証明忘れてた。
やってみるか。
原点Oを中心とした単位円に点Pと点Qを置き、x軸とOPのなす角をa,x軸とOQのなす角をbとおくだろ。そしたら、点Pの座標はcos(a),sin(a)、点Qの座標はcos(b),sin(b)になる。
PQの長さを座標から導くと、PQ^2=(cos(b)-cos(a))^2+(sin(b)-sin(a))になるよな。
解いとくとPQ^2=2-2*(sin(a)*sin(b)+cos(a)*cos(b))だ。
その一方で、余弦定理より、PQ^2=OP^2+OQ^2-2OP*QPcos(a-b)になるよな。
都合の良い事に単位円を用いてるので、
PQ^2=1+1-2cos(a-b)になる。2-2cos(a-b)。
故に、
2-2cos(a-b)=2-2*(sin(a)*sin(b)+cos(a)*cos(b))
となり、両辺から2を引いて2で割れば、お馴染みの
cos(a-b)=sin(a)*sin(b)+cos(a)*cos(b)
コスモスコスモス咲いた咲いたに合わせるなら
cos(a-b)=cos(a)*cos(b)+sin(a)*sin(b) ※が導出される。
※において、bを負の数とすると、
cos(a+b)=cos(a)*cos(b)-sin(a)*sin(b)となる。
また※において、sin(x)=cos(1/2pi-x)であるから、
sin(a+b)=cos(1/2pi-(a-b))となり、
sin(a+b)=cos(1/2pi-a)*cos(b)+sin(1/2pi-a)*cos(b)となる。
cos(1/2pi-x)=sin(x)と逆も成り立つため、
sin(a+b)=sin(a)*cos(b)+cos(b)*sin(a)
いわゆる、「咲いたコスモスコスモス咲いた」が導出される。
出来たわ。図示しなくても。
やってみりゃできるもんだな。
