sqliteのドットから始まるコマンドのAPIはDBIにないと思う

テーブル見るだけならsqlite_masterというマスターテーブル？に入ってるから
$dbh->prepare('SELECT * FROM sqlite_master")
とかあとはスクリプトの中からsqliteを直接実行するしかないんじゃないかな