>>636

BC＝y
OA＝h
△OBCの面積＝T　　　とする

また
OからBC（もしくはその延長）に下ろした垂線の足をDとし、OD＝d　とする


T＝yd/2　だから、これを変形して　d＝2T/y　…①

OA⊥OB かつ OA⊥OC であることから OA⊥△OBC であり
かつ　V＝1　だから　V＝Th/3＝1　となる。　これを変形して　h＝3/T　…②

また OA⊥△OBC であることから OA⊥OD でもあるので
三平方の定理により AD＝√(h^2＋d^2) であり、
さらに　AD⊥BC　かつ　S＝1　であることから　S＝y×√(h^2＋d^2)×1/2＝1 …③

①②を③に代入してhとdを消去すると　y^2＝4/9×(T^2-T^4)　となる

この右辺は T^2＝1/2 のとき最大値1/9をとるので y^2≦1/9 であり、よって y≦1/3 である

この等号を成立させることができるかを考えると、
BC＝1/3 に固定しつつ
OとBCの距離OD＝dを調節することで（具体的には d＝3√2 とすることで）
T^2＝1/2 とすることは明らかに可能であり
そのとき②によってhも定まり
題意の四面体の条件をすべて満たすので、BCの最大値は1/3である　(終)