x)^2=1を用いて解くと
PQ^2=2-2*(cos(a)*cos(b)+sin(a)*sin(b))

余弦定理より、
PQ^2=OP^2+OQ^2-2*OP*OQ*cos(a-b)
単位円を用いてるので、
PQ^2=1+1-2*cos(a-b)=2-2*cos(a-b)
ゆえに、
2-2*cos(a-b)=2-2*(cos(a)*cos(b)+sin(a)*sin(b))
両辺から2を引いて2で割って、
cos(a-b)=cos(a)*cos(b)+sin(a)*sin(b)　※

※において、bを負の数とすると、
cos(a+b)=cos(a)*cos(b)-sin(a)*sin(b)

またsin(x)=cos(1/2pi-x)であるから、
sin(a+b)=cos(1/2pi-(a+b))
sin(a+b)=cos(1/2pi-a-b)
sin(a+b)=cos((1/2pi-a)-b)
となり、※より、
sin(a+b)=cos(1/2pi-a)*cos(b)+sin(1/2pi-a)*sin(b)
cos(1/2pi-x)=sin(x)であるから
sin(a+b)=sin(a)*cos(b)+cos(a)*sin(b)

今度は打ち間違いはないと思う。
スマホだと大変。