あのな、話がメチャクチャなんだよ。

まず民法634条は平成29年に改正されました。
いつ起きた出来事なのかにより適用条文が変わるのだが、そこまで話をするとややこしいから民法634条は無し。

5~9まで
>９．お客様は訳が分からないといった顔をされながら、怒りをにじませてお愛恵里になりましたが、X自転車店に行かれたかどうかは判りません。

どんだけコミュ障なのか知らないけど、普通の自転車店はな、

A、話とチェックを総合するとX自転車店の不手際によるパンクだと思う。もしX自転車店に補償対応(未完成の修理に対する対応。以下同じ)してもらいたいならうちでは修理せずにX自転車店に自分で持って行くしかないよ？
その場合、うちでのチェック代金は頂くことになる。

B、X自転車店に補償対応を求めないならうちで修理しちゃうけど、どうする？
うちで修理しちゃったらX自転車店に後から文句を言っても証拠もないし対応してもらえないよ。

こうやってお客さんに選択肢を提示するだろ笑。
どんだけコミュ障なのか知らないが、お客さんは補償対応を求める選択肢もあれば放棄する選択肢もあるのな。
どっちがお客さん自身にとって利益と考えるかはわからないだろ、他人の価値観なんてわからないのだから。
金銭的な価値観を優先する人ならX自転車店に行くというかもしれないし、持っていく労力を考えるならマイナスと考えるかもしれないだろ？
そこまで書かないと理解できないの？
お客さんが「ワケがわからない顔」している時点でな、どんだけ説明が下手なんだ笑


>法律上の権限が必要な行為とは思えませんので、法律上の権限を求めることの正当性をお示しください

→法に規定がなく根拠もない請求権を行使することは、当然不適法な請求なんだが。
法律もわからないのか？
お前の世界では、商法や民法に規定がない請求権を使えるの？
お前さ、根本的に発想がおかしいのだよ。
なんで法律に規定された請求権が存在するの？
報酬請求権は契約当事者間の話であり、X自転車店とY自転車店の間には存在しない。