>>428
こんにちは、かばんです。

まず物体を点Ａ（ｘ、ｙ、ｚ）から、点Ｂ（ｘ´、ｙ´、ｚ´）まで動かす場合を考えます。
この時、物体に働く力が保存力のみであれば、点Ａから点Ｂまでどのような経路をたどったとしても
する仕事は同じです。

つまり、始点と終点さえわかれば仕事が求まる、つまり位置の関数として扱えます。
つまり、位置（ｘ、ｙ、ｚ）に対応したポテンシャル（まあ位置エネルギーみたいなもんです）
Ｕ（ｘ、ｙ、ｚ）が定義できます。

ここで、（仕事）＝（力）×（力の向きへの変位）、という関係を思い出してください
力学的エネルギーは保存力の場合一定なのでｘ軸方向、ｙ軸方向、ｚ軸方向へ
物体が微小な距離動く場合を考えると、
Ｆｘ＝-∂Ｕ/∂ｘ　Ｆｙ＝-∂Ｕ/∂ｙ　Ｆｚ＝-∂Ｕ/∂ｚ
が成立します。
ＦをＦｘ、Ｆｙ、Ｆｚを成分とする力のベクトルとすると
Ｆ＝（Ｆｘ、Ｆｙ、Ｆｚ）＝（-∂Ｕ/∂ｘ、-∂Ｕ/∂ｙ、-∂Ｕ/∂ｚ）　となります。

ここで、ベクトル演算子∇＝（∂/∂ｘ、∂/∂ｙ、∂/∂ｚ）を用いると
上式は、Ｆ＝-∇・Ｕと、∇とポテンシャルの内積としてあらわすことができます。
（ｘ成分、ｙ成分、ｚ成分同士の掛け算になっているのがわかりますか？）

さて、ここでＦ＝-∇・Ｕとあらわされるとすると、∇×Ｆという外積は
∇×Ｆ＝-（∇×∇）・Ｕになり、同じベクトルの外積は0です。
よって∇×∇＝０であり、∇×Ｆ＝０となります

これより、∇×Ｆ＝０であるならＦ＝-∇・Ｕとあらわされるとすることになり、
位置の関数のポテンシャルが存在することになります
これで題意は示せたでしょうか？