【受験数学】恒等式について質問

**名無しなのに合格** · 2019/05/19(日) 20:59:23.87

f.gはn次式です
異なるn+1個の値でfx=gxが成り立つ⇔fx=gxが恒等式
これって正しいですか？

**名無しなのに合格** · 2019/05/19(日) 21:00:12.27

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**受サロの帝王** · 2019/05/19(日) 21:02:11.78

自分で考えろやカス

**名無しなのに合格** · 2019/05/19(日) 21:02:55.13

fxがf(x)なのかfxなのかで話がかわると思う
fxだったらn+1次式なので恒等式とは言えない

**名無しなのに合格** · 2019/05/19(日) 21:04:24.09

f(x)です

**名無しなのに合格** · 2019/05/19(日) 21:05:06.23

f(x)、g(x)はxのn次式です

**名無しなのに合格** · 2019/05/19(日) 21:08:51.36

なら恒等式だと思う

**名無しなのに合格** · 2019/05/19(日) 21:11:56.62

じゃあさ、恒等式の数値代入法で2次の恒等式で3つの値入れたら十分性の確認はいらないんじゃないの？次数より1多い値で成立してるからその時点で恒等式じゃん
わかりにくくてすまん

**名無しなのに合格** · 2019/05/19(日) 21:13:55.50

一致の定理で必要十分
おわり

**名無しなのに合格** · 2019/05/19(日) 21:16:48.54

>>8
それはある特定の3つの値のときに恒等式となることを示しただけにすぎない、つまりすべてのxについて恒等式となるかはわからないので十分性の確認をする必要がある

**名無しなのに合格** · 2019/05/19(日) 21:20:34.81

>>10
次数より1多い値で成立したらその時点で恒等式だから他の値でも成立するのは当たり前じゃないの？

**名無しなのに合格** · 2019/05/19(日) 21:26:04.88

恒等式が成り立つ<=>すべてのxで成立→あるxで成立
<=>は同値記号ね
上からわかるようにあるxで成立することは恒等式が成り立つことと同値ではない

**名無しなのに合格** · 2019/05/19(日) 21:27:18.93

>>12
すべてのxで成立するならばあるxで成立は言えるけど、あるxで成立するからといってすべてのxで成立するとは限らない
→はならばの意味ね

**受サロの帝王** · 2019/05/19(日) 21:29:54.59

このスレでは正しいか正しくないかだけでいいやろ

**名無しなのに合格** · 2019/05/19(日) 21:34:02.14

>>14
>>8が本当に言いたかったことです

**名無しなのに合格** · 2019/05/19(日) 22:08:26.43

h(x)=f(x)-g(x)は高々n次式だから、h(x)が1次以上ならh(x)=0の解は高々n個
したがって、h(x)=0を満たすxがn+1個以上存在するならh(x)は定数であり、h(x)=0
このときf(x)=g(x)が常に成立

だから>>1は明らかに正しいんだが、「n次式の解は高々n個」っていう事実(代数学の基本定理)って高校で習うっけ？

**名無しなのに合格** · 2019/05/19(日) 22:13:03.85

>>16
そんなもの使わなくても因数定理で示せばいいでしょ

**名無しなのに合格** · 2019/05/19(日) 22:18:08.16

>>16
モニックって言えよ

**名無しなのに合格** · 2019/05/20(月) 01:06:03.09

>>8
いいところに気が付いた
整式に対して次数より１つ以上多い値で成り立つことは全てのxについて成り立つこと、つまり恒等式であることと同値だから、少なくとも大学入試においては実は逆を確認する必要は全くない(市販の参考書では逆を確認してるのが殆どだけど)
大学教授からすれば多項式一致の定理の成立は自明なものだから入試でそれを利用した回答を作ったところでまず減点されない。ただ学校の定期試験なんかでは一応確認しておくと安心かも
もっと複雑な難しい問題でもこの定理を知ってるだけでかなり楽になることもあるから、そういう時は心配ならさらっと証明を書いておけばいいと思う。証明自体はそんなに難しくない

**名無しなのに合格** · 2019/05/20(月) 19:22:46.30

そのような採点基準の曖昧さが高校数学のつまらないところ
代数学の基本定理以外にも高校範囲で証明できないが使ってもいいものはあるのに謎だよな
とりあえずは>>14の言うように何個で確かめようが結局答案には逆の確認を書くのが一番安全だから受験までは辛抱しろ

**名無しなのに合格** · 2019/05/20(月) 19:24:24.01

訂正証明"できない"じゃなくて"してない"
代数学の基本定理は一応解析的証明なら高校範囲かな？