【月刊大学への数学】 学力コンテスト・宿題31

1大学への名無しさん2018/05/20(日) 01:44:51.97ID:TY+N2oZU0
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★☆☆【月刊大学への数学】 学力コンテスト・宿題30
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17大学への名無しさん2018/05/27(日) 06:18:08.05ID:V4ZjOfUd0
f''(x)=12x^2+6px+2q
f''(x)=0の解がx=α,βより、解と係数の関係から
α+β=-6p/12=-p/2,αβ=2q/12=q/6
∴p=-2(α+β),q=6αβ…@

(1)
C:y=f(x)とl:y=g(x) (g(x)は一次以下の式)はx=αで接するので、f(x)-g(x)=0はx=αを重解に持つから
f(x)-g(x)=(x-α)^2・(x^2-ax+b)…A
と因数分解できる

Aの両辺のx^3とx^2の係数を比較して
p=-a-2α,q=b+2αa+α^2
これと@から
a=2β,b=-α^2+2αβ

したがって
x^2-ax+b
=x^2-2βx+2αβ-α^2
=(x-α){x-(2β-α)}

∴f(x)-g(x)=(x-α)^3 {x-(2β-α)}

y=f(x)とy=g(x)はx=α,2β-αで共有点を持つから、Cとlの囲む部分の面積は
α>βよりα>2β-αに注意して

∫[2β-α,α] |f(x)-g(x)|dx
=∫[2β-α,α] |(x-α)^3 {x-(2β-α)}|dx
=-∫[2β-α,α] (x-α)^3 {x-(2β-α)}dx
=…
=(8/5)(α-β)^5

18大学への名無しさん2018/05/27(日) 17:52:20.54ID:V4ZjOfUd0
(1)別解
Oは△ACDの外心だから線分AC,ADの垂直二等分線の交点

△ABCは正三角形から,↑AC,↑AD(↑AB)に垂直なベクトルとしてそれぞれ-(1/2)↑c+↑b,-(1/2)↑b+↑cが存在する

Oは線分ACの垂直二等分線上にあるから
↑AO=(1/2)↑c+p{-(1/2)↑c+↑b}=p↑b+{(1/2)-(1/2)p}↑c…@

Oは線分ADの垂直二等分線上にあるから
↑AO=(1/2)t↑b+q{-(1/2)↑b+↑c}={(1/2)t-(1/2)q}↑b+q↑c…A
@,Aより↑bと↑cは一次独立だから
p=(1/2)t-(1/2)q,(1/2)-(1/2)p=q
これを解いて
p=(2t-1)/3,q=(-t+2)/3

∴↑AO={(2t-1)/3}↑b+{(-t+2)/3}↑c

19大学への名無しさん2018/05/27(日) 21:09:29.24ID:V4ZjOfUd0
(2)
C:y=f(x)とm:y=h(x) (h(x)は一次以下の式)がx=γ,δで接するとする
f(x)-h(x)=0はx=γ,δ (γ>δ) を重解に持つから
f(x)-h(x)=(x-γ)^2 (x-δ)^2…B
と表せる

Cとmの囲む部分の面積は
∫[δ,γ] |f(x)-h(x)|dx
=∫[δ,γ] (x-δ)^2 (x-γ)^2dx
=…
=(1/30)(γ-δ)^5…C

次にBの両辺のx^3とx^2の係数を比較して
p=-2(γ+δ),q=γ^2+4γδ+δ^2
これと@から
γ+δ=α+β,γ^2+4γδ+δ^2=6αβ

ここで
(γ^2+4γδ+δ^2)-(γ+δ)^2=6αβ-(α+β)^2
⇔2γδ=6αβ-(α+β)^2

だから
(γ-δ)^2
=(γ+δ)^2-2・2γδ
=(α+β)^2-2{6αβ-(α+β)^2}
=…
=3(α-β)^2

∴γ-δ=√3 (α-β)

∴C=(3√3/10)(α-β)^5

20大学への名無しさん2018/05/28(月) 07:14:35.45ID:bPciJtah0
(2)
↑OP=↑OC+k↑CE (kは実数でk≠0) とおける

|↑OP|^2=|↑OC+k↑CE|^2
|↑OP|^2=|↑OC|^2+2k↑OC・↑CE+k^2|↑CE|^2

ここで|↑OP|^2=|↑OC|^2およびk≠0から
k|↑CE|^2+2↑OC・↑CE=0…@

↑CE
=↑AE-↑AC
={-↑AB+(4/3)↑AC}-↑AC
=-↑b+(1/3)↑c

↑OC
=↑AC-↑AO
=↑AC-[{(2t-1)/3}↑AB+{(-t+2)/3}↑AC]
={(-2t+1)/3}↑b+{(t+1)/3}↑c

ゆえに
|↑CE|^2=|-↑b+(1/3)↑c|^2=…=7/9
↑OC・↑CE=[{(-2t+1)/3}↑b+{(t+1)/3}↑c]・[-↑b+(1/3)↑c]=…=(3t-2)/6

