>>30
こんな感じか？
√sin2θ =q/p (q pは互いに素な正の整数 pは0でない).
sin2θ=q^2/p^2
sin2θ=2sinθcosθ=(sinθ+cosθ+1)(sinθ+cosθ-1)
よって
(sinθ+cosθ+1)(sinθ+cosθ-1)=q^2/p^2
sinθ+cosθは有理数だからn/m (m nは正の整数で互いに素 mは0でない)とかける。
(n/m+1)(n/m-1)=q^2/p^2
整理すると
(m+n)(n-m)p=(qm)^2/p.
左辺は整数なのでp=1(右辺も整数のはずだから)
すると
√sin2θ=qとなる。つまり√sin2θは整数。
これはθが0 π/2以外では成立しないがsinθ cosθが有理数になるのはその条件以外(sinθ=3/5 cosθ=4/5など)でも成立するので矛盾。