住民税の手続きについて質問です。

2008年6月17日、社員HがA市からB市へ引っ越しをしたとします。
交通費の計算がありますから、どんな社員も会社には届け出ると思います。
しかし、ううかりB市への転入手続きを忘れていたとします。

2009年1月1日時点での住所はあくまでB市ですが、
A市もB市も、その事実を知りません。

この場合、天引きした住民税を会社がB市に払おうとすると、
どうなるんでしょう?

B市には「そんな奴はうちの市にはいないよ!」と言われ、
A市からは「さっさとうちに払わんかい!」と言われ、
社員Hは会社から「おまえ転入手続きしてねーだろ!」と怒られるのでしょうか?

転出、転入手続きまで会社がしてくれるわけではないですよね。