したがって@は、(7/9)k+2{(3t-2)/6}=0
∴k=(-9t+6)/7 (k≠0よりt≠2/3)

よって
↑AP
=↑AC+k↑CE
=↑c+{(-9t+6)/7}{-↑b+(1/3)↑c}
={(9t-6)/7}↑b+{(-3t+9)/7}↑c

21大学への名無しさん2018/05/28(月) 15:48:01.74ID:G5Pb6KvG0
Bコース景品ゲットです

22大学への名無しさん2018/05/29(火) 06:45:25.38ID:CX6Q4itI0
簡単のためπ/2n=αとおく

正2n角形は円に内接することから円周角の定理を用いて
∠P[0]P[1]P[n]=π/2
∠P[0]P[n]P[1]=α

直角三角形△P[0]P[1]P[n]において
P[0]P[1]=P[0]P[n]sinα
∴P[0]P[n]=(1/n)(1/sinα)

23大学への名無しさん2018/05/29(火) 07:07:00.72ID:l4aWtyvp0
・東進ゼミナール西、教え子と一晩6回ポレポレセックス。
https://mao.5ch.net/test/read.cgi/juku/1510233268/

24大学への名無しさん2018/05/29(火) 20:43:49.54ID:CX6Q4itI0
以下SがP[0],P[1]と一致しない場合において

∠P[0]UP[2n-1]=∠P[1]P[n]P[2n-1]=2α
また,∠P[1]P[0]P[2n-1]の外角は2α

したがって,四角形P[0]SUTは円に内接する

次に,△P[0]STは二等辺三角形から∠P[0]ST=α

円周角の定理より,∠P[0]UT=∠P[0]ST=α

∴∠P[0]UP[n]=π-α

25大学への名無しさん2018/05/29(火) 21:24:20.13ID:RlxtOred0
一番
181/1224
二番
0<=a<2 -1/2+√2/4 -1/2-√2/4
三番
AO=(2t-1/3)b+(2-t)c
AP=((9t-6)/7)b+((9-3t)/7)c
四番
8/5×(αーβ)^5 3√3/10×(αーβ)^5
五番
(1)√2 (2)2
六番
(1)2/9×π (2)2/π
宿題
n+3C4

違ったら教えて

26大学への名無しさん2018/05/30(水) 08:06:58.27ID:3ijJ5ZAY0
宿題どうやりましたか?

27大学への名無しさん2018/05/30(水) 08:23:53.14ID:gRXOPNjW0
ワイは補助図形を取ってやったで

28大学への名無しさん2018/05/30(水) 13:11:42.00ID:gRXOPNjW0
25の者ですけど
誰も返事してくれなくて悲しい

29大学への名無しさん2018/05/30(水) 13:19:31.02ID:N47dIAhQ0
締め切り前の問題の答えをネットにさらすなボケ

30大学への名無しさん2018/05/30(水) 16:42:25.56ID:pf93wJQe0
>>25
宿題は知らないけど他は一致してると思う
3は問題文の書き方からしてt≠2/3を書くか判断に迷うところ

31大学への名無しさん2018/05/30(水) 17:07:41.39ID:gRXOPNjW0
AOのcの係数書き間違え
(2-t)/3ですね

30さん返事アザス
答えに確信持てそうです

32大学への名無しさん2018/05/30(水) 20:28:14.48ID:pf93wJQe0
別解
極座標でP[n]を極、P[n]P[1]を始線とするUの極方程式は
r=(P[n]P[0]/sinα)sinθ

33大学への名無しさん2018/05/30(水) 21:46:20.45ID:gRXOPNjW0
五番て微分なしでいける?

34大学への名無しさん2018/06/01(金) 02:26:24.77ID:au4YHC3F0
学コンの順位って同じ点数なら早く提出した方が良いのかな?

35大学への名無しさん2018/06/01(金) 05:31:22.79ID:iyd3pVNV0
締切当日出しても1等貰えたことあったからそれはあまり考えられないな

36大学への名無しさん2018/06/02(土) 01:12:55.29ID:S7C38LBR0
来月の宿題まだかいな

37大学への名無しさん2018/06/04(月) 07:42:10.71ID:uyOyrYiv0
みんな次の宿題何がいい?
ワイは初等幾何の難問がいいかなー

38大学への名無しさん2018/06/04(月) 17:53:20.34ID:5mUoXxG9O
そんな難しい問題(宿題・数オリ・エレ解)に挑戦してる俺ってかっこいいってか

39大学への名無しさん2018/06/05(火) 07:16:10.76ID:uz+1QHk50
宿題まとめた問題集はまだかいな

40大学への名無しさん2018/06/05(火) 18:04:16.64ID:FLf9FJnc0
昔の宿題な

方程式
[[√x]×√x ]+[√x]+1=x
を解け.ただし[x]はxを越えない最大の整数とする

宿題としては結構優しい部類だから解いてみるといいよ

41大学への名無しさん2018/06/05(火) 18:44:42.20ID:sDQPEKgO0
>>40
√3?

