親にその私立大学に行くメリットと自分の熱意をプレゼンすれば

｢自分は[具体的な頑張り方(例えばある成績以上をとるとか資格をとるとか)]をこの大学に行ったらこうやってする熱意がある｣
って具体的に宣言する
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平均就職実績を比較して(なんなら自作で比較資料も作っちゃえ、親も熱意に気づくかも)
｢40年働いたら学費の差額を取り戻せる場合が統計的に多い 差額は〜年したら返す｣
って言う

みたいな