>>112
ちょっと気になったので
警察の標識ＢＯＸ・信号機ＢＯＸ（道路標識・信号機意見箱）に問い合わせしました

警視庁と埼玉県警それぞれから回答がありましたが
それらをまとめて結論から言うと
戸田橋の自転車規制は北行と南行で規制に食い違いがあります
戸田側から渡るときは埼玉県警管轄で車道禁止ですが
板橋からは警視庁管轄で規制はなく車道通行可能なのです
なお、戸田側板橋側どちらも橋に向かうスロープ部分は通行出来ません
つまり
板橋側の川に並行する道から入るところに標識が無いのは橋の上が通行禁止じゃないからです
一方戸田側の標識には問題があり「車道」の補助標識がスロープ前後にあるのは
おかしいとのことでした(歩車道の区別がないので車道を指定すると誤解を招く)
また
橋の上についても北行南行で規制が異なるのはおかしいので
埼玉県警と協議して是正したいとのことで
将来的に戸田側からも車道を使って渡れるようにするそうです