だいたいのところは>>794の人に解説されてしまった。Thanks!!

俺も実は再帰で済ました。
ファーストとファイナルの各ステージは判定条件が面倒なので、
下手に組み合わせ論を使うより全探索で数えた方がてっとりばやい。
再帰の深さもファイナルで６なので問題なし。

一方日本シリーズについては試合数に上限がないが条件が簡単なので組み合わせ論で解く。
最終戦前日までに双方が３勝している場合の数を考えて２倍すればよい。

問題全体も再帰で解くなら、
今どこのステージか（セのファイナル等５種類）、残り何試合で決着がつくか、
を引数にとって場合の数を計算して足し合わせていく感じで。

なお、問題文にある
(あくまでも勝敗パターンを考え、勝ち残ったチームは考えないものにします。）
という一文は余計で、実例の通りどのチームがどんな星展開で勝ちあがるかはすべて区別されると思う。