0001名無しなのに合格2021/05/16(日) 17:24:45.38ID:wV1ysbx0
少ない問題数で多くを網羅。
2 極限
解けない漸化式なので、
実験→予想→帰納法。
無限大に発散するか
有限確定値に収束するか
分かれば後は進むだけ。
例 解ける漸化式を解く練習。
logを取る。n！で割る、掛ける。
例 解ける漸化式なので
解いてしまっても良い。
または
実験→予想→帰納法の流れ。
3 極限。
ロピタルの定理。テイラー展開。
不定形の極限。
分母→0ならば分子→0。
微分係数の定義に見えればそれでもOK。
例 特定の形に持ち込むしかない。三角関数の3つの極限に帰着させる。
例 e絡みの極限。
これも定型パターン。
4 極限。
場合分け。
無理やり極限と領域の問題を融合させた感じ。
例 logと∞。収束する項を作る。
指数関数の発散の速さが分かる。
5 極限。
方程式の解。
微分法。
グラフの利用。極限値。
積分と極限。
勝手な順序交換は許されない。
例 解ける方程式なので解く。
中間値の定理。
例 logxの線型化。
例 e^xの線型化。
単調増加。単調減少。
グラフの利用。
例 0に収束する。
挟み撃ちの原理。
広義と狭義。
収束、発散の速度。
階乗>指数>冪>log。
6 微分
共通接線。複接線は存在しない。
例 微分して増減表。
7 平均値の定理
平均値の定理を積分する。
積分の平均値の定理。
例 台形の面積。端点を結ぶ、
端点での接線、中点での接線、
ぐらいが候補となる。
例 微分法と増減の基本定理の証明。逆は成り立たない。連続ですらない場合もある。
8 微分
不等式の証明。
logを取って平均値の定理を使う。
logを取って微分する。
面積を比較する。
例 logを取り、同次形の定石。
例 logを取り、変形する。
例 2と4のみ。
9 微分
図形的な問題。
微分する時に「符号が分かっている部分」は括って別扱い。「符号の不明な部分だけ」微分して調べるように注意する。
例 両辺を割り算して「定数を作り出す」。
最大値の問題に帰着させる。
関数-関数よりも「関数の最小値」を調べる方が確実。
例 覚えておくべき三角の大小関係。
例 指数関数のテイラー展開の別証。
10 微分
関数の最小値。線型化。
場合分け。
定積分の最小値。
例 方程式が解を持たない条件。
グラフを描いて意味を考える。
数式で抽象的にスッキリ解く。
11 積分の計算。
部分積分法。
置き換え→対称性。
置き換え→部分分数分解。
例 置換積分で置き換え無し。
対称性。
これも対称性に着目。
部分分数分解のやり方。
例 置換積分。sinとtan。
例 逆三角関数。
逆関数が存在するための条件。
12 積分。
継ぎ接ぎ関数。微分可能性。
積分する。繋ぐ。
微分可能であるための
必要十分条件。
例 偶関数。奇関数。
例 微分の定義。挟む。
挟み撃ちの原理。
絶対値を付けて挟む事で
場合分けを回避する。
誘導が無くとも自分で作る。
例 関数方程式。微分可能性。
微分の定義。
13 積分。
周期的な関数。
図を描いて考える。
等比数列。
例 区間を分けてΣ。
周期。周期関数。
14 積分
はみ出し削り論法。
図形的な微分法。
例 類題。最小値の図形的意味。
15 パラメーター極線。
パラメーターに関する
微分と積分。
パラメーター消去。
一階微分はどうやっても良い。
二階微分は定義通りやる
しかない。一度やっておく。
パラメーターに変換しての
積分法。
xとyに分けて増減表を作る。
これがちょっと面倒。
t x' x (左右の動き)、
t y' y (上下の動き)をやってから
t → (x, y) の対応を纏める。
対称性と置換。部分積分法。