42大学への名無しさん2018/06/05(火) 18:45:24.05ID:sDQPEKgO0
>>41
嘘でした
間違い

43大学への名無しさん2018/06/05(火) 18:47:48.60ID:sDQPEKgO0
>>40
3?

44大学への名無しさん2018/06/05(火) 18:48:49.51ID:sDQPEKgO0
ID変わりましたが39の者です

45大学への名無しさん2018/06/05(火) 19:14:00.28ID:oEgtQycaO
>>43
簡単でした?

46大学への名無しさん2018/06/05(火) 19:56:03.48ID:sDQPEKgO0
>>45
はい 合ってるか良かった
てか本当にこれ宿題?

47大学への名無しさん2018/06/05(火) 20:07:26.87ID:FLf9FJnc0
x=8とかただ代入して等式成立したからいいってもんじゃないと思うけど

48大学への名無しさん2018/06/06(水) 19:08:19.40ID:9D3wrpts0
>>39
解答解説まだかな

49大学への名無しさん2018/06/07(木) 01:51:06.47ID:CKijZUfa0
大数史上最高の難問てなんやろ

50大学への名無しさん2018/06/09(土) 01:43:36.11ID:E4rbVAf20
宿題の過去問知ってる人いたら教えて

51大学への名無しさん2018/06/09(土) 03:19:23.23ID:HDv6pDpw0
>>40早く解いて

52大学への名無しさん2018/06/09(土) 21:58:16.06ID:E4rbVAf20
3だけじゃないの?

53大学への名無しさん2018/06/09(土) 22:57:42.58ID:guXfzLIJO
x=8でも成り立つけど
[[√8]×√8 ]+[√8]+1
=[2×√8 ]+2+1
=[√32 ]+2+1
=5+2+1
=8

x^2-x=0を解けって言われて
たまたまx=0を代入したら成り立つから
答えはx=0って書くの?

54大学への名無しさん2018/06/09(土) 23:01:12.39ID:E4rbVAf20
いやたまたまじゃなくて見つけたつもりだったんだがどっかミスがあったみたい
考え直します

55大学への名無しさん2018/06/10(日) 00:25:03.09ID:zQOElE8o0
解き直してみました。
x=m^2+2m でどう? 違ったら教えて

56大学への名無しさん2018/06/10(日) 00:36:31.62ID:M1iETYX00
>>55
規則性からそうなるっぽいけどそれ以外は解ではないってどうやって言いきれるん?

57大学への名無しさん2018/06/10(日) 00:54:02.88ID:zQOElE8o0
>>56
必要条件から絞った
合ってるか知らんけど

58大学への名無しさん2018/06/10(日) 22:08:21.67ID:LRJoE3I50
だれか答え知ってる人教えてー

59大学への名無しさん2018/06/15(金) 06:20:58.03ID:L8MQRyqJ0
宿題楽しみ

60大学への名無しさん2018/06/17(日) 13:49:38.03ID:Jac8UfSb0
そろそろ届いてる?

61大学への名無しさん2018/06/17(日) 19:33:05.23ID:lFrjt/480

62大学への名無しさん2018/06/17(日) 20:33:09.61ID:388kplcdO
東京の人はもう届いてる

63大学への名無しさん2018/06/18(月) 00:13:35.99ID:O988cO1c0
とある愛知県民まだ届かない

64大学への名無しさん2018/06/18(月) 00:57:55.42ID:YVM43Ydc0
■■日本の大学として初めて、大阪工大 電気電子システム工学科の学生チームが、
ミシガン大学 ディアボーン校(アメリカ)で行われたIEEE(電気・電子工学分野
における世界最大の専門化組織)主催国際学生コンテストIFEC2015で決勝に進出
し、世界第3位入賞(★)
http://www.shidai-tai.or.jp/2015/12/11-6.html
*テーマ「電気自動車(EV)の高効率ワイヤレス充電装置」
*近未来のエネルギー利用に関わる装置と技術の開発を競うコンテスト

■Finalist 全9大学■
・University of Texas at Dallas(アメリカ)
・University of Michigan-Dearborn(アメリカ)
・Osaka Institute of Technology(日本)(★)国内初、世界第3位入賞
・Cologne University of Applies Sciences(ドイツ)
・Federal University of Mato Grosso do Sul(ブラジル)
・Zhejiang University(中国)
・Kunming University(中国)
・National Taiwan University of Science and Technology(台湾)
・Ulsan National Institute of Science and Technology(韓国)

65大学への名無しさん2018/06/19(火) 14:51:16.55ID:8bBHeREu0
まだ届かない

66大学への名無しさん2018/06/20(水) 18:48:13.29ID:yACuM3Av0
宿題116名中112名正解

67大学への名無しさん2018/06/21(木) 18:38:20.29ID:76WznCgp0
4月号にあったJMOの5番、難し過ぎる

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