概略
(1)からP,Qの定数項は1/2であることがわかり、
xが十分大きい時を考えると、P,Qは二次以下の多項式でないとダメ。
f(x) = x^4 + P(x) - Q(x)^2-1/4 g(x) = x^4 + Q(x) - P(x)^2-1/4 とすると
f'(0)が０でないと0の十分近傍でf,gいずれか 0 未満になるので×
よって、P,Qの一次の係数は等しい。
この時f,g>=0　をそれぞれx^2で両辺割って判別式<=0
一次の係数について整理して条件を得る。
答えはP(x) = Q(x) = ax^2 + 1/2 (|a| <= 1)
最高次の係数とかごちゃごちゃしてるのは頑張って。