例 アステロイド。星芒形。
対称性。内サイクロイド。
16 パラメーター曲線。
極座標表示。
縦の積分と横の積分。
縦の積分を使う。
積の微分法を頭に置いておくと巧く積分出来る場合がある。
例 これも計算の工夫。
例 ベクトルを利用した
曲線のパラメーター表示。
例 同様にベクトルを利用した
曲線のパラメーター表示。
例 更に続けてベクトルを
利用した曲線のパラメーター
表示。
曲線の長さの公式。
またもや1つの式に
纏まるパターン。
→いつでも絶対に纏まる。
17 回転体。
片側に寄せる。
例 周期性がある時の積分。
一周期分の積分をすれば良い。
例 図を描いて周期性に
着目出来れば、計算要らず。
18 回転体。
バウムクーヘン分割。
例 バウムクーヘン分割。
使い方と使える形の見方。
例 バウムクーヘン分割に
よる求積公式の証明。
例 バウムクーヘン分割が
便利に使えるのは
y軸対称の回転体の時。
19 領域の体積。
回転体。
三角形+円弧。
例 動くものが多いので
動きを止める。
積分は多少厄介。
20 回転体。
線分が動いて回転体を作る
時は、回転させる前に切る。
例 球の通過領域。
21 交わり部分の体積。
・交わりの切り口は
切り口の交わり。
・交わらす前に切る。
例 直交する直円柱の交わり。
どのような図形なのか、
図示する。
22 非回転体の求積。
曲面の方程式を導き、
切って断面積を求める。
例 求積絡みで出現する
定積分の計算練習。
例 曲面の方程式の出し方。
→求めた後は切る。
例 切ってみると回転体で
あることが式から分かる。
23 関数列。
漸化式を作る。
例 積分漸化式。
例 積分漸化式。
例 積分漸化式。
例 積分の微分。
例 置換積分。
例 両辺を微分する。
例 積分漸化式。
これだけは例外。
例 これも暗記。
24 積分漸化式。不等式評価。
漸化式を作る。
不等式を導く。
極限値を求める。
例 漸化式。不等式評価。
図形的にずらす問題に対して
数式的にずらす問題。
多少の、あるいはかなりの試行
錯誤はやむを得ない。
25 積分と級数。
部分分数分解。
数列の和の形に見える。
挟み撃ちの原理。
帰納法でも良い。
項別積分。
例 数列の和。
積分→挟み撃ちの原理。
26 定積分の関数。
代入して積分。
挟み撃ちの原理。
場合分けをする。
+0と-0。
中間値の定理。
平均値の定理。
評価の方法
最大値Mまたは最小値m、
接線と弦、
片方だけ定数で置いて
他方をの評価。
27 級数の評価。
発散するかどうか調べる。
収束する時は区分求積法
または不等式評価。
グラフから面積を見積もる。
挟み撃ちの原理。
例
いきなり発散。
区分求積法では
なくて部分分数分解。
区分求積法。
追い出しの原理により発散。
例 積や冪 はlogを取る。
区分求積法。
28 曲線の長さ
焦点を求める。
直交性を示す。
次の積分へのヒント。
ヒントに従って積分を実行
軌跡はカテナリーになる。
例 長さを求める練習。
例 双曲線の弧長を求める
ための置換積分法。
カテナリー
双曲線関数。
例 正三角形がカテナリー
の上を転がる。
ベクトルを使う。
29 楕円
楕円。折り返す。
判別式→重解。
楕円が膨らんでいく様子。
2次曲線の定義。
楕円、放物線、双曲線。
焦点、準線。頂点。軸。
長半径。短半径。
例 点と直線の距離が
等しい点の集合だから放物線。
2定点までの距離の和が一定
だから楕円。
2定点までの距離の差が一定
だから双曲線。
例 物理の反射の法則。
対称点を取る。
正射影ベクトル。
30 円錐曲線
内積。角度。
円錐面の方程式。
円錐面のベクトル方程式。
内積。
円柱面のベクトル方程式。
外積。
例 円錐を切る。
双曲線→放物線→楕円。
縦→横。
例 内積→平方。
例 球面と直線が接する条件。
判別式。
31 楕円
縦線と横線の時は
場合を分ける
判別式。
接線。準円。
楕円を円に変換して考える
角度や長さは駄目。
例 楕円を円に変換する。
例 準円の問題。
例 準円をまず考えて
後は軌跡の限界を考察する
→1, 2 と 2, 1 まで。
32 極線。
代入して判別式。
接線の公式。
極と極線。
極線は接線と同じ形になる
33 楕円。
パラメーター表示する時は
変域にも注意する。
点と直線の距離の公式。
焦点の定義。
例 離心率。焦点。準線。
楕円→放物線→双曲線。
34 双曲線。
離心率。接線の公式。
漸近線の公式。
パラメーター表示のやり方
極方程式。
rが負の場合もある
例 接線の公式。
接点を設定する。
ひたすら計算するだけで
解ける。
等積。
35 極方程式。
x, y →r, θ。
焦点を極に取る。
規約。偏角。
直接的に変化を調べるか
xyに直して考える。
偏角方向に存在する場合と
偏角と逆方向に存在する
場合がある。
例 サインカーブ→
カージオイド。
サインカーブ→四葉形。
例 r, θ → x, y への変換。
極方程式のときは半径と
思わないで、単なるr=f(θ)
と思っていれぱ良い。
36 回転。
回転させて考える。
回転の変換。
例 45°回転→楕円と分かる
例 回転→折返しの連続変換
2θの回転とθの折返しは形が
似ているが、ちょっと違う。
-が掛かっている場所が違う。
37 複素数。5乗根。
正五角形。外接円の半径1。
因数分解。相反方程式。
絶対値。偏角。n乗根。
ちょうどn個存在する。
円に内接する正n角形の頂点
相反方程式。
例 外接円の半径1。6乗根。
正六角形
外接円の半径2。4乗根。
正方形。
例 相反方程式の解法。
偏角の不定性。
例 一回割った残りを
因数分解する→代入する。
定石的な変形。覚えておく。
例 2点間の距離と見る。
5乗根。
例 7乗根。逆数。相反。
例 7乗根。次数下げ。
全部加える。
38 複素数
数列。三角不等式。
等号成立は偏角が等しい時。
漸化式。ベクトル。
例 奇数の時と偶数の時とで
場合を分ける。
例 三角不等式の練習。
等号成立条件を逆に辿る。
偏角は等しい。
39 軌跡。変換。
逆変換。
成分に落とし込む。
円周が答え。
例 ベクトル方程式の時と
同じような、読み方のまとめ
特に楕円。
例 円の式。
例 バラして平方完成。
絶対値は2点間の距離を表す。
例 変換の問題。
例 偏角の条件。
円の一部になる。
例 2変数なので、一方を
固定して1変数にする。
置換えで絶対値を外す。
α-1は、原点中心の任意の
角度の回転を表す。
40 複素数の図形への応用
初等幾何。ベクトル幾何。
座標幾何。複素数平面。
三角幾何。回転の行列と
複素数。
回転させるだけで
片が付く問題。
例 幾何の証明問題。
初等幾何でも出来る。
例 正三角形の3頂点。
41 複素数の集合。
乗法に関して閉じている。
1のn乗根。
ある1つの元を取り出して
全部に掛けると、それらは
全て異なる。
例 同様にしてmod nで
集合を作り、その中の
1つを選んで他の元との積を
作れば、それらn個は全て
異なる。
その後、全てを辺々掛ける。
3つの元による実験。
zを掛けて新しく出来た3つ
の元は相異なる。
辺々掛ける。
互いに素の定義の確認。
練習 フェルマーの小定理。
1 解ける漸化式は解く。すなわち「解ける事」が大事。
2 1次分数型の漸化式。漸化式は等差数列か等比数列に帰着させる。
3 漸化式を目で見る。グラフの利用。
4 解けない漸化式の処理。等比数列型からの挟み撃ち。ニュートン法。
