整数問題で数学的帰納法
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0,-m,mという離散数でどう証明すんのかさっぱり理解できん
変則帰納法でもそんなの見たことないぞ [n=0で成立] and [任意のkについて、n=kで成立するときn=k±1で成立]
ってことならいけない? (cosθ+isinθ)^n=cosnθ+isinnθ (for all 整数n)を示す
n=0で自明
またn=kで成り立つとすると
(cosθ+isinθ)^(k+1)
=(cosθ+isinθ)×(cosθ+isinθ)^k
=(cosθ+isinθ)×(coskθ+isinkθ) (仮定より)
=(cosθcoskθ-sinθsinkθ)
+i(cosθsinkθ+sinθcoskθ)
=cos(k+1)θ+isin(k+1)θ
よってn=k+1でも成立
さらに
(cosθ-isinθ)×(cosθ+isinθ)
=cos^2θ+sin^2θ=1…(A)に注意して
(cosθ+isinθ)^(k-1)
=(cosθ+isinθ)^(-1)×(coskθ+isinkθ) (仮定より)
=(cosθ-isinθ)×(coskθ+isinkθ) ((A)より)
=(cosθcoskθ+sinθsinkθ)
+i(cosθsinkθ-sinθcoskθ)
=cos(k-1)θ+isin(k-1)θ
以上より任意の整数nで成立 >>9
いやいや任意のkで成り立つならわざわざ0のとき示さなくていいだろ!
普通の帰納法考えてみ?
x=1で成り立つことを示したあと
x=k(≧2)で示すだろ?
だからやるとしたら
1° x=0で成立
2° x=k(≧1)で成立を仮定
ってやるべきかと思うけど >>11
任意のkにおいて成り立つ、って言ってるんじゃなくて
命題が成立するようなkがみつかればそれがどんな値でも両隣でも命題が成り立ってるって言いたいんだろ 二重帰納法?みたいなやつ?存在だけは知ってる詳細は知らん >>10
これ以外に整数版に拡張された数学的帰納法使うのってなんかあったっけ? 任意の番号で成り立つならそもそも示すことなにもないしな
俺なら恥ずかしくて二度とレスできないわ 数学的帰納法を使わなくても、文字式のまま証明できるやろっていいたいんやろう
例えば、任意の自然数nに対して、1+2+3+4+5+...n=n(1+n)/2 が成り立つことを証明するのに、わざわざ数学的帰納法を使わずに、nを文字として証明すればいいじゃんってことやろ
-mとか0はよくわからんけど 二重帰納法を使う問題なら2009京大理系乙六番のあれだな Zでの帰納法かN^2での帰納法か
イッチが言いたかったことは何だったのか 整数で帰納法使うなら
n=0
「n=kで成立と仮定」→「n=k+1で成立かつn=-kで成立」
って流れでもいいんだよね? なんか上手く伝えようとしておかしなこと書いてたわ
勉強不足なんや…すまん お前より>>11のほうが遥かにおかしいから安心しろ 変数に-mを代入して1からできるなら負の数でもいけるんじゃない n=1,2,3,…,k-1の全てで成り立つとき、n=kで成り立つことを利用した数学的帰納法もある >>10
そんなんしなくても非負整数で成り立つことを示してから負整数で成り立つことを示したほうが楽だし速いだろ ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています