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解答

(1) 座標平面上の点(1,0) を原点を中心として
反時計回りにθ回転した点の座標を(cosθ, sinθ)と定義する.

(2) 単位円周上に2点 A(1, 0), B (cos(α+β), sin(α+β)) をとる.
定義より、原点と(cosθ, sinθ) 間の距離について cos^2θ+ sin^2θ=1 が成り立つ.
AB^2= {cos(α+β)-1}^2 +{sin(α+β)-0}^2
=cos^2(α+β)-2cos(α+β)+1+sin^2(α+β)
=2-2cos(α+β)
2点A, Bを原点の周りに-α回転した点をそれぞれA', B'とすると
A' = (cos(-α), sin(-α)) = (cosα, -sinα)
B' = (cos(α+β-α), sin(α+β-α)) = (cosβ, sinβ)
ここで、A'B' の距離を求める.
A'B'^2 = (cosβ-cosα)^2+(sinβ+sinα)^2
=(cos^2β-2cosαcosβ+cos^2α)+(sin^2β+2sinαsinβ+sin^2α)
= 2-2(cosαcosβ+sinαsinβ)
ゆえに AB^2= A'B'^2 より
cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ
となる.
次にもう一方の式 sin(α+β)を証明する.
このために、先ほどの式を変形する.
AB^2= {cos(α+β)-1}^2 +{sin(α+β)-0}^2
=cos^2(α+β)-2cos(α+β)+1+sin^2(α+β) =2-2cos(α+β)
A'B'^2 = 2-2(cosαcosβ+sinαsinβ)
両辺から引き算して
2cos(α+β)-2 = 2(cosαcosβ+sinαsinβ)
cos(α+β) - 1 = cosαcosβ - sinαsinβ
sin(α+β) = sinαcosβ + cosαsinβ
Q.E.D.