5 平均値の定理の利用。4の手法でも解ける。
継ぎ接ぎの1次関数。
整数問題。
6 より単純な関数とか定数で挟んでlimit。
7 数列の問題のように「精密に求める」必要なし。limitとるので大雑把でも大丈夫という感覚。
8 大局的に見ると放物線はy軸と同じ。円は「x軸と放物線」に接しているのではなく「x軸とy軸」に接している。
tanは x=π/2と同じ。
e^xは 左はx軸 右はy軸。
logは 下はy軸 右はx軸。
9 円や三角形の相似。大雑把に眺めて本質を見抜く。
10 正確に捉えて挟み撃ち。大雑把に捉えてイメージを強くする。
場合の数と確率。
11 無限等比級数。
sinに見えて普通の等比級数。
収束する条件は初項0または
公比1未満。
12 特別な無限級数。
三角不等式。収束する級数
π/4とlog2。
13 グラフの連続性。
x=±1を境に激変。
14 分数関数の極値は
公式があるので使う。
極値はOKだが、変曲点
には 使えないから注意。
1次/2次の典型。暗記。
15 接線の本数。
曲線自身、
変曲点における接線、
漸近線。
慣れないと間違える。
三角関数。
16 共通接線。
2直線が一致する条件。
複接線。
17 サインカーブと放物線。
共通接線。曲率と曲率円。
曲率円の半径は1/k^2。
r→r'→正規化→t'/|t|=κ→ρ=1/κ
位置ベクトル。接ベクトル。
法ベクトル。
18 偶関数、奇関数。
定数関数は偶関数なのて
和差積・微分積分のうち、
積分については一部成り立
たない。
19 対称性。
線対称×点対称の積分は
組合せでやる。
20 技能的な積分。
基本パターンを見ておく。
座標。
21 β関数。γ関数。
22 積分漸化式。
23 積分漸化式。ウォリスの公式。
24 積分漸化式。特殊な形。
25 積分漸化式。組合せる。
ベクトル。
26 フーリエ級数。
27 マクローリン展開。
n次剰余項。
28 絶対値付き関数の積分。
平行移動は1:1。
回転は1:√2。
計算の時は交点のx座標
が主役。
29 定積分の関数。
30 「=定数」と置く定積分
包絡線。
アステロイド。円。
直線。直線。
双曲線。双曲線。
数列。
31 カテナリー。懸垂線。
紐の形状。
f^2-f'^2=1。双曲線関数。
曲線の長さはf'。面積もf'。
f''=f。
接点からy切片までの
長さ=af。 A'H=1。
32 サイクロイド
x=a(θ-sinθ)、y=dx/dθ。
パラメーター表示。
曲線の長さ。面積。
33 エピサイクロイド
外サイクロイド。
パラメーター表示。
曲線の長さ。面積。
カーディオイドは
2円の半径が等しい時。
極表示。
34 アステロイド。
星芒形。
角を曲がる問題。
内サイクロイド。
ハイポサイクロイド。
パラメーター表示。
35 リサージュ図形。
一般に図示が大変なので
対称性、周期性を利用する
縦と横の単振動の組合せ。
θとθ+π。θとπ-θ。
基本的にπ/２ごとに
区切って考察する。
周期が異なるので同じ所を
何度も通ることに注意。
微積分。
36 半放物線。
円=2、直線=1
アステロイド=2/3、
放物線=1/2。
パラメーターの消去。
弧長の計算には範囲外の
積分公式が必要。
37 β関数の利用。
p-1、q-1。0→1。
e^(-x)、s-1。0→∞。
γは階乗の一般化。
38 減衰曲線。
公比。面積比。
等比級数。
回転体の問題もある。
39 正規分布
累積分布関数。
ガウスの誤差曲線。
誤差関数。
1σ→50〜60または50〜40
2σ→50〜70または50〜30
1/√(2π)。e、-x^2/2。0→z
1/(√2π)σ, e, -(x-μ)^2/(2σ^2)
40 y=1/x の縦横倍。
