自分は企業側の採用にも携わるのでエージェントの使い方を分かっているけど
一番の目的は、こちらが成果の見えない有料広告を出すコストや手間、話しにならない
レジュメを足切してくれる点、逆に自前でやっていたら自動的に書類で落として
しまうようなスペックの人でも、詳細に推薦情報をくれて面接までもっていってくれる
点（←たまに本当に採用したい人が来るの）、などなど色々ありますが…

エージェントを利用する側でもある立場から見ると、エージェント（特に外人やおじさん）
特有の
「〇〇会社とは長い付き合いで」
「あそこのマネージングディレクターと太いパイプが」
「あなたを強力にプッシュしておきました」
は全部フカシかエージェントの妄想。

企業側は複数募集情報を出す中の一社（行ってしまえばベンダー）としか
思ってないし特定のエージェントが進めてきた人材だからと無条件で採用する
ことは皆無。
なので、上記のようなセールストークで、他社案件を保留にせずに、興味が
ある案件はズンズン進めましょう。