横にk倍、縦に1/k倍。
曲線C→曲線C (全体として)
接点T→接点T。
面積は不変。
不等式、多変数、存在条件
41 ヤングの不等式
幾つかの有名パターン。
42 周期関数。
区分求積で、2/π倍。
(1+1)/π×1=2/π。
sinの山1つ/矩形1個。
43 凸関数。
イェンセンの不等式。
接線および弦。
中点での接線ならば、
台形=長方形が示せる
44 勾配関数。
1次分数関数は勾配と見る
割線と接線。
平均値の定理。
単調増加。広義と狭義
45 高さの平均。
積分の平均値の定理。
最大値Mと最小値m
を持ち出すと
議論が易しくなる。
極限。
46 調和級数とオイラーの定数
logで評価する。
調和級数において符号を+-…として
2nまで取ったもの(2個ワンセットでn組)はlog2に収束する有名な級数。
台形近似 。
47 区分求積法
形を覚える。
たまに区分求積法が使えるが変則的なもの、があるがリーマン和を作るか不等式で挟むのが定石。
48 サインカーブの交点
交点をαと置いてそのまま進める。最後に代入すると消える。代入を後回しにするのがコツ。
49 双曲線とパラメーター表示
ここまで覚えておくと基本的な積分に漏れが無くなる。
円。原点→x軸θ=0→弧→θの線分→原点。
双曲線→原点→x軸θ=0→→弧→θの線分→原点。
50 斜めの楕円
パラメーター表示をしなくてもそのまま上-下で積分。
パラメーター表示して積分。
回転させて標準形にして幾何。
微分法。
51 パラメーター積分
概形を掴んてパラメーターによる積分。置換積分。等角螺旋。
極表示による積分。
最後はまとまるが、Uターンがあるので初めはxで立式しなければならない。
52 極座標と面積
楕円は円に変換して求める。
動径が掃く面積。
53 円板とバウムクーヘン
y軸まわりの回転体
第1象限ならば問題は起こらないが、積分区間もxもf(x)も全て符号持ちである。絶対値が付いているようなイメージで、絶対値を外しながら積分する感じ。
第2象限・第3象限にあった場合は初手で第1象限・第4象限に線対称で移すのが良い。
円板分割→置換積分→部分積分→バウムクーヘン分割。
54 斜めの回転体。
・縦に切って円錐の側面積
πlrdx=(cosθ)πl^2dx。
・縦に切って射影して円板
の面積(厚みが増す)
πr^2(dx/cosθ)=(cosθ)πl^2dx。
55
円錐の回転体。
→球面の一部になる
円柱の回転体→球面になる
要するに円板を回すと球になる。
積分3
56 体積
長方形に切るx軸積分
直角三角形に切るy軸積分
弓形に切るz軸積分
断面に平行に切ると
楕円の一部になる
楕円柱の場合は伸縮変換して
円柱にする。
57 非回転体の体積
斜円錐になるので断面は円
直交する円柱と円柱。
→切り口は正方形になる
3本の円柱の直交は式を補助にやる。場合分けが生ずる。
58 定数を分離する。
1次式の場合は分離しなくとも可能。
分離不可、分離困難の場合もある。
59 方程式の解の列(数列)
60 漸化式
三角関数の公式の利用。
積分45
61 logの不等式
公式の中の文字に「固まり」を入れる感覚。一種の置き換え。
2つの不等式
当てはめの感覚が最重要。
代入→掛ける→Σ
62 ニュートン法
近似解。
平均値の定理。
63 接線と法線
距離の最大最小。
中心を通す。
64 曲率と曲率半径
r=f(t)=g(s)
→dr/dt=f'、ds/dt=|f'|
→dr/ds=(dr/dt)(dt/ds)=f'/|f'|
→よってT=dr/ds。
→|dT/ds|=1/ρ=κ。
曲率κ、曲率半径ρ。
積分6|
1
1 3次方程式の解と係数の関係
同値変形。言い換え。
2 とちらが2倍か、早とちりをしないように。2次方程式の解と係数の関係。対称式。α、2αと置けば済む。
3 ∀と∃。最大値、最小値の「候補」を比較する。必要性で絞る。
4 集合の包含関係。
2
1 方程式の言い換えの選択基準。一方を1次式または定数に出来ればOK。
2 1次以下を分離すればあっけなく解決する。適当な点を代入して中間値の定理を用いても良い。
3 消去した式は取っておく。
同値性を保つ言い換え。
10まで。
3
1 ∧と∨、∀と∃。
対偶を取れはわかりやすくなる
1は素数でも合成数でもない。
因数分解。素数、無理数、互いに素。対偶を取る。
2 背理法。対偶法。
3 実験して5以上の素数については成り立たない事が分かる。
m=6n+kと置くのは有用。
30まで。
4
1 空集合を仮定すると直感に反するので要注意。
一致しない。
2 条件を座標平面に図示して考える。または反例を出す。
3 c>0と仮定すると文字が1つ減る。図示して考える。
3次方程式の解と係数の関係でも良い。
4 条件が複雑な場合、それを捌いておけば前に進める。カンマの位置(読み方)には十分注意する。
45まで。
5
1 実数であることを前提にしている。
2 同値変形。加減法の原理。
対偶。ad-bc≠0。次数下げ。
互除法。
6
1 代入法の原理。分数になっても構わず代入する計算力と見通しが必要。
2 代入、消去した文字の存在条件は残された方程式が解を持つこと。
積分64
7
1 存在条件は、その文字を消去した式が成り立つことと同値である
場合分け。
2 x≠yとなる解を持つ条件。
3 一文字消去。放物線と直線の交点として視覚化出来る。
4 成分を設定して文字消去。
そのままやれれば速い。
8
1 xの存在条件としてのkの変域。
存在条件なので少なくとも1つ入っていれば良い。全てが入っていなくとも良い所がポイント。
問 x, y が存在するようなtの変域。分母を払う時は正負に気を付ける。
例題 次数下げと実数化を行う。
順手流は網羅的、逆手流は個別的。反転。
9
1 存在条件に帰着させる逆手流。
1次式は同値なので消去に使う。
2次式を使う時は実数条件が伴う。
判別式はα-βの実数条件。
3次方程式の解と係数の関係
2 3次方程式の解と係数の関係
共役複素数。実数係数の解の対称式は実数。
10
1 任意→一部を使う。必要条件で絞る。両方向の帰納法。
2 仮定を否定して考えやすくすら。
0090名無しなのに合格2021/06/08(火) 15:35:02.45ID:DiGcBmIz
標準問題
11
1 2点を通る直線。
対称性、対等性から係数を決める。
2 上手い2点を選ぶ。
p→∞とp→aの2点を選ぶ。
x軸とy軸、接線と法線。
初めに定点を求めておいて背理法。
放物線と直線が3点で交わることは無い。
3 定点を求める。
P→Aとすると接線と法線。
通らないと仮定して背理法。
直角双曲線だけは別。
交点が無限遠点になる。
12
1 ∃→∀では、∃は固定。
∀→∃では、∃は固定ではない。
複合形。
∃→∀の時はyは定数
∀→∃の時はyは変数
2 ∀→∃のパターン。変えて良い。全部を一律に大きくしたり小さくすると失敗する。一部を大きく一部を小さくしてみる。難しい発想。式の形を見て臨機応変に。
3 ∀→∃で、pqはcに応じて変えて良い。つまりcの関数。次数下げ。
4 ∀→∃のパターン。しかし定数と書いてあるので変えることは出来ない。3次以下の多項式関数の積分の平均が分かる。
13 数学的帰納法。
1 平面の塗り分け。仮定のバリエーション。どう仮定するか。一般項の予想。等差中項。等比中項。将棋倒し。
2 最初の数項は例外。頑張って規則が成り立つ所まで別